Файл: Кацев, П. Г. Статистические методы исследования режущего инструмента.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 155

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Вычислим ii для нашего примера с помощью табл. 30

S (у — уУ~

246306,97

5597,88,

'Ш =

и— 1

4 5 — 1

тогда

 

 

 

~

5597,88

0,40.

 

11

33685,10

 

 

 

Таблица 30

К расчету дисперсии предсказанных групповых средних

Задний угол

 

 

1VI ~ v |

( U i - v y -

{ 4 ~ v y n t

а

 

V I

6

2

47,49

246,84

60 929,90

121 859,97

7

5

206,42

87,91

7 728,16

38 640,84

8

3

303,43

9,10

82,81

248,43

9

28

338,52

44,19

1 952,75

54 677,17

10

1

311,69

17,36

301,36

301,36

11

6

222,94

71,39

5 096,53

30 579,19

у

= 294,33

 

 

£

== 246 306,97

Проверка гипотезы о статистической значимости связи

Какую величину выборочного коэффициента корреляции сле­ дует считать достаточной для статистически обоснованного вывода о наличии корреляционной связи между исследуемыми перемен­ ными? Ответить на этот вопрос помогает знание закона вероят­ ностного распределения /'. В случае совместной нормальной рас­ пределенности исследуемых переменных и при достаточно боль­ шом объеме выборки п распределение г можно считать прибли­

женно нормальным со средним, равным своему теоретическому значению р, и дисперсией

s, W = J£ r r -

(118)

В этом случае для оценки значимости г надо вычислить нор­

мированное отклонение

При значении t, большем, чем tHр при заданной вероятности

и числе испытаний, можно считать нулевую гипотезу отвергну­ той, т. е. признать данное значение г значимым.

101

В нашем примере имеем

г = 0,35

и п

95

s {г} =

1 — 0,352 =

0,09; t

0,35

3,89.

0,09

1^95^1

 

 

Очевидно, что коэффициент корреляции обладает высокой до­ стоверностью, уровень значимости ниже, чем 0,01. Нулевая ги­ потеза, что р = 0, опровергается.

Однако следует учитывать, что при малых значениях п и при малых или близких к ± 1 значениях г это приближение оказы­

вается очень грубым. Поэтому используется тот факт, что величина

 

 

 

 

 

 

t =

V l - г5

 

 

(120)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

при условии р =

0 распределена по закону Стыодента с п — 2 сте­

пенями свободы. Поэтому,

если

окажется,

что

 

 

 

 

 

 

\ r \ V n -

2

*кр.

 

 

( 121)

 

 

 

 

 

 

V 1 — Г“

<

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

то

гипотеза

об

отсутствии

корреляционной

связи принимается.

 

В

нашем

случае

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| г 1V~п — 2

_0,35 V 95

2 __^

 

. j

 

 

 

 

 

V 1 — Г2

 

~

V 1 — 0,352

~

’

'

 

По

таблице

работы

[И]

для

=

0,025

(р = 0,95) и / =

=

п — 2 =

95 — 2 = 93

 

находим,

что

tKP =

1,98. Так как

3,58 > 1 ,9 8 ,

 

то

гипотеза

 

р = 0 отвергается.

 

 

Значимость корреляционного отношения г| рассчитывается

точно так же,

как и для г.

 

 

 

 

 

 

указанный метод

 

Перевод

г

в число г.

В некоторых случаях

определения ошибки коэффициента корреляции может оказаться недостаточным в связи со значительным отклонением распределе­ ния г от нормального (особенно при высоких значениях г).

Р. А. Фишер [60] предложил преобразование случайной вели­ чины г в величину 2, распределение которой значительно ближе к нормальному, чем распределение г. Преобразование г в 2 за­

дается

формулой

 

 

 

2 =

4 - ! п4 ^ .

(123)

Имеются также готовые таблицы данного преобразования

[11 ].

Средняя

квадратическая ошибка для 2 вычисляется по формуле

 

s { z l

= Vn —2,

(124)

102

Оценка значимости г может производиться с помощью /, при

этом

Для нашего примера г = 0,35; п = 95. Определяем z по фор­ муле (123), находим г = 0,37. Ошибка для г

s z

= 0,104,

J/95 — 3

тогда

 

0,37

3,55.

0,104

 

Этому значению t при / —93 соответствует вероятностьр —0,99,

откуда следует, что величина г

значима.

Д о в е р и т е л ь н ы е г р а н и ц ы д л я

р. Если достоверность выбороч­

ного коэффициента корреляции г доказана, то с помощью средней

ошибки можно установить доверительные границы для коэффи­ циента корреляции р той генеральной совокупности, из которой

взята выборка.

Когда /г достаточно

велико, а г близко

к 0,5, это

можно сделать

обычным

способом

по формуле

 

 

 

/

Р

^ ""Н^

к

р

(1

Однако, учитывая, что распределение величины z более близко к нормальному, чем распределение г, лучше определять довери­ тельные границы с помощью z по формуле

 

z — /Kps{z} < z 0^ z +

/Kps{z|.

(126)

В дальнейшем z

переводятся в г. Для

нашего примера z =

0,37;

s {2} = 0,104.

доверительные границы

(при Р = 0,95; t

= 2)

Определяем

для z0 генеральной совокупности по формуле (125)

 

0,37 — 2 • 0,104 < 20 < 0,37

+ 2-0,104,

 

0,162 < z0 < 0,578.

Теперь в обратном порядке определяем по формуле (123) гра­ ничные значения г по z и получаем доверительные границы для р:

0,16 <С р <С 0,66. Границы для р очень велики. Кроме того, мини­ мальное значение не подтверждает наличия корреляции.

С р а в н е н и е з н а ч и м о с т и р а з л и ч и я д в у х к о э ф ф и ц и е н т о в к о р р е л я ­ ции . С помощью числа z можно определить значимость различия

между двумя коэффициентами корреляции или между фактически полученным коэффициентом корреляции и теоретически ожидае­ мым, а также провести объединение данных по нескольким корреля­

103

циям, вычисленным на основе малых выборок. Для этой дели используется выборочная статистика

 

 

= .

Zl~ 2a

(127)

 

 

 

( z ^

+ S 2 )Z2}

 

 

где zh 22

определяется по формуле

(123);

определяется

no

формуле

(124).

 

 

 

 

Эта функция приближенно удовлетворяет нормированному

нормальному

распределению.

Поэтому сравнивая значения

W

со значением

t 0, взятым по таблице интеграла

вероятности

при

данном уровне вероятности Р, можно принять или отвергнуть

нулевую гипотезу.

Установление зависимости стойкости от ряда параметров на основе множественной корреляции

Если исследуется связь между несколькими признаками, то применяется метод математической статистики, называемый мно­ жественной корреляцией. Теоретически можно построить уравне­ ние множественной корреляции для любого числа факторов. Но практически трудоемкость вычислений резко возрастает по мере увеличения числа факторов. Поэтому при составлении корреля­ ционных уравнений необходима механизация вычислительных работ. Простота и однообразие вычислительных операций (сумми­ рование, умножение, возведение в степень) упрощает составление алгоритма для расчета корреляционных уравнений на электронновычислительных машинах. Разработаны схемы расчета корреля­ ционных уравнений для различного числа факторов, а также схемы использования для этих целей электронно-вычислительных машин.

Расчет уравнения множественной корреляции для трех пере­ менных. При изучении корреляции трех переменных одна из них рассматривается как функция, две другие — как аргументы. В простейшем случае связь эта линейная

м

{у} = Ро +

Pi*! + ря*а-

 

 

(128)

Расчет оценок параметров ро, Ри Р2 производим по способу

наименьших квадратов.

относительно

неизвестных

Ь0, Ьг

Решая систему

уравнений

и Ь2 и учитывая,

что

 

 

 

 

 

получаем

 

i>xSi ~Ь b

12S2 = гю^О)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ь хГ12^1

 

— Г2()Sq,

 

 

 

где s(. — среднее

квадратическое

отклонение

фактора (t

= 1,2);

г12— коэффициент

корреляции

между х г

и

лг2; ri0 — коэффи­

циент корреляции

у с х ± и х 2.

 

 

 

 

104

О т с ю д а

_ г 10

Т 2 ( / 1 2 .

S °

и 1

— т \ 2

 

1

( 1 2 9 )

 

Г 1 0 Г 1 2 ,

г 2 0

s o

и 2

— Г 2

 

1

^ 2

1

Г 12

 

Разделим первое уравнение системы нормальных уравнений

на п, получим

 

 

Ь0— у ^1х1

Ь2х2,

 

где Ьх и Ь2 уже определены формулами (129).

Вычисленные зна­

чения Ь0, Ьх и Ь2 подставляем в уравнение (128)

и получаем урав­

нение множественной корреляции у

от х х и х 2.

Расчет коэффициента множественной корреляции. Для опре­ деления совместного влияния на результативный признак факто­ ров, которые выделены в качестве главных, вычисляют совокуп­ ный коэффициент множественной корреляции по формуле

*1.2. 8. 4...... P = V l ± ’

(130)

где

 

 

 

 

 

 

Г12

Г13

• • • г 1р

0

Д* = (— 1!)*У

1

Г23

' ' ' Г2р г 21

Г32

1

■• ■ Г3р

Г21

 

Гр 2

ГР з

. . .

1 г р 1

1

Г23

Г24

 

^2р

 

f 32

1

Га*

• • •

г 3р

.

 

 

 

 

 

Гp i

г р з

Гр4

. . .

1

 

 

 

 

Второй определитель равен первому без первой строки и послед­ ней колонки. Здесь индекс 1 соответствует результативному приз­ наку, а индексы 234. . .р — факториальному признаку. На основе формулы (130) находим, что для двух аргументов х х и х 2 коэффи­ циент множественной корреляции R рассчитывается по формуле

R1. 23----

— ^ Г21'Г3\Г33

2

 

— Г

 

23

При независимых переменных, т. е. когда г12^

множественной корреляции рассчитывается по формуле

(131)

0, коэффициент более простой

R — V r \i - \ - г\\.

( 1 3 2 )

Смотрите также файлы