Файл: Кацев, П. Г. Статистические методы исследования режущего инструмента.pdf

шера и Бартлета. Использование F-критерия Фишера при числе дисперсий более двух неэффективно, так как при этом в оценке участвуют только наибольшая и наименьшая дисперсии. Крите­ рий Кохрена пригоден для случаев, когда число повторных опы­ тов во всех точках плана одинаково. Из всех дисперсий sj нахо­ дится наибольшая s?, таХ) которая делится на сумму всех диспер­ сий по точкам. Критерий Кохрена — это отношение максимальной дисперсии к сумме всех дисперсий. В нашем случае, пользуясь табл. 45, найдем

тическое значение GKP = 0,61. Гипотеза об однородности диспер­ сий принимается, если, как в нашем случае, экспериментальное значение критерия Кохрена не превышает табличного значения.

Регрессионный анализ. На основе метода наименьших квадра­ тов найдено уравнение связи или математическая модель. Метод наименьших квадратов использован как вычислительный прием. Теперь предстоит выполнить статистические оценки полученной модели.

Обычный регрессионный анализ основан на следующих пред­ посылках.

1. Результаты наблюдений у ъ у 2, . . ., уп параметра опти­ мизации в и точках факторного пространства представляют собой

независимые, нормально распределенные случайные величины. О том, что означает это условие и как оно проверяется, подробно сказано в гл. II.

2.Дисперсия величины у не зависит от абсолютной величины у

изначений факторов, т. е. дисперсии в разных точках плана одинаковы. Проверка выполнения этого условия была показана выше.

3.Значения факторов суть неслучайные величины. Практи­

чески это означает, что независимые переменные л^, а 2 , .. ., хк

измеряются с пренебрежимо малой ошибкой по сравнению с ошиб­ кой воспроизводимости для этих факторов. Нарушение этого условия приводит к трудностям при реализации матрицы плани­ рования и поэтому легко обнаруживается в процессе выполнения эксперимента.

Проверка значимости коэффициентов модели. Проверка значи­ мости каждого коэффициента проводится независимо. Для этого можно использовать проверку по ^-критерию Стыодента. При использовании полного факторного эксперимента или регуляр­ ных реплик (о них ниже) доверительные интервалы для всех коэф­ фициентов равны друг другу. Прежде всего находим дисперсию коэффициента регрессии s2 {!?,•}. При равномерном дублировании

142

опытов по точкам с числом повторных опытов г она определяется

по формуле

сfE = п (/•— 1) степенями свободы.

Внашем случае

s2{M = - % r = 1-296; s{M = V T 2 9 6 = l,1 3 .

Из формулы видно, что дисперсии всех коэффициентов равны друг другу, так как они зависят только от ошибкиопыта и числа опытов. Теперь рассчитаем значения ^-критерия по формуле

Критическое значение tKP находится по таблице работы [11]- при п (г — 1) = 16 степенях свободы и заданном уровне значи­ мости а — 5%. В нашем случае 4 р — 1,74. Если tL> fKP, то гипотеза отвергается и коэффициент bt признается значимым.

Впротивном случае bt считается статистически незначимым, т. е.

=0. В нашем случае такими незначимыми коэффициентами являются b12, b13, bад, Ь123. Теперь можно построить довери­

тельный интервал длиной 2А bh где

Коэффициент значим, если его абсолютная величина больше половины длины доверительного интервала. Ортогональное пла­ нирование позволяет определять доверительные границы для каждого из коэффициентов регрессии в отдельности, если какойлибо из коэффициентов окажется незначимым, он может быть отброшен без пересчета всех остальных. После этого математи- . ческая модель объекта составляется в виде уравнения связи вы­

ходного параметра у и переменных х(, включающего только зна­

чимые коэффициенты. Для нашего примера получаем

143

Чтобы получить модель в натуральных переменных, надо в уравнение (152) подставить выражения х( из формулы преобра­

зования (141).

Статистическая незначимость коэффициента /?£ может быть

функциональной связи с выходным параметром у;

4) велика ошибка эксперимента вследствие наличия неуправ­ ляемых и неконтролируемых переменных.

Если имеет место первая или третья причина, значение фак­ тора стабилизируется на определенном уровне, во втором случае увеличивают интервал варьирования. Если имеет место четвертая

ствием этих эффектов. В качестве величины, характеризующей вклад коэффициентов регрессии в уравнение, иногда используют

Таким образом, уравнение регрессии практически полностью описывает результаты эксперимента. Чем больше по абсолютному значению величина коэффициента регрессии bt, тем сильнее

влияние его на критерий оптимизации в заданном интервале варь­ ирования факторов. Если Ь{ > 0, то увеличение х£ вызывает

увеличение критерия оптимизации. В противном случае, т. е. при Ь£ < 0, увеличение х{ приводит к уменьшению критерия опти­

мизации. Подобные рассуждения справедливы для модели линейной по факторам. Если же некоторый коэффициент при сме­ шанном произведении факторов, например, Ьц является значимым,

то это свидетельствует о том, что Действие одного из этих фак­ торов, скажем xt, зависит от уровня, на котором находится другой

фактор, Xj. Вклад слагаемого bijxixj в величину критерия опти­ мизации при bti > 0 будет положительным, если оба фактора

находятся на верхних или нижних уровнях. И наоборот, вклад этого слагаемого будет отрицательным, если факторы находятся

Дисперсия адекватности определяется с числом степеней сво­ боды *

/ад = П — т-

Проверка адекватности состоит в выяснении соотношения между дисперсией адекватности s|fl и дисперсией воспроизводи­ мости s2 {г/}. Проверка гипотезы об адекватности модели про­ водится с использованием F-критерия Фишера.

* Числом степеней свободы в статистике называется разность между числом опытов и числом коэффициентов (констант), которые уже вычислены по резуль­ татам этих опытов независимо друг от друга.

вычисленное значение критерия меньше критического FKP, опре­ деляемого по таблице работы [11] для соответствующих степе­ ней свободы

нимается. В противном случае гипотеза отвергается, и описание признается неадекватным объекту. Если выборочная дисперсия неадекватности s;^ не превосходит оценки дисперсии воспроизво­

речит выборочным данным и математическая модель адекватно представляет объект.

Проверка адекватности возможна лишь при /ад > 0. Если число точек в плане равно числу оцениваемых коэффициентов регрессии уравнения связи (я = т), то, следовательно, не остается

степеней свободы (/ад = 0) для проверки нуль-гипотезы об аде­ кватности представления экспериментальных данных выбранной формой аппроксимирующего полинома. В этом случае можно

чески значимой, то это будет указывать на неадекватность линей­ ной модели, а также модели, содержащей взаимодействия, т. е. на то, что хотя бы часть коэффициентов |3l7 не равна нулю. Если некоторые коэффициенты регрессии оказались незначимыми или ими можно пренебречь ввиду их малости или требуется доказать правомерность линейной аппроксимации в заданном интервале варьирования, то число членов проверяемого уравнения в этом случае будет, как правило, меньше числа точек в плане и одна или несколько степеней свободы останутся для проверки гипотезы адекватности.

Проведем оценку адекватности в нашем примере, пользуясь

Так как в нашем случае я|д < s2 \у\ (29,2 < 31,12), то аде­

кватность модели очевидна без расчета критерия Фишера. Если бы

146