Файл: Кацев, П. Г. Статистические методы исследования режущего инструмента.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 147

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

ности в планировании эксперимента, увеличивают объем необхо­ димых испытаний. Поэтому уменьшение вариации параметра

оптимизации,

каким обычно является

показатель

стойкости,

а также вариации измерений факторов

должно

быть

в центре

внимания экспериментатора.

стороны

планирования

Отметим

некоторые специфические

эксперимента. Если нет возможности обеспечить однородный обрабатываемый материал на весь объем испытаний, то следует заранее определить количество различных партий материала и соответственно разбить матрицу планирования на ортогональные блоки. Чтобы исключить влияние изменчивости условий экспе­ римента, которые могут происходить с течением времени его про­ ведения, рекомендуется случайная последовательность при по­ становке опытов в пределах каждого блока, т. е. опыты необхо­ димо рандомизировать во времени. Рандомизация выполняется с помощью таблицы случайных чисел.

Планирование эксперимента для описания зависимости пока­ зателя стойкости концевых фрез от геометрических параметров. Рассмотрим пример применения планирования эксперимента. Поставим задачу описания зависимости показателя стойкости концевых фрез от заднего угла x lt переднего угла лг2, ширины

ленточки х3. В качестве математической модели принимаем не­ полную кубическую функцию

Л4 )у} = Ро

PiA 'i ~Ь

""Ь P3-V3 -f- Р^Л^А'г +

 

Н” Pia^i^s

$ззх 2хз “Ь ft 123х 1х 2хз-

(142)

Для получения оценок коэффициентов этого уравнения можно использовать полный факторный эксперимент типа 23. Выберем основные уровни факторов, близкие к применяемым в практике, а интервалы варьирования — исходя из реальных пределов ко­ лебаний значений факторов (табл. 44). Эксперименты выпол­ няем в соответствии с матрицей планирования (см. табл. 43).

Условия испытаний. Испытывали концевые фрезы диаметром 22 мм, изготовленные из стали Р18. Фрезы были заточены так,

Таблица 44

Уровни факторов и интервалы варьирования

Уровни'

факторов

Обозначе­

а 0

7°

/ в мм

 

 

 

ние

 

 

 

 

 

 

x t

Х 2

* 3

Основной

 

0

14

15

0,05

Интервал

варьирова-

A xi

4

6

0,03

ния

 

 

 

 

 

Верхний

 

+ 1

18

21

0,08

Нижний ...................

—1

10

9

0,02

138

чтобы получить комбинации значений

параметров, указанные

в строках матрицы плана эксперимента.

В каждой точке фактор­

ного пространства опыт повторялся по 3 раза, поэтому для каждой строки плана изготовляли по 3 фрезы. Порядок испытаний фрез рандомизирован с помощью таблицы случайных чисел. Резуль­

таты испытаний (стойкость фрез в минутах)

приведены в табл. 45,

столбцы 2—4.

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 45

 

 

 

 

 

 

 

 

Результаты испытаний концевых фрез 22 мм

 

Точки

У,

У*

.Уз

y v

 

'у о

(У е -и -и У

плана v

 

1

4 1

,0

34,8 5

34,8 5

36,90

12,60

3 4 ,5

5,76

2

43,85

4 7,45

4 0 ,9 0

4 4,07

10,76

4 5 ,7

2,56

3

4 3,30

32,0 0

2 9 ,2 5

34,8 3

5 5,44

3 8 ,6

14,44

4

4 8,85

58,50

5 0,50

5 2,62

27,41

5 0 ,0

6,76

5

2 6,70

15,38

12,25

18,11

3 2,36

19,2

1,21

6

31,52

2 4,35

36,30

3 0,72

36,18

3 0 ,4

0 ,0 9

7

17,32

30,85

28,70

2 5 ,6 2

52,89

2 3 ,3

5,29

' 8

30,75

29,5 0

38,1 5

32,8 0

2 1,36

34,5

2,89

 

 

 

 

У == 34,47 £

s ^ = 249,0

2 = 3 9 >°

Получение математической модели объекта. Целью проведения ПФЭ является получение описания изучаемого объекта в виде равенства (138). Для удобства будем пользоваться уравнениями регрессии, представленными в виде формулы (141). При этом получаются независимые оценки Ь£ соответствующих коэффи­ циентов (3,- Ь£—» р,..

Ортогональность матрицы планирования позволяет резко упро­ стить вычисления коэффициентов уравнения регрессии, что является одним из преимуществ такого планирования экспери­

мента. Можно

показать

[43],

что

для любого

числа

факторов

коэффициенты будут вычисляться

по

формуле

 

 

 

 

 

П

 

 

 

 

 

 

 

Xivl/v

 

 

 

 

 

bi =

^ T —

,

 

(143)

где £ = 0, 1,

2...........k —

номер фактора; yv —

средний

отклик

по г опытам в точке с номером v:

 

 

 

 

Ноль записан для вычисления Ь0. Так

как каждый фактор

(кроме х 0) варьируется на двух уровнях + 1

и — 1, то вычисления

сводятся к приписыванию столбцу у знаков столбца соответствую­

щего фактора и алгебраическому сложению полученных значений. Деление результата на число точек в плане дает искомый коэф­ фициент.

 

Рассчитаем

коэффициенты

уравнения

для

нашего примера

(см. табл. 45).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

Xivtjv

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-----=

1/8 (—36,90 +

44,07 — 34,83 +

 

 

 

 

 

 

+

52,62— 18,11 + 3 0 ,7 2 — 2 5 ,6 2 + 32,80) =

5,59.

 

 

 

Аналогично

рассчитываются значения

Ь2,

Ь3.

Расчет

Ь0 вы­

полняется

по тому же правилу:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ь0=

 

 

=

(36,90 +

44,07 +

34,83 + 52,62 +

18,11 +

 

 

 

 

 

+ 30,72 +

25,62 +

32,80) = 34,46.

 

 

 

 

 

Таким образом, значение Ь0 равно среднему значению пара­

метра

оптимизации

уа. Итак получаем:

Ь0 =

34,46;

bt

=

5,59,

b2

=

2,01,

Ь3 = — 7,64;

Ь12 = 0,65;

Ь13

= —0,65,

Ь23

— 0,39,

Ьгаз =

0,5.

в преобразованных

переменных

будет:

/•*4

=

Уравнение

у =

34,46

+

5,59л:! +

2,01л2 — 7,64х3 +

0,6 5 x ^ 2 —

О.ббл^Хд +

+

0,39х23 •— О.бх^аЛд.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(144)

 

Для получения уравнения в натуральных значениях факторов

х{ надо вместо xt подставить в уравнение (144) их значения со­

гласно формуле преобразования (141):

Обработка результатов эксперимента. Планирование экспери­ мента исходит из статистического характера зависимостей, поэтому полученные уравнения связи подвергаются тщательному стати­ стическому анализу. Цели такого анализа двоякие. С одной сто­ роны — извлечь из результатов эксперимента максимум инфор­ мации, с другой — убедиться в достоверности полученной зави­ симости, ее точности.

Дисперсия, характеризующая ошибку опыта. Каждый экспе­ римент несет в себе какую-то ошибку, для уменьшения ее

140

производят повторения опытов при тех же условиях, т. е. в каж­ дой строке таблицы планирования. Построчные дисперсии под­ считываются по формуле

Е (yoj —yv)2

 

s2V

/= 1 ________

(145)

 

 

г — 1

 

где г — число

повторных

опытов в точках

плана.

Дисперсия параметра оптимизации s2 (у)

есть средняя ариф­

метическая из

дисперсий

всех п различных

вариантов опытов

(усредненная дисперсия). При подсчете дисперсии параметра опти­ мизации квадрат разности между значениями yvj в каждом опыте

и средним значением из г повторных наблюдений

уа нужно про­

суммировать по

числу строк

в матрице, а затем

разделить на

п (г—

1). Итак,

 

 

 

 

 

 

 

Ё su

Е Ё

(Уо/—Уо)2

(146)

 

 

 

 

ft (г — 1)

 

 

 

 

 

Для

нашего

примера

из табл. 45

имеем, что

= 249,00.

Тогда

 

 

 

 

 

l»=l

 

 

 

 

 

 

 

 

о (

] __

249,0 __qi -jo

 

 

 

s*M =

—g— =

31,i2.

 

Если число повторных опытов различно (вследствие отброса грубых результатов, нехватки материалов и т. п.), то при усред­ нении дисперсий следует пользоваться средним взвешенным зна­ чением дисперсий, взятым с учетом числа степеней свободы:

ПП

 

 

 

 

(147)

где

si — дисперсия

отклика по результатам

в и-й точке плана,

где

производится

га

повторных опытов;

f0 = г0 — 1 — число

степеней свободы для

такой дисперсии; f E — общее число степе­

ней свободы для объединенной дисперсии s2 \у\. Поэтому здесь

нельзя использовать расчетные формулы для коэффициентов, приведенных выше. Прежде чем производить объединение дис­ персий, надо убедиться в их однородности.

Проверка однородности дисперсий производится с помощью различных статистических критериев: Фишера, Кохрена, Бартлета. Выше (см. гл. II) рассмотрено применение критериев Фи-

141

Смотрите также файлы