Файл: Кацев, П. Г. Статистические методы исследования режущего инструмента.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 145

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

в нашем случае оказались значимыми также и все коэффициенты при взаимодействиях и, следовательно, число коэффициентов модели было бы т = 8, то тогда не оставалось бы ни одной сте­

пени свободы для оценки адекватности. Тогда можно было бы

прибегнуть к использованию условия Ь0 — у 0 —■> и таким

образом оценить значимость коэффициентов при членах второго порядка, а именно: _

I Ь0 — у о | = | 34,47 — 39,5 | = 5,03.

Эта величина меньше, чем ошибка эксперимента s = ]/31,12 = = 5,5, из чего следует, что квадратичные эффекты пренебрежимо малы и поэтому линейную модель можно считать адекватной.

Дробный факторный эксперимент

Во многих практических задачах взаимодействия второго и высших порядков отсутствуют или пренебрежимо малы. Кроме того, на первых этапах исследования часто нужно получить в пер­ вом приближении лишь линейную аппроксимацию изучаемого уравнения связи при минимальном количестве экспериментов. Поэтому использовать полный фактический экспериментдля определения коэффициентов лишь при линейных членах и парных произведениях неэффективно из-за реализации большого числа вариантов варьирования (2 к) особенно при большом числе фак­ торов k. При линейном росте числа независимых переменных

число вариантов варьирования (число точек) растет по показа­ тельной функции, в результате чего остается излишне много степеней свободы на проверку гипотезы адекватности.

Обратимся к матрице планирования 23 (табл. 43). Она позво­ ляет нам построить неполную кубичную модель с взаимодействи­ ями, т. е. всего рассчитать восемь коэффициентов уравнения. Если имеются основания считать, что в выбранных интервалах варьиро­ вания процесс может быть описан линейной моделью, то достаточно определить четыре коэффициента Ь0, Ь1} Ь2, Ь3. Именно так и

обстоит дело, поскольку коэффициенты при взаимодействиях оказались статистически незначимы. Тогда у нас остается еще четыре степени свободы, которые можно использовать для мини­ мизации числа опытов. Вектор-столбцы взаимодействий (произ­ ведений) факторов можно употребить для определения коэффи­ циентов новых факторов. Или, если таких нет, то можно задачу с тремя факторами решить путем постановки не восьми, а только

четырех опытов.

 

Рассмотрим следующую

матрицу планирования (табл. 47)

из четырех опытов (строк).

Здесь произведение факторов х ±х 2

приравнено к фактору x3: вместо восьми опытов для изучения трех

факторов

оказывается

достаточно четырех

опытов.

При этом

матрица

планирования

не теряет

своих оптимальных свойств

(ортогональность, ротатабельность).

Таким

образом,

чтобы со-

10*

 

 

 

 

147

Таблица 47

М ат рица план и рован ия 2 3-1

Кодовое

№ точек

 

 

 

(*з)

 

обозначение

V

*0

*1

*2

*1*2

y v

С

5

+

+

 

+

18,11

а

2

+

—

—

44,07

 

 

 

 

 

 

ь

3

+

—

+

—

34,83

abc

8

4"

+

+

+

32,80

b i

32,48

5,98

1,36

—6,99

—

кратить число опытов, нужно новому фактору поставить в соот­ ветствие вектор-столбец матрицы, отвечающий взаимодействию, которым можно пренебречь. Обратим внимание на следующее. Если в полном факторном эксперименте, когда п — 2к, имеем

раздельные оценки всех коэффициентов модели, то теперь сокра­ щение числа опытов вызывает смешивание оценок. В данном случае стали неразличимыми оценки двух коэффициентов: (J3 и Р1а. Это очевидно, так как их оценки получаются на основе одного и того же вектор-столбца. Но в этой матрице имеются и другие смешанные оценки, которые легко обнаружить, сравнивая между собой вектор-столбцы и обнаруживая одинаковые. Итак, оценки смешиваются следующим образом:

* P i ~Ь РгЗ> ^2 * Рг “Ь P is! Ь3 ♦ Р 3 ~Н Р 12-

Однако это смешивание в данном случае не должно беспокоить, так как постулирована линейная модель и, следовательно, все парные взаимодействия предполагаются незначимыми. Поставив четыре опыта для оценки влияния трех факторов, воспользуемся половиной полного факторного эксперимента 23, представленного в табл. 47. Если приравнять х 3 к (—х хх 2), то получим вторую

половину матрицы 23 (табл. 48). В этом случае получается другая система смешивания оценок:

> Рх Р2з>

> Р2 Рх3; Ь3 > Р3— (J12.

При реализации обеих половин матриц (или полуреплик) можно получить раздельные оценки для линейных эффектов и эф­ фектов взаимодействия, как и в полном факторном эксперименте 23. Объединение этих двух полуреплик и есть полный факторный эксперимент 23. При этом первая полуреплика состоит из нечет­ ных строк с, a, b, abc, а вторая из четных строк (1), ab, ас, Ьс.

Полуреплика от ПФЭ 23 обозначается как 23-1.

В общем случае дробные реплики, в которых р линейных эф­ фектов приравнены к р эффектам взаимодействия, обозначаются как 2к~р .

148

Таблица 48

М ат рица планирования 2 3" 1

Кодовое

№ точек

А'о

х,

ДГо

=

Уи

обозначение

V

= —xtx2

(1)

1

+

+

 

+

36,90

ас

6

+

—

30,72

Ьс

7

+

—

+

+

25,62

a b

4

+

+

-+

—

52,62

bi

 

36,46

5,2

2,65

—8,29

 

Найдем коэффициенты модели для нашего примера, пользуясь последовательно первой и второй полурепликами. Расчеты по

первой полуреплике

дают: Ьо = 32,48; Ь\ =

5,98;

Ьг =

1,36;

Ь3' = — 6,99. Расчеты

по

второй

полуреплике дают:

Ьо = 36,46;

Ь[ = 5,2; £>2 = 2,65;

Ьз =

— 8,29.

Проверка

показывает,

что

уравнения, полученные на основе этих коэффициентов, аде­ кватно описывают результаты опытов. Приняв среднее из сумм и разностей для первой и второй системы совместных оценок, получим коэффициенты регрессии:

 

ьо + ьо

 

32,48 +

36,46 =

34,47;

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

Ь1

Ь[ +

Ь\

 

5,98 +

5,2

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

Ь2

^2 +

^2

_

1,36 +

2,65

 

 

о

 

 

 

9

—

 

 

Ь3 =

Ь3+

Ь3 _

6 g g _|_ ( _ 8 2 9 )

 

_ с .

----2--- = “-----

2^--------- =

7’64;

Ь„ =

^

 

=

-6 .9 9 -(-8 .2 9 )

д

0 66;

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

--

ь2 — ь2

 

1.36 — 2,65

-0,65;

&23 —

 

 

 

5,98 — 5,2 = + 0 ,3 9 .

Генерирующие соотношения и определяющие контрасты. При построении полуреплики 23-1 существуют всего две возможности:

приравнять х 3 к {-\-ххх 2)

или к (—х хх 2), что дает соответственно

две полуреплики (табл.

49). Соотношения xs = х хх 2 или х3 =

= —х хх 2 называют генерирующими соотношениями.

149

Таблица 49

Две полуреплики 23-1

I. Х3= JCjXa

 

 

 

II. х3 = — ххх2

 

 

№

*1

 

 

* 1* 2*3

№

 

 

 

 

т о ч е к

Х г

Х 3

т о ч е к

•Vi

* 3

 

* 1 * 2 * 3

V

 

 

 

 

V

 

 

 

 

1

+

+

+

+

1

-1 -

+

 

 

2

—

—

+

+

2

—

—

—

—

3

- 1-

—

—

+

3

+

—

- 1-

—

 

 

 

 

4

—

+

—

+

4

—

+

+

—

 

 

Для произведения трех столбцов матрицы I выполняется соот­

ношение: + 1

= х хх 2х 3,

а матрицы II

соотношение: — 1 =

х хх 2х 3.

Столбцы произведений состоят из одинаковых знаков: в первом случае их элементы равны плюс единице, во втором — минус единице.

Символическое обозначение произведения столбцов, элементы которых равны + 1 или (— 1), называется определяющим контра­ стом. Контраст помогает определять смешанные эффекты. Чтобы определить, какой эффект смешан с данным, нужно помножить обе части определяющего контраста на соответствующую пере­

менную. Так, если 1

=

х хх 2х 3, то для х х имеем

 

 

 

*i =

 

= *2*3,

так как всегда xj =

I;

 

 

 

следовательно, оценка Ьх будет смешана с Ь23;

для х 2

находим

 

 

 

 

 

 

 

х2 = Xjx\x3 = ххх3\

таким образом, оценка Ь2 смешивается с Ь13.

Для х 3 находим

 

 

 

 

 

 

 

Х^

 

 

Это означает, что

оценка

Ь3

будет смешана с Ь12. Общая

система смешения оценок будет выражаться соотношениями

^1

* Pi ~b Р 23,

^2

> Рг

Pis, Ь3 ■> Рз ~Ь Р х 2,

т. е. пришли к тому же выводу, что и выше на основе сравнения знаков вектор-столбцов в матрице планирования. Но такое сравне­ ние знаков становится весьма сложным с ростом числа перемен­ ных (факторов), и тогда лучше пользоваться определяющим кон­ трастом.

Обобщающий определяющий контраст. При исследовании влия­ ния пяти факторов можно поставить не 32 опыта (п = 26), а

только 8, т. е. воспользоваться репликой 26-2. При этом, если лг4

1 5 0

Смотрите также файлы