Файл: Кацев, П. Г. Статистические методы исследования режущего инструмента.pdf

рывной областью определения это достигается с помощью формулы преобразования

где xt — кодированное значение фактора; х£ — значение фактора в именованных (натуральных) единицах; xi0 — значение основ­

ного уровня в именованных (натуральных) единицах; Дх£ — еди­ ница масштаба в именованных (натуральных) единицах; i — номер

фактора. Другими словами, с помощью указанного преобразова­ ния начало координат переносится в точку, соответствующую зна­ чениям основных (нулевых) уровней факторов, а сами значения факторов измеряются в новом масштабе.

Выбор интервалов варьирования является неформализованным этапом планирования эксперимента и производится на основе опыта и интуиции исследователя. При этом следует учитывать точность фиксирования факторов, оценить силу влияния фактора на величину параметра оптимизации, величину ошибки измерения параметра оптимизации. Все это поможет избежать ситуации, при которой интервал варьирования окажется недостаточным для того, чтобы уловить изменение параметра оптимизации.

Полезно иметь хотя бы ориентировочные'сведения о кривизне поверхности отклика. Когда поверхность отклика нелинейна, появляется противоречие между низкой точностью фиксирования факторов (требует увеличения единицы масштаба) и кривизной (требует сужения единицы масштаба).

Важно учитывать характер решаемой задачи. При решении задачи оптимизации стремятся выбрать для первой серии экспе­ риментов такую единицу масштаба, которая давала бы возмож­ ность для шагового движения к оптимуму. В задачах описания процесса единица масштаба должна охватывать всю область, под­ лежащую описанию интерполяционным полиномом.

Длина интервала варьирования фактора составляет некоторую долю от размера области определения по данному фактору. Ориен­ тировочно можно принять, что если интервал составляет не более

мально необходимое число уровней факторов определяется мак­ симальным порядком интерполяционного полинома по дан­ ному фактору.' Оно должно быть на единицу больше этого по­ рядка.

Наиболее широко применяется планирование на двух уровнях, которое позволяет описать процесс полиноминальной линейной моделью, включающей также и взаимодействия факторов, или

133

Они называются соответственно верхним и нижним уровнями и обозначаются + 1 и — 1 (или просто + и —). Экспериментальные планы, в которых все факторы варьируются на двух уровнях, называются планами типа 2й, где k — число факторов.

Полный факторный эксперимент

Математическое описание объекта в окрестности точки, отве­ чающей основным значениям факторов, может быть получено варьированием каждого из факторов на двух уровнях, отличаю­ щихся от основного (нулевого) уровня на величину шага варьи­ рования.

Полным факторным экспериментом называется эксперимент, реализующий все возможные неповторяющиеся комбинации уров­ ней независимых факторов, каждый из которых варьируется на двух уровнях. Число этих комбинаций N = 2й. Для трехфактор­

ной задачи выборочное уравнение регрессии имеет вид

з

Полный факторный эксперимент дает возможность найти раз­ дельные оценки коэффициентов Ь.

Нахождение модели методом полного факторного эксперимента состоит из: а) планирования эксперимента; б) собственно экспе­ римента; в) проверки воспроизводимости (однородности выбороч­ ных дисперсий); г) получения математический модели объекта с проверкой статистической значимости выборочных коэффициен­ тов регрессии; д) проверки адекватности математического опи­ сания. Используя кодированные значения факторов (+ 1 , — 1), условия эксперимента можно записать в виде таблицы или ма­ трицы планирования эксперимента, где строки соответствуют раз­ личным опытам, а столбцы —значениям факторов.

Матрица планирования для трех факторов приведена в табл. 43. В табл. 43 стобцы х х, х 2, х 3 образуют матрицу плана. Эти столбцы

задают планирование — по ним непосредственно определяются

строчках и равно + 1 .

Таблицу, содержащую такие столбцы, называют расширенной матрицей планирования. Часто к ней добавляют столбец с значе­ ниями параметра оптимизации, т. е. результатами опытов. Ма­ трицу плана можно представить геометрически (рис. 28). Новые оси координат хь х2, х3 проведены параллельно осям натураль­ ных значений факторов через точку О, соответствующую основному

134

уровню факторов х ъ х 2, х 3. Масштабы по новым осям выбраны

так, чтобы интервал варьирования для каждого фактора был ра­ вен единице. Условия проведения опытов соответствуют коорди­ натам вершин куба, центром которого является основной уровень, а ребра соответственно параллельны координатным осям, их длина равна двум интервалам.

Номера вершин куба соот­ ветствуют номерам точек

вматрице планирования. План эксперимента в

Опыты будем нумеровать двояко, используя двойные номера или одинарные. В первом случае будет указываться номер точки, в которой проводится опыт, и второе число — порядковый номер опыта в данной точке. Так, скажем, yvj означает отклик, получен­

ный в /-м опыте, выполненном в ц-й точке.

Без ограничения общности можно считать, что число парал­ лельных опытов в точке с номером v равно rvl(r0 ^ 1). Второй

способ предполагает сплошную нумерацию опытов (без указания точек, в которых они проводятся), для этого будем использовать

135

Запись матрицы планирования удобнее производить с помощью буквенных обозначений строк. Для этого порядковый номер фак­ тора ставится в соответствие со строчной буквой латинского алфа­ вита: А'г —>а, х 2—>Ь и т. д. Каждая строка матрицы планирова­

ния обозначается буквами только для факторов, находящихся на верхних уровнях. Опыт со всеми факторами на нижних уров­ нях условились обозначать (1). Матрица планирования согласно

метрически полный факторный эксперимент. Но фигура, задаю­ щая область эксперимента в многомерном пространстве, является некоторым аналогом куба и называется гиперкубом.

Свойства полного факторного эксперимента типа 2*. Для удоб­ ства построения планов типа 2 к существуют три приема, один из

которых основан на правиле чередования знаков. В первом столбце знаки меняют поочередно, во втором столбце их чередуют через два, в третьем — через 4, в четвертом — через 8 и т. д. по степеням двойки.

Матрицы полного факторного эксперимента обладают рядом свойств, делающих их оптимальным средством получения матема­ тической модели по результатам эксперимента.. Два свойства следуют непосредственно из построения матрицы.»' Первое — сим­ метричность относительно центра эксперимента — формули­ руется так: алгебраическая сумма элементов каждого векторстолбца, кроме столбца, отвечающего свободному члену, равна нулю или

£ * to = 0; * = 1 ,2 , . . . . 2* — 1, 0—1

где п — число различных точек в плане; v — номер точки.

^Второе условие формулируется следующим образом: сумма

квадратов элементов каждого столбца равна числу точек

0 =1

Еще одно важное свойство состоит в равенстве нулю суммы произведений элементов любых двух вектор-столбцов матрицы или

0=1

136

Это свойство называется ортогональностью вектор-столбцов

матрицы.

Столбцы матрицы плана (см. табл. 43) являются ортогональ­ ными (линейно независимыми вектор-столбцами), откуда следует диагональность матрицы нормальной системы уравнений и взаим­ ная независимость оценок коэффициентов уравнения регрессии, не говоря уже о простоте расчета этих коэффициентов, как будет показано ниже.

Выше шла речь о модели линейной только по параметрам, но нелинейной по факторам. Если Ьц = 0 и Ь123 = 0, то такая мо­

дель будет линейна и по параметрам, и по факторам. Но если модель нелинейна, как оценить нелинейность на основе полного факторного эксперимента? Нелинейность поверхности проявляется в том, что эффект одного фактора зависит от уровня, на котором находится другой фактор, т. е. имеет место взаимодействие двух факторов. Полный факторный эксперимент позволяет количе­ ственно оценивать эффекты взаимодействия.

План 23 позволяет оценить восемь коэффициентов регрессии Ь0, I) 1, b2, bs, b12, b13, b23 и b123. Однако, если попытаться исполь­

зовать ПФЭ для получения квадратичных коэффициентов ре­

столбцы неразличимы, то нельзя сказать, что оценивает в подоб­ ном случае величина Ь0. Она включает значение свободного члена

и вклады квадратичных членов, т. е. имеет место смешанная оценка. Это символически записывается так:

^о- 1"Ро + S jPh-

По отношению к квадратической модели для двух факторов получается такая система смешивания:

2

Следовательно, оценки всех коэффициентов, кроме Ь0, не сме­ шаны.

Проведение эксперимента. Планирование эксперимента предъ­ являет повышенные требования к тщательности проведения экс­ перимента. Статистические оценки результатов реализации плана эксперимента (которые будут рассмотрены ниже) неизбежно отра­ зят недостатки в экспериментировании. Традиционные методы исследования, применяемые в области обработки резанием (одно­ факторный эксперимент), не предусматривают нахождения ошибки эксперимента, а также проверки достоверности (адекватности) полученных зависимостей. Относительно высокие значения ва­ риации показателя стойкости, которые обычно имеют место в’ ис­ пытаниях режущего инструмента, создают дополнительные труд­

1 3 7 .