Файл: Кацев, П. Г. Статистические методы исследования режущего инструмента.pdf

Как и в предыдущем примере, путем логарифмирования зави­ симости (168) получена линейная модель с взаимодействиями. Выбираем уровни переменных (табл. 55). Матрица планирования 22 и результаты испытаний приведены в табл. 56. Уравнение модели

вметрах пути фрезерования

у— 1,36 + 0,45^! — 0,03x2 — 0,12х3.

После подстановки значений г,- из формулы преобразования и после потенцирования получаем

Лg2,63sl , 21-0,38 In о

т = ---------^ 5 5 -------- (метров пути).

В минутах работы

у == 3,32 — 0.067Х! — 0,56х2 — 0,

Крутое восхождение

Факторное планирование может успешно применяться только тогда, когда исследователь находится в «почти стационарной» области. Как найти эту область? До последнего времени для ре­ шения этой задачи поступали следующим образом.

Проводится исследование зависимости значения у от каждого из xt в отдельности путем постановки серии экспериментов при постоянных значениях всех переменных xit кроме исследуемого,

и на основе полученных частных зависимостей у = f (х,) уста­ навливают оптимальные значения xt. Серьезными недостатками

такого подхода является то, что полученные в отдельности опти­ мальные значения факторов, как правило, не дают оптимального результата при их совместном действии в реальном процессе, в связи с тем, что данная методика не позволяет учесть эффекты взаимодействия факторов. Сам поиск оптимума не только мало­

эффективен по результатам, но и весьма длителен.

А

При определенной форме зависимости у от факторов поочеред­

ное изменение аргументов может привести к ошибке в определении экстремума. На рис. 29 показан один из таких частных случаев, когда поочередное изменение каждого из двух аргументов в любую

сторону от точки А вызывает уменьшение у. Из-за этого создается ложное впечатление, что точка А соответствует максимуму, в то

время как в действительности максимум у лежит при больших значениях Xi и меньших значениях х 2.

Бокс и Уилсон в 1951 г. предложили новый подход к решению задачи оптимального планирования экспериментов [58]. Новым в методе Бокса — Уилсона явилось сочетание движения по гра­ диенту с методом факторного планирования. При этом движение к оптимуму совершается по кратчайшему пути. Наиболее короткий путь к вершине связан с движением в направлении градиента функ­ ции отклика. Области, далекие от оптимума, описываются линей­

ным уравнением, которое позволяет только определять направление движения, не описывая подробно поверх­ ность. В случае адекватности линейной модели можно при­ ступить к движению по гра­ диенту. Представим, что чело­ век с закрытыми глазами хочет пройти кратчайшим путем к вершине горы. Он будет делать шаги в разные стороны, чтобы определить направление движения. При этом, чем круче склон, тем меньше по размеру шаг надо сделать, чтобы оценить на­ правление движения. Достиг­ нув вершины, человек дол­

жен будет оценить ее крутизну, сделав поочередно по шагу во все четыре стороны. Этот пример иллюстрирует поиск оптимума методом крутого восхождения по поверхности отклика в направ­ лении градиента линейного приближения, который определяется реализацией плана полного или дробного факторного экспери­ мента.

Градиент непрерывной однозначной функции ф есть вектор

162

торы в направлении координатных осей факторного простран­ ства.

Следовательно, составляющие градиента есть частные произ­ водные функции отклика. В том случае, когда модель линейна по параметрам, частные производные равны коэффициентам ре­ грессии при факторах. Для движения по градиенту необходимо изменять факторы пропорционально соответствующим коэффи­ циентам регрессии и в ту сторону, в которую указывает знак коэффициента. При этом будем двигаться в направлении градиента функции отклика по самому «крутому» пути. Поэтому движение к почти стационарной области называется крутым восхождением.

Рассмотрим простейший случай для одного фактора. Пусть

(171)

Градиент этой функции в некоторой точке х в соответ­

ствии с формулой (169) имеет вид

т. е. вектор-градиент функции у имеет длину, равную абсолютному значению коэффициента Ьг. Этот вектор направлен вдоль коорди­ натной оси х, и его направление согласуется со знаком коэффи­

циента Ьх. При Ьх > 0 вектор grad у имеет направление, совпа­

дающее с положительным направлением координатной оси. При Ьх < 0 он направлен в обратную сторону.

На рис. 30 представлена графическая иллюстрация вектора-

градиента для этого случая. Вектор ОА — градиент функции у

вточке х = 0, его длина равна абсолютному значению тангенса угла наклона а касательной к кривой по отношению к оси абсцисс.

Приведем краткий вывод основных соотношений для движения

внаправлении градиента функции отклика. Пусть функция от­ клика имеет вид полинома

Вектор-градиент этой функции в начале координат, т. е. при x i = 0; х 2 = 0, . . хк = 0

Заметим, что в выражения для компонентов этого вектора не входят переменные х г, х 2, . . ., хк. Такое положение имеет место

в данном случае только потому, что градиент определяется в точке, отвечающей началу координат. Уравнение прямой линии, про­ ходящей в факторном пространстве через начало координат, параллельно вектору-градиенту в этой же точке имеет вид

хх = ‘kb1\ '

х2 ■ ХЬ2\

с координатами х и х 2, . . ., хк, удовлетворяющие этому уравне­

нию, лежат на линии крутого восхождения. Меняя значения пара­ метра X, можно найти координаты нескольких точек, лежащих

на данной линии. В соответствии с методом крутого восхождения отыскивается такая точка на линии, выраженной уравнением (178),

которой отвечает максимальное значение величины у.

Практически поиск точки экстремума по методу крутого вос­ хождения сводится к следующему.

1. Проводится полный факторный или дробный факторны эксперимент с центром в точке (х£0, х 2о. • ■•, **,,)•

164

2. Выполняется статистический анализ полученных данных и, в частности, вычисляются оценки параметров, т. е. коэффи­ циенты регрессии bt, i — 1, 2, . . ., k, которые являются со­

ставляющими вектора-градиента.

3. Выбирается несколько значений параметра X, определяю­

щего положение точек на линии крутого восхождения. Выбор таких значений может выполняться по-разному.

Первый способ состоит в следующем: а) вычисляют произве­

дения Ь(Ах(-; б) находят фактор, для которого произведение btAxt

является наибольшим по абсолютной величине. Будем именовать

в направлении крутого восхождения. Это значение выбирают та­ ким образом, чтобы величина хб— хб0, т. е. сдвиг по базовому фак­

хождения. В соответствии с выражениями (178) и (180) их находят по уравнениям

дал наилучшие результаты.

Второй метод выбора длины шагов в направлении крутого восхождения основан на использовании линейной части уравне­

165