Файл: Кацев, П. Г. Статистические методы исследования режущего инструмента.pdf

— л:зо = Xi (6 3 A-V3) = 0,00635-97-0,10 = 0,07 мм; xi1*= 0,07 + 0,85 = 0,92 мм.

Координаты последующих точек на этой линии находим по уравнению (182). Далее выполняем опыты на линии восхождения (строка 11 табл. 57). Результаты опыта заносим в последний стол­ бец таблицы.

Результаты опытов 2 и 3 дали наибольшее значение стойкости

вень значений параметров в эксперименте дал среднее значение стойкости 257 отверстий, в то время как оптимальные значения параметров дают стойкость в пределах 1600— 1700 отверстий, т. е. в 6,5 раз больше. Дальнейшее движение по линейной модели проводить нецелесообразно в силу технологических ограничений. Уточнение оптимальных значений параметров возможно путем исследования достигнутой области оптимума с помощью плани­ рования второго порядка.

Рассмотрим еще один пример крутого восхождения, отличаю­ щийся от предыдущего некоторыми особенностями. Необходимо

точения стали марки 18ХНВА твердостью НВ 320—330. Режим

обработки: скорость резания 100 м/мин, подача 0,1 мм/оборот, глубина 2 мм, работа без охлаждения. Для получения линейной модели, отражающей зависимость стойкости резцов от пяти указанных факторов, используем дробный факторный эксперимент типа 25-2. Эффект фактора ср£ приравняем к тройному взаимодей­

ствию х гх гх 3, а эффект фактора г к двойному взаимодействию х гх 3,

поскольку есть основания считать эти взаимодействия статисти­ чески незначимыми. Исходные данные, планирование и резуль­ таты опытов приведены в табл. 58. Опыты выполняем через шаг. Реализованный опыт № 3 дал наибольшее значение стойкости (54 мин), что превосходит наибольшую стойкость в серии опытов (33 мин) и среднюю стойкость по всем опытам (20 мин).

Таким образом, оптимальными значениями факторов являются:

ср = 48°; а = 16°; у — —2°; % = 12°; г = 0,8 мм.

Симплексное планирование

В 1962 г. Спиндлей, Хетц и Химсуорз предложили на стадии крутого восхождения использовать последовательный симплекс­ ный метод планирования эксперимента.

Симплекс — это простейший выпуклый многогранник, обра­ зованный k + 1 вершинами общего положения в ^-мерном про­

странстве. Так, например, на плоскости симплекс образуется лю­ быми тремя точками, не лежащими на одной прямой (любой

171

треугольник), в трехмерном пространстве — любыми четырьмя точками, не лежащими в одной плоскости, т. е. любая треуголь­ ная пирамида и т. д. Симплекс называется правильным или регу­ лярным, если все расстояния между образующими его вершинами равны. Регулярными симплексами являются правильный тре­ угольник, тетраэдр и т. д. Для общности можно добавить точку — нуль-мерный симплекс и отрезок прямой — одномерный сим­ плекс, причем оба они по определению всегда регулярны.

В силу своей простоты симплекс обладает следующим замеча­ тельным свойством, лежащим в основе его использования для целей оптимизации: из любого симплекса можно, отбросив одну из вершин и используя оставшуюся грань, получить новый сим­ плекс, добавив всего лишь одну точку. Путем последовательного отбрасывания вершин можно осуществлять перемещение сим­ плекса в факторном пространстве, причем это перемещение будет происходить с каждым экспериментом. Если произвести экспе­ рименты в вершинах симплекса, то направление максимального наклона поверхности отклика (направление градиента), определен­ ное на основании проведенных наблюдений, будет проходить из центра через грань, противолежащую вершине с минимальным значением отклика. При этом предполагается, что поверхность отклика в области, ограниченной симплексом, близка к плоскости.

Для продвижения к экстремуму представляется естественным перейти от исходного симплекса к симплексу, находящемуся в области более высокого значения отклика *, путем отбрасыва­ ния вершины с минимальным значением выхода (отклика) и по­ строения на оставшейся грани регулярного симплекса с новой вершиной, являющейся в силу симметрии зеркальным отражением отброшенной. Затем процесс отбрасывания вершины с минималь­ ным откликом и построения нового симплекса повторяется, в ре­ зультате чего формируется цепочка симплексов, перемещающихся к экстремуму. Итак, перемещение симплекса в факторном про­ странстве происходит путем зеркального отображения вершин, имеющих минимальное значение отклика. Достигнув области экстремума, симплекс начинает вращение вокруг вершины с мак­ симальным значением отклика. Это явление может быть исполь­ зовано для определения конца процесса оптимизации.

Основной особенностью симплексного метода поиска является совмещение процессов изучения поверхности отклика и переме­ щения по ней. Это достигается тем, что эксперименты ставятся только в точках факторного пространства, соответствующих вер­ шинам симплексов. При этом увеличение размерности факторного пространства на 1 влечет лишь добавление к матрицам по одной строке' и одного столбца, соответствующих всего одной экспери­ ментальной точке.

* Здесь и в дальнейшем предполагается, что ищется максимум. Если ищется минимум, то следует отбрасывать вершину с наибольшим значением отклика.

172

Правильный ^-мерный симплекс с центром в начале координат может быть задан следующей матрицей (координаты вершин опре­ деляются строками матрицы) [20]:

(187>

г = 1, 2, . . . . А

Таким образом, координаты экспериментальных точек, соот­ ветствующих вершинам симплекса, можно представить табл. 59.

В табл. 59 двойной линией выделена матрица планирования для трех факторов. Из общей структуры матрицы легко заметить, что увеличение размерности факторного пространства на 1 влечет лишь добавление к матрицам по одной строке и одному столбцу, соответствующих всего одной экспериментальной точке.

Таблица 59

Координаты точек симплекса

173

Наряду с приведенной выше матрицей симплекс-планов воз­

(рис. 31). Расстояние между двумя

ных) примем равным 1. В этом случае высота симплекса равна 0,86 (координаты вершин симплекса в данном случае отличаются от данных в табл. 59, так как в начале координат расположен не

Таблица 60

Базовые значения и интервал варьирования

174