Файл: Кацев, П. Г. Статистические методы исследования режущего инструмента.pdf

=1,895.

Таким образом, оба выделенных эффекта значимы с вероят­

ностью 95%.

После оценивания эффектов нескольких факторов произво­ дится корректировка результатов экспериментов для более чет­ кого выделения менее сильных факторов и парных взаимодействий. Корректировка производится путем прибавления с обратным знаком эффектов выделенных факторов к результатам отсеива­ ющих экспериментов: +6,0 ко всем результатам на уровне Х х + ;

— 13,7 ко всем результатам на уровне Х 4 + .

«Снимаем» действие выделенных эффектов Х 4 и Х 4. Корректи­ рованные результаты приведены в табл. 66 в графе у г. По скоррек­

тированным результатам вновь строим диаграммы рассеяния (рис. 33), где помимо линейных эффектов приведены и эффекты парных взаимодействий. Оценивание эффектов и корректировка результатов производится до тех пор, пока эффекты факторов окажутся незначимыми для 10% уровня значимости. В нашем примере отсеивание факторов прекратили на третьем этапе (зна­ чения у 3 в табл. 66). После выделения факторов Х 7, Х 8 и оценки

их значимости по критерию Стьюдента убедились, что оба эффекта этих факторов незначимы (/8 = 0,87 и t7 = 0,79, критическое

значение ^0il = 1,865).

185

После серии корректировок результатов экспериментов строим точечную диаграмму распределения значений критерия оптими­ зации на различных стадиях выделения, значимых эффектов (рис. 34). После снятия значимых эффектов разброс точек значи­

w

с углом при вершине х3. Знак минус при эффекте этого взаимодей­ ствия показывает, что одновременное увеличение или уменьшение заднего угла и угла при вершине вызывает уменьшение стойкости и наоборот, — увеличение одного из факторов и уменьшение другого вызывает увеличение стойкости. Таким образом, для дальнейшего исследования надо включать пять факторов: длину рабочей части; задний угол; угол при вершине; длину поперечной кромки; толщину сердцевины.

Данная задача решалась и другим, более универсальным способом. Вместо построения таблиц с двумя входами пользова­ лись обычными приемами регрессионного анализа: строилась матрица X независимых переменных х1 по всем тем эффектам,

которые признаны значимыми на первом этапе по диаграммам

186

* хз выделен по двойному взаимодействию х2х, с эффектом - 7,645 (t23 =

= 1,97).

рассеяния. Затем с помощью ЭВМ находили коэффициенты нор­ мальных уравнений Х *Х и обратную матрицу {Х*Х)~1. При

этом на этапе «узнавания» по диаграммам рассеяния выделено 10 эффектов и по ним строилась матрица X. Эффекты, признанные

значимыми, снимались с использованием ветвящейся стратегии. Результаты обработки эксперимента по методу ветвящейся стра­ тегии оказались аналогичными с результатами ручного счета.

В более сложной задаче метод ветвящейся стратегии следует предпочесть как более эффективный. Это объясняется тем, что применение ЭВМ не только ускоряет расчеты, но и повышает разрешающую способность метода, так как позволяет одновре­ менно оценивать гораздо большее число эффектов. После расщеп­ ления модели можно использовать обычные методы факторного эксперимента, так как план из сверхнасыщенного по отношению ко всем эффектам становится ненасыщенным по отношению к зна­ чимым эффектам. В ряде случаев можно использовать уже вы­ полненный факторный эксперимент для движения к области оптимума по градиенту.

Планирование второго порядка*

[24—27, 43]

После достижения области оптимума исследователя обычно интересует более детальное описание поверхности отклика. По­ добное описание может быть использовано для локализации точки оптимума, а также для установления типа поверхности, что

* Раздел написан совместно с В. Г. Горским.

187

представляет большой интерес при интерпретации полученных результатов. Для выполнения этой задачи описания поверхности отклика полиномом первого порядка уже недостаточно. Во мно­ гих случаях вполне удовлетворительная аппроксимация может быть достигнута, если воспользоваться полиномом второго по­ рядка.

Математическая модель второго порядка имеет вид

Задача состоит в определении оценок коэффициентов этой модели по результатам спланированного эксперимента.

Основное требование, предъявляемое к плану второго порядка, состоит в том, что план должен допускать получение раздельных, не смешанных оценок коэффициентов регрессии. Для этого необ­ ходимо, чтобы число разных опытов было не меньше числа коэф­ фициентов в модели, равного числу сочетаний из /г + 2 по два, т. е.

тельное число работ, посвященных теории планов второго порядка. Предложено много разных типов планов. Планы различаются между собой по числу точек; в факторном пространстве — числу опытов и т. д. Размещение точек плана влияет на статистичес­ кие свойства получаемой модели.

Симметричные планы второго порядка. Наиболее широкое рас­ пространение на практике находят симметричные планы второго порядка. Под симметричным планом второго порядка понимают план, отличающийся тем, что все нечетные моменты плана равны нулю:

188

N — общее число опытов, выполняемых по плану; g — порядко­

виям проведения опытов от других точек плана. Если обозначить число одинаковых опытов, проводимых в каждой такой точке,

v — это порядковый номер серии, содержащей rv «параллельных»

опытов.

Матрица моментов, отвечающая симметричному плану второго порядка, в соответствии с уравнением (190) имеет вид

вается информационной матрицей. Детерминант этой матрицы (точнее, обратная величина детерминанта) может служить мерой точности оценок коэффициентов регрессии:

189

Если план невырожденный, то

det N - m Ф О,

и при этом соблюдаются неравенства [46]

плексно-суммируемые планы и планы типа вращаемого эволю­ ционного планирования (РОВОП), используемые в эволюционном планировании.

условия выполнения всей совокупности намеченных опытов. В этой связи большой интерес представляют планы второго порядка с разбиением опытов на отдельные блоки, в которых однородность экспериментальных условий должна быть ограни­ чена лишь рамками блока. Группирование опытов в блоки позво­ ляет повысить точность получаемых оценок параметров (коэф­ фициентов) модели. При разбиении всех опытов на ортогональные блоки оценки параметров модели вычисляются независимо от различий между блоками в отношении однородности. К тому же и сами расчетные формулы для определения оценок не изменяются, небольшие коррективы приходится вносить лишь в формулы проверки гипотез.

Приведем (без вывода формул) общую последовательность регрессионного анализа результатов эксперимента, выполняемого по симметричному плану без разбиения на блоки и с разбиением

.на ортогональные блоки.

Регрессионный анализ без разбиения опытов на блоки. 1) Точеч­ ные оценки параметров модели (коэффициентов регрессии) при обычных предположениях о равноточности и некоррелирован­ ности отдельных наблюдений определяются по формулам:

k

190