Файл: Кацев, П. Г. Статистические методы исследования режущего инструмента.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 135
Скачиваний: 1
В этих формулах приняты следующие сокращенные обозна чения сумм:
|
|
N |
|
П |
|
|
(оу) = Е у&= |
V) |
гж |
|
|||
Е |
|
|||||
|
|
Й=1 |
|
о=1 |
|
|
(Uy) = |
N |
|
п |
|
|
|
xigyg = |
Е rvxъ у и\ |
|
||||
|
|
g=l |
n |
о=1 |
(199) |
|
|
N |
|
|
_ |
||
( iy )= |
E |
xieyt = |
E |
V |
ivyv, i =f= 0; |
|
|
|
|
.a |
|
|
|
|
|
|
0=1 |
|
|
|
N |
|
|
n |
|
|
|
(ЧУ) = E |
xiexIeye = |
E |
rvXivXj0yv, |
i 4= j, |
||
g= i |
|
|
0 = 1 |
|
|
|
где г/g — наблюдаемое значение отклика в g -м опыте; у0 — сред
нее значение отклика по результатам наблюдения в и-й серии
опытов |
(точке, содержащей ги опытов): |
|
||||
|
|
|
|
|
го |
|
|
|
|
|
|
Е y°i |
(200) |
|
|
|
|
Уо = |
1=1 |
|
|
|
|
|
rV |
|
|
Коэффициенты а, Ь, |
с и d, |
входящие в формулы (198), |
выра |
|||
жаются |
зависимостями: |
|
|
|
||
|
|
а = |
kX$ |
|
||
|
|
|
г + 1 ; |
|
||
|
|
|
— Ао И- *А3 — &А< |
|
||
|
|
&= |
■\*4— Х3-j- ^Х3— /гХ2 |
(201) |
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с = X.) — Хз ’ |
|
||
|
|
. |
___________Хз — Х|___________ |
|
||
|
|
|
(Х4-- Хд) (Х4-- Хд -(—/Лд -- ЙХ|) |
|
||
Приведем |
формулы, |
связывающие коэффициенты а, Ь, с и d |
||||
с моментами |
Х2, |
Х3 и |
Х4: |
|
|
|
|
а — bk% 2 — 1; |
|
|
|||
|
b -f (dk — с) Л,2 = |
0; |
|
|||
|
6Х2 -f Id (k — 1) — с] Я3 -f- dX4 = 0.. |
|
||||
Эти формулы могут быть полезными при необходимости про верить правильность вычислений коэффициентов а, Ь, с и d.
2) Оценка математического ожидания отклика находится по уравнению
У— Ьо-г Е |
Е |
Е Ьих1. |
(202) |
г=1 |
г</ |
г=1 |
|
191
Контроль правильности вычислений оценок коэффициентов регрессии может быть выполнен с помощью формулы
|
|
|
Е |
( & - £ ) = |
о. |
|
|
(203) |
|
|
|
|
В=1 |
|
|
|
|
|
|
3) |
Выборочные |
дисперсии и ковариации оценок параметр |
|||||||
можно |
найти по формулам |
|
Ns*{bu } |
_ |
с |
d. |
|
||
|
№2 {Ы |
а; |
1 |
||||||
|
s2 {У} |
S2 {</) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
л м м |
_ |
н . |
|
Ns"-{bjj) ^ ?_i. |
l + Г, |
(204) |
||
|
|
|
|
|
s2 Ы |
|
|
||
|
N cov {b0, bii) |
_ |
|
|
N cov {Ьц, |
Ьц} |
_ |
Ащ . |
|
|
s2 {</) |
|
’ |
|
s- {y} |
|
|
|
|
где s2 {y\ — выборочная дисперсия отклика, связанная с ошибкой
эксперимента.
4) Дисперсия предсказываемого значения отклика может бы найдена, исходя из формул (202) и (204), при помощи правила накопления ошибок
s‘ \y) = s 2 {60} + S 2 \ЬС\ |
i=i |
+ |
( М |
£ 4 4 |
+ |
s2IM>< |
||
к |
^ |
|
|
к / |
|
|
к |
|
|
к |
Л |
|
|
||||
X S 4 |
+ 2 cov (60, Ьц) S |
4 + |
2 cov [Ьц, bn ( |
£ xfx] = |
||||
1=1 |
|
|
1=1 |
|
|
|
/</ |
|
|
i l M |
(с — d) |
к |
|
|
|
|
|
|
У, x'l -р (А,-1 — 2d) |
х |
|
|||||
|
N |
|
|
1 = 1 |
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
к |
|
|
(205) |
|
X £ 4 4 + |
(А-1 — 26) S |
4 |
|
||||
|
1<1 |
|
|
|
1 = 1 |
|
|
|
5) Дисперсия s2 {г/}, характеризующая ошибку эксперимент может быть вычислена двумя способами по результатам повторных наблюдений в разных точках плана. Первый, прямой способ, со стоит в объединении дисперсий, соответствующих отдельным точкам плана:
Ш
&{у} = 4 -----• |
(206) |
11=1
Точно такая же формула используется при анализе результа тов полного факторного эксперимента (см. с. 143).
192
В формуле (206) s2 — дисперсия отклика, вычисляемая по опытам в v-и точке плана:
(уо/ — ihf
т ^ т — • |
' <207) |
где /„ — число степеней свободы для дисперсии (207), т. е.
fv = rB- l , |
(208) |
где г0 — число повторных опытов в v-й точке плана.
Второй способ основан на вычислении дисперсии s2 {г/} с по мощью суммы квадратов отклонений, связанной «с чистой ошибкой»:
= |
(209) |
|
' Е |
где |
|
55£ = £ |
S (У*1- У ^ = l i U l - t rvyl\ |
(210) |
||
t l = l |
/ = 1 |
g = 1 |
V— 1 |
|
|
/ £ = |
t L = N - n . |
|
(211) |
|
|
о=1 |
|
|
Формулы (207) и (209) приводят к одинаковым результатам. Однако они корректны лишь только в том случае, если выбороч ные дисперсии отклика по точкам однородны. Поскольку в пла нах второго порядка опыты распределяются по точкам неравно мерно, для проверки гипотезы об однородности дисперсий необ ходимо использовать критерий Бартлета [52].
6) Для статистического анализа полученной модели необхо димо иметь остаточную дисперсию s% и дисперсию неадекват ности slR. Обе эти дисперсии можно вычислить с помощью соот ветствующих сумм квадратов отклонений SS# и SSan. Первая
сумма может быть вычислена по формуле
s s fi= £ (yg- y gy- = £ G/l- Й ) . |
(212) |
g=i g=i
1 Вторая определяется из соотношения
SSaa = L г0 (уи— yvf = £ rv(yl — yl). |
(213) |
t»=l |
|
Для вычисления дисперсий надо каждую сумму поделить на соответствующее ей число степеней свободы. Число степеней свободы для остаточной дисперсии
fR = N - m , |
(214) |
13 П. Г. Кацев |
193 |
где т — число коэффициентов в модели; в случае квадратичной
модели
... |
(А + 2)(А+1) |
(215) |
гп |
2 |
Число степеней свободы для дисперсии неадекватности
faR = n — m. |
(216) |
Очень важно иметь в виду, что суммы SSR, 5 5 ад и SSE и соответствующие им числа степеней свободы fR, / ад и fE связаны
линейными соотношениями
SSR — SSaA-j- SSE |
(217) |
|
и |
|
|
— |
fE- |
(218) |
7) При статистическом анализе полученных результатов обычн проверяют ряд гипотез. Помимо гипотезы об однородности дис персий, по точкам плана проверяют, например, гипотезы о не значимое™ отдельных коэффициентов регрессии и гипотезу об адекватности модели. Необходимо отметить, что проверки различных статистических гипотез опираются на определенные предположения о характере распределения отклика (до этого момента такие предположения не требовались). Обычно исходят из того, что отклик есть нормальная случайная величина. Только при этом предположении будут оправданы излагаемые далее методы.
а) Гипотеза о незначимости некоторого коэффициента ре грессии bt проверяется так же как и при анализе результатов
полного факторного эксперимента путем сопоставления отношения
/ _ IM
1s{&(}
скритическим значением критерия Стьюдента /кр. Последнее вы
бирают по таблицам в зависимости от fE— числа степеней свободы, с которым вычисляют дисперсию s2 {г/}, и уровня значимости а. Уровень значимости принимают обычно равным 5%. Если tt <" <1 tKP, то гипотеза подтверждается и коэффициент bt принимается
равным нулю. В противном случае гипотеза отклоняется и коэф фициент признается значимым.
б) Гипотезу о согласии экспериментальных данных прове ряют с помощью отношения дисперсий. Для этого составляют
отношение дисперсии |
|
характеризующей неадекватность мо |
|||
дели, к дисперсии s2 |
|(/). |
При неравномерном в общем случае |
|||
дублировании |
опытов |
по |
точкам |
|
|
_ |
&5ад |
о = 1 |
Го(.Уа — </о)2 |
Ъ гЛ~у1 - у1) |
|
|
0 = 1 |
(219) |
|||
°ад — |
/ад |
|
п — пх |
п — т |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
194