Файл: Кацев, П. Г. Статистические методы исследования режущего инструмента.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 132
Скачиваний: 1
или
(240)
как матрица моментов станет диагональной. Следовательно, соот ношение (239) является необходимым и достаточным условием ортогональности симметричного плана второго порядка по отно шению к преобразованной квадратичной модели (237).
Вследствие ортогональности плана оценки коэффициентов регрессии модели (237) определяются независимо друг от друга по формулам:
I N п
т |
X у& |
X гиУ« |
g=l |
. |
|
N |
N |
N |
|
N |
|
|
S (xieYyg |
|
Ь ц = |
0=1 |
м |
C N l ( i i y ) = - |
||
|
х |
|
|
g=i |
|
|
п |
|
|
X |
|
|
0=1 |
|
|
N |
|
|
Чл /Л |
xhxie) |
|
X Wg |
|
|
g=i |
|
|
N |
n |
а *?а
Д=1______
*4*4-*в)
(241)
b t = |
|
X х1еУё |
X rvxivVv |
i Ф 0 |
|
(i t y) = g=i |
0= 1 |
■; |
|||
|
|
ЛД.. |
N |
K2 |
|
|
|
|
V* |
|
|
|
|
W |
g=i |
|
|
|
|
rt |
|
||
|
|
X xtexigyg |
X |
rvxivxjvyo |
|
Ъц = -кТ1М-\Цу). |
0=1 |
0=1 |
|
||
|
|
2 |
2 |
||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
(gA/g |
|
|
|
|
|
6=1 |
|
i =£ /•
Выборочные дисперсии оценок параметров находятся по фор мулам
Ns*{b'0) |
|
с — ( к ± |
Я,3) |
|
*2 { У } |
~ |
|||
s2 {*/} |
(242) |
|||
Аfe* {bj} |
№2 {*</} |
|||
* + /• |
||||
s 2 { y |
^2 'j |
А.З ^ |
||
] |
{V} |
|
||
200
Ковариации оценок коэффициентов модели (237) равны нулю. Оценку коэффициента р„, входящего в исходную модель, можно найти, используя формулу (235)
k
bo— |
bo— %2 S Ь ц. |
(243) |
|
г= 1 |
|
Поскольку коэффициенты |
Ьо и Ьц \i = 1, 2, . . |
k) некорре- |
лированы, выборочная дисперсия коэффициента Ь„ находится
непосредственно |
по правилу |
* |
|
накопления |
ошибок |
|
|
s2 (Йо) — S2 |
\b0) -|- A.2s {бц} ~f" |
|
|
(i>22( -)-••• |
“Ь ^-2S \bkk\, |
|
|
откуда, используя выраже ния (242), окончательно имеем
A/sa(M |
= |
1 |
|
|
.(244) |
|
|
|
|
s3(</) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
Ь0 |
и Ьи р ис |
gg Композиционный |
план второго |
|||||
будут |
закоррелированными, |
порядка |
для трех |
факторов |
|||||
как и |
в общем |
случае сим |
порядка |
[см. |
предпоследнее |
||||
метричного |
планирования второго |
||||||||
уравнение |
из |
системы |
(204)]: |
|
|
|
|
||
|
N cov [Ь0, Ьи ) |
■А,3 -(- kh$ — k%2 |
|
|
|
||||
|
|
*2 (Д |
|
|
|
|
|||
Дисперсия |
предсказываемого значения |
отклика |
выражается |
||||||
с помощью формулы (205), в которой в силу условия (239) следует положить d = 0 [см. последнее уравнение системы (201)]. Осталь
ные процедуры регрессионного анализа и соотношения (206)— (219) остаются без изменений.
Известно большое количество разных ортогональных планов второго порядка, построенных по композиционному принципу. Идея композиционного построения плана второго порядка состоит в том, что он образуется путем достройки ортогонального линей ного плана. Это позволяет исследователю сначала планировать опыты, используя простой линейный план. Убедившись в том, что гипотеза линейности не подтверждается, он может добавить опыты и образовать план второго порядка.
Поясним построение композиционного плана на примере с тремя факторами. (рис. 36). Предположим, что исследователь поставил сначала опыты по полуреплике 23-1 (черные кружочки на рис. 36). Далее он выполнил ряд центральных опытов для проверки гипотезы линейности модели. Если последняя не под-
201
тверждается, то можно поставить опыты по второй полуреплике (белые кружки) и затем добавить 6 звездных точек. Восемь точек соответствуют вершинам куба, тогда как последние шесть точек отвечают вершинам октаэдра. В итоге получается план второго порядка, содержащий две конфигурации и ряд опытов в центре. Условие ортогональности (239). обеспечивается подходящим вы
бором размеров звездного плеча а |
и необходимого числа опытов |
|||||||
в центре |
плана. |
|
|
|
|
|
|
|
Композиционные ортогональные планы содержат в общем |
||||||||
случае N опытов, |
причем |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
N = 2 |
+ |
2/г + |
Nо, |
(245) |
где 2 |
— число |
опытов в |
_1_ |
реплике |
полного факторного |
|||
|
|
|
|
|
2р |
|
|
0; 26 — число опытов |
эксперимента 2 к, показатель дробности р ^ |
||||||||
в звездном |
плане, |
|
соответствующем |
вершинам гипероктаэдра; |
||||
N 0 — число |
опытов |
в центральной точке. |
|
|||||
Ниже в табл. 70 приведена матрица независимых переменных для ортогонального плана второго порядка при k = 3. Условие
ортогональности (239) можно выразить в виде формулы |
|
N Е Х" Л = |
(246) |
g=i |
|
Для композиционного плана моменты выражаются формулами:
|
= |
Б 4 , = . 2 * - р + 2а2; |
|
|
|
|
6=1 ■ |
|
(247) |
|
(iY ) = N \3 = i i x2iex%= 2 k- p-> |
|||
|
|
|||
|
|
£ = 1 |
|
|
|
(г4)= М,4 = 2а- р + 2а4, |
|
||
где |
а — длина звездного |
плеча. |
|
|
|
Используя выражения (245), (246) и (247), получим уравнение |
|||
|
(2k~p + 2k + N0)2 k- p = (2k- p+ 2а1)2. |
(248) |
||
|
Это уравнение показывает, что условие ортогональности' пла |
|||
нирования накладывает связь на число центральных |
опытов N 0 |
|||
и звездное плечо а — а 0. В табл. 71 |
приведены [48 ] подсчитанные |
|||
по |
формуле (248) значения а 2 = |
ag. |
|
|
|
В табл. 72 дается сводка параметров некоторых ортогональных |
|||
планов с одним центральным опытом. |
|
|||
Втабл. 73 приводится сводка численных значений моментов
ивспомогательных коэффициентов.
Указанные в табл. 72 и 73 значения параметров моментов и вспомогательных коэффициентов относятся к планам, содержа щим по одному центральному опыту. Если есть необходимость иметь план, содержащий большее число опытов в центре, то
202
Таблица -70 |
- |
М ат рица орт огонального |
план ирования второго п о р яд ка д л я т рех ф акт оров |
Матрица
Полный
факторный экспери мент
.
■Звездные
ТО Ч К И
Опыты в цен тральной точке
|
|
План эксперимента |
*1*2 |
*1*3 |
*2*3 |
( + ) 2 = |
Ы 2= |
(*з)2 = |
|||
|
*0 |
|
|
|
|||||||
V |
*1 |
*2 |
** |
II До 1 |
to>• |
= *2 ~ *2 |
= *3 —^2 |
||||
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
+ 1 |
—1 |
—1 |
—1 |
0,27 |
0,27 |
0,27 |
+ 1 |
■ |
+ 1 |
+1 |
2 |
+ 1 |
+ i |
—1 |
—1 |
0,27 |
0,27 |
0,27 |
—1 |
—1 |
+ 1 |
|
3 |
+ 1 |
—1 |
+ 1 |
—1 |
0,27 |
0,27 |
0,27 |
—1 |
+ 1 |
—1 |
|
4 |
+ 1 |
1 |
+ 1 |
—1 |
0,27 |
0,27 |
0,27 |
+ ll |
—1 . |
—1 |
|
5 |
+ 1 |
—1 |
—1 |
+ 1 |
0,27 |
0,27 |
0,27 |
+ 1 |
|
—1 |
—1 |
6 |
+ 1 |
+ 1 |
—1 |
+ 1 |
0,27 |
0,27 |
0,27 |
—1 |
+ 1 |
. —1 |
|
7 |
+ 1 |
—1 |
+ 1 |
+ 1 |
0,27 |
0,27 |
0,27 |
—1 |
—1 |
+ 1 |
|
9 |
+ 1 |
—1,215 |
0 |
0 |
0,75 |
—0,73 |
—0,73 |
0 |
|
0 |
0 |
10 |
+ 1 |
+ 1,215 |
0 |
0 |
0,75 |
—0,73 |
—0,73 |
0 |
|
0 |
0 |
11 |
+1 |
0 |
—1,215 |
0 |
—0,73 |
0,75 |
—0,73 |
0 |
|
0 |
0 |
12 |
+1 |
0 |
+ 1,215 |
0 |
—0,73 |
0,75 |
—0,73 |
о- |
|
0 |
0 |
13 |
+ 1 |
0 |
0 |
—1,215 |
—0,73 |
—0,73 |
0,75 |
0 |
|
0 |
0 |
14 |
+1 |
0 |
0 |
+ 1,215. |
—0,73 |
—0,73 |
0,75 |
0 |
|
0 |
0 |
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
+ 1 |
0 |
0 |
0 |
—0,73 |
—0,73 |
—0,73 |
0 |
|
0 |
0 |