Файл: Кацев, П. Г. Статистические методы исследования режущего инструмента.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 133

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Таблица 71

Численные значения а2 = а2 в зависимости от N0 и k для ортогональных планов

 

 

 

к

 

 

2

3

4

5 (полуреплнка

 

 

 

 

I х ^ Лх 3х Лх ь)

1

1,000

1,477

2,000

2,392

2

1,160

1,650

2,164

2,580

3

1,317

1,831

2,390

2,770

4

1,475

2,000

2,580

2,950

5

1,606

2,164

2,770

3,140

6

1,742

2,325

2,950

3,310

7

1,873

2,481

3,140

3,490

8

2,000

2,633

3,310

3,660

Таблица 72

Параметры ортогональных композиционных планов

 

 

Квадрат

 

Распределение опытов

 

 

 

 

 

 

 

k

Р

звездного

в центре

в вершинах

звездных

всего

 

 

плеча, а 2

плана, N 0

куба

опытов

опытов, N

2

0

1,000

1

4

4

9

3

0

1,477

1

8

6

15

4

0

2,000

1

16

8

25

5

1

2,392

1

16

10

27

Таблица 73

Численные значения моментов и вспомогательных коэффициентов для ортогональных композиционных планов

к

Р

(i=) = WX2

(,=/') = JVXa

 

а

Ь

С

d

2

0

6,000

4

6,000

5,000

3,000

4,500

0

3

0

10,954

8

12,364

6,499

2,510

3,437

0

4

0

20,000

16

24,000

9,000

2,500

3,125

0

5

1

20,785

16

27,446

7,989

1,816

2,359

0

подобный план нетрудно сконструировать, руководствуясь фор­ мулой (248) и табл. 71, где отражена связь величин N 0 на. Чис­

ленные значения моментов можно подсчитать по формулам (247), вспомогательные коэффициенты — по формулам (201), помня, что d — 0.

Ротатабельные планы второго порядка. Один из существенных недостатков ортогональных планов состоит в том, что модель,

204


полученная на основе ортогонального плана, с разной точностью предсказывает значения отклика на разных направлениях фак­

торного пространства. Иными словами, дисперсия величины у,

как можно видеть из формулы (205), неодинакова в разных точ­ ках факторного пространства, равноудаленных от центра. Этот недостаток ортогональных планов привел к появлению ротатабель­ ных планов [43]. Ротатабельным планом назван такой план, который обеспечивает получение модели, согласно которой рас­ четный отклик обладает одинаковой дисперсией во всех точках факторного пространства, находящихся на одинаковом расстоя­ нии от центра. В этом случае поверхности равных значений дис­ персии предсказания имеют вид сфер, центр которых совпадает с началом координат. Название ротатабельный происходит от английского слова rotatable, т. е. вращающийся, поворотный и непосредственно связано с указанным выше свойством плана.

Если план второго порядка является ротатабельным, то дисперсия предсказания должна зависеть только от р — радиусавектора факторного пространства. Подобную зависимость можно представить в виде уравнения

s2 \у\ = А + Вр2+ ср4,

(249)

где

Р2 = 1£—1

(250)

p4= S * f +

2 £ 4 4

i=l

£</

Анализируя формулу (205), нетрудно заметить, что к выраже­ нию вида (249) можно прийти, если коэффициенты при суммах

кк

и S *?*/ будут удовлетворять соотношению

£=1 £=/

2 s ^ . , | - s 2i M + 2 covl^A/}

(251)

или

 

 

2 (c— d) = Xr1 2 d,

 

откуда следует

 

 

2с =

ХГ1.

(252)

Поскольку с — (Х4 Xs)~ 1

[см. 3-ю формулу

системы урав­

нений (201)] из формулы (252) вытекает условие ротатабельности, выраженное в виде требований к моментам плана:

= З Х 3.

(2 5 3 )


Используя соотношения (250) и (251), можно получить из равенства (205) формулу, справедливую для ротатабельного плана,

s2\y\ = s 2\b0\ + [ s2(6£H - 2 cov{60, 6(/}]p2 + s2l&(,!p4. (254)

Приведенные выше общие формулы регрессионного анализа в полной мере справедливы для ротатабельных планов, надо только учесть в них условие ротатабельности [соотношение (253) ]. Прежде чем переходить к рассмотрению ротатабельиых планов, отметим одно важное их свойство. Из "равенства (253) следует, что условие ротатабельности не зависит от N 0 — числа опытов в центре

плана. Следовательно, число центральных опытов в ротатабельном плане может выбираться до некоторой степени произвольно, важно только, чтобы не было нарушено условие невырожденности плана. Оно выражается последним неравенством из системы (197)

и с учетом равенства (253)

имеет

вид

v

^ * +

(255)

Х\

2

Можно сформулировать, по крайней мере, два подхода к вы­ бору числа центральных опытов ротатабельного плана.

В указанной выше работе Бокса и Хантера предлагается выби­ рать число центральных опытов, исходя из условия равномер­ ности дисперсии предсказания. Ротатабельное планирование, обладающее таким свойством, называется ротатабельным униформпланированием (uniform — постоянный, равномерный).

Используя выражения (201), (204) и (253), можно привести формулу (254) к виду

 

— 2 (k - \ - 2)Яз2 +

2Хз (^з -

1) X

 

X (k

2) р 2 + [Я,3 (k -f-1) (k

1)j p 4>

(256)

 

F =

2 X l[ x l ( k +

2) — k\\

 

(257)

 

 

3 * _

^3 .

 

(258)

 

 

Л3

к2

»

 

 

 

' p * 2 =

j? l

 

 

(259)

 

 

p

к

 

 

 

Переход от радиуса

вектора р к величине р* и одновременно

от Я3 — к А-з означает замену переменных х/

на нормализованные

переменные х] =

Xi_ .

Используя

выражение1 (256),

можно

206


выбрать величину Аз таким образом, чтобы обеспечить равенство дисперсии предсказания на сферах радиуса р* = 0 и р* = 1, т. е.

s2 {^}р-=0 = s3

(260)

Реализация этого условия с помощью выражения (256) при­ водит к квадратному уравнению относительно А.*у:

1) (& + 2) + ^зу (£ + 1) — — 1) = 0.

(261)

Значения положительного корня этого, уравнения, удовлетво­ ряющие требованию униформности планирования, приведены

ниже.

i

k

2

3

4

5

X*sy

0,7844

0,8385

0,8705

0,8918

Анализ выражения (256) при подстановке в него значений Хз = Хзу показывает следующее. Условие равенства дисперсии

предсказания в центре плана и на сфере радиуса р = ]/Х 2 (р* = 1) приводит к тому, что дисперсия мало меняется и-во всем интер­

вале от р = 0 до р = ]/ЛА2. Иными словами, функция отклика оценивается в этом случае примерно с одинаковой дисперсией

во всех точках

шара радиуса р = ]/А 2.

Это свойство

ротатабельного униформ-планирования особенно

ценно, когда центр плана находится в окрестности точки, пред­ ставляющей наибольший интерес для экспериментатора. Спе­ циальные исследования показали, что ротатабельные планы ми­ нимизируют систематическую ошибку, возникающую вследствие неадекватности функции отклика, когда квадратичный полином используется для аппроксимации поверхности третьего порядка.

Второй подход к выбору числа

центральных

опытов

состоит

в предложении находить его исходя

из условия ортогональности

планирования. Иначе говоря

[см. формулы (239),

(240) ],

полагая

Аз =

А3*о =

1-

 

(262)

Проиллюстрируем оба подхода на примере выбора геометри­ ческих параметров (звездного плеча) и числа центральных опытов для композиционных ротатабельных планов. Последние состоят из 2к~р опытов в вершинах куба, составляющих ядро планиро­ вания, из 2k звездных опытов в вершинах гипероктаэдра и N 0

опытов в центре плана.

Моменты композиционного плана такой структуры выра­ жаются формулами (247). Используя эти соотношения, расшиф­ руем условие ротатабельности (253):

2 к~р -(- 2с4 = 3 ■2 к~р,

2 0 7 '


откуда следует формула для вычисления звездного плеча рота­ табельных композиционных планов

k—p

 

ар = 2 4 '

(263)

Величина безразмерного момента А* в случае

композиционного

плана выражается в соответствии с равенством (258) и (247) фор­ мулой

 

Яя

N(NK3)

(2 Ь—р

+ А'о) 2*—р

 

3

Х \ ~

=)2

~

( ^ - Р + 2а®)а

 

 

 

(2fe~P -f 2/г +

Л/0) 2к~ р

 

 

 

 

{.2к~р + 2 -2 ~Т ~)

 

Из этого

выражения

получаем

окончательное

соотношение

для вычисления числа

центральных

опытов:

 

 

Л^о =

( 2*-р -}- 4-2"^

+

4 ) — 2 — 2/г.

(264)

Подставляя в правую

часть Аз =

Азу, можно найти число цен­

тральных опытов для ротатабельного униформ-планирования. Подстановка значения Аз = Азо дает число центральных опытов в ротатабельном ортогональном планировании. Поскольку фор­ мула (264) в некоторых случаях дает дробные значения N 0, при­

ходится округлять эти числа до ближайшего целого, нарушая таким образом условия униформности и ортогональности. Расчеты показывают, что эти отклонения от строгих условий оказываются подчас настолько незначительными, что ими можно пренебречь.

Втабл. 74 приводится сводка параметров ротатабельных композиционных планов.

Втабл. 75 дается сводка численных значений моментов и вспомогательных коэффициентов для расчета коэффициентов ре­ грессии, их дисперсий и ковариаций. Соответствующие значения приводятся как для ротатабельных планов, обладающих свой­

ством униформности, так и для ротатабельных ортогональных планов. В виде отдельного столбца приводятся значения безраз­

мерного момента Аз = -^§-, позволяющие оценить степень блиА2

зости плана к строго униформному и строго ортогональному. Полезно отметить, что при обработке ротатабельных орто­ гональных планов в полной мере пригодны формулы (241) и (242), позволяющие быстро находить раздельные оценки пара­ метров и их дисперсии. Наряду с ротатабельными композицион­ ными планами указанной выше структуры на практике исполь-

208