Файл: Кацев, П. Г. Статистические методы исследования режущего инструмента.pdf

Таблица 76

П арамет ры сим м ет ричны х план ов второго порядка с разбиением на орт огональны е блоки

213

величина средней дисперсии оценок параметров, максимальная величина дисперсии предсказанных значений регрессионной функ­

в отыскании квадратичной модели с наиболее точными оценками параметров, то целесообразно воспользоваться D -оптимальным планом. Этому плану отвечает наименьший объем эллипсоида рассеяния оценок параметров

V = (т+ 2) det[D |b}] (272)

Г { 2 + 1}

где т — число параметров (коэффициентов) в модели; D J&) —

дисперсионная матрица вектора оценок параметров

гамма-функция.

Дисперсионная матрица связана с матрицей моментов плана и обратной ее матрицей простым соотношением

Следовательно, D -оптимальным можно назвать план, обла­ дающий максимальным значением определителя матрицы момен­ тов. Если исследователя интересуют не отдельные параметры регрессионной зависимости, а описательные свойства функции в целом, то уместно воспользоваться G-оптимальным планом. Модель, полученная по такому плану, позволяет предсказывать значения отклика в заданной области факторного пространства

с наименьшей максимальной дисперсией о2 {г/}.

Одна из характерных особенностей предложенных критериев оптимальности состоит в том, что их численное значение зависит не только от числа опытов и относительного расположения точек плана, но и"от формы и размеров области факторного пространства, в которой размещены точки плана. Второе существенное обстоя­ тельство связано с обобщением понятия плана. Оказалось удобнее строить теорию синтеза оптимальных планов, опираясь на понятие непрерывного плана. В случае непрерывного плана речь идет не о дискретном распределении заданного числа опытов по отдель­ ным точкам. Задание непрерывного плана эквивалентно заданию некоторой неотрицательной функции на множестве исследуемых планов. Эта функция представляет собой вероятностную меру и обладает свойствами плотности распределения, т. е. непрерыв­ ный план характеризуется непрерывным распределением «экспе­ риментальных усилий», принимаемых за единицу, по области исследуемого факторного пространства. В то же время было показано, что при некоторых, нежестких ограничениях, которые

215

выполняются практически всегда, существуют непрерывные опти­ мальные планы, сосредоточенные в конечном числе точек. Матрица моментов такого плана имеет практически такой же вид, как и матрица обычного, точного плана с фиксированным числом опытов N.

Рассмотрим симметричные D -оптимальиые непрерывные планы, т. е. планы, для которых нечетные моменты равны нулю. Будем при этом различать D -оптнмальные планы с ограничениями на кубе и на шаре. Матрица моментов симметричного непрерыв­ ного плана имеет ту же структуру, что и матрица (238).

В первом случае область эксперимента задается неравенствами

во втором случае множество экспериментальных точек огра­ ничено шаром, скажем, единичного радиуса

' (275)

/=1

Симметричные D -оптимальные планы на кубе. Если исходить из выражения детерминанта матрицы моментов непрерывного симметричного плана второго порядка, то можно показать [46], что максимальное значение этой величины достигается тогда, когда моменты плана соответственно равны

Доказано, что последнее условие соблюдается лишь в том случае, когда план содержит только точки с координатами (— 1), О, +1. Максимальное по области эксперимента, значение дисперсии предсказываемого значения отклика, приведенной к одному на­ блюдению, равно числу параметров в модели

Ранее было показано, что этот непрерывный D -оптимальный план является одновременно и G-оптимальным. Непрерывные

расположенные в вершинах куба, серединах ребер и центрах двумерных граней. Каждой точке плана приписывается опреде­ ленная доля наблюдений, выражаемая правильной дробью. Планы Коно (k < 9) состоят из меньшего числа точек. Они вклю-

216

чают вершины куба, середины ребер и центральную точку. При k = 2 планы Кифера и Коно совпадают. Такой план содержит

четыре вершины квадрата, четыре точки по серединам ребер и центральную точку. На первое подмножество точек приходится доля, составляющая 0,5832, на второе — доля 0,3206 и на цен­ тральную точку приходится доля 0,0962.

Практическое использование D -оптимальных планов упи­ рается в то, что для точного соблюдения распределения наблю­

D-оптимальных планов точными планами, которые содержат небольшое число опытов и в то же время мало отличаются от не­ прерывных планов по величине критерия оптимальности. Такие почти D -оптимальные планы построены с помощью ЭВМ.

В табл. 78 приводятся параметры некоторых симметричных

В табл. 79 указаны численные значения моментов, вспомога­ тельных коэффициентов и максимальные значения дисперсии предсказываемого отклика. Почти D -оптимальные планы не сильно отличаются от идеальных D -оптимальных планов по вели­ чине максимальной дисперсии предсказания.

Симметричные D-оптимальные планы на шаре. Если исходить из того, что область планирования эксперимента представляет собой шар единичного радиуса, то можно построить непрервный D -оптимальный план на шаре. План второго порядка D -оптима- лен (при ограничении на шаре) тогда и только тогда, когда он ротатабелен. Моменты такого симметричного плана соответственно будут

217