Файл: Кацев, П. Г. Статистические методы исследования режущего инструмента.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 168
Скачиваний: 1
Таблица 4
З н а чен и я ст ойкост и м ет чиков М12 х 1,75
Номер |
Стойкость |
|
Номер |
Стойкость |
|
|
испытаний 1 |
A'f в МИН |
А |
испытаний i |
Л'£ в мин |
|
А |
1 |
11 |
121 |
е |
103 |
10 609 |
|
2 |
27 |
729 |
7 |
124 |
15 376 |
|
3 |
52 |
2704 |
8 |
138 |
19 044 |
|
4 |
65 |
4225 |
9 |
145 |
21 |
025 |
5 |
87 |
7569 |
10 |
155 |
24 025 |
|
2 = 907 £ = 105 427
3. |
Принимаем |
|
k = ~ |
(если п — нечетное число, принимаем |
||||||
k = |
п~ 1 'j . |
Затем |
вычисляем: |
|
|
|
|
|||
|
|
b = ап(хп — XJ + ап_г (xn_i — х2) -|---------Ь |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
+ |
&п-к+1 (Хц-к+ 1 |
%к) == £ ®n-i+1 O^n-i+ 1 |
^ i )i |
(^5) |
|||||
|
|
|
|
|
|
i=l |
|
|
|
|
где an_i+1 для i = |
1, . . |
k |
берутся из |
табл. |
IX [53]. |
После |
||||
подстановки |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|||
b = |
0,5739 (155 — 11) + 0,3291 (145 — 27) + |
0,2141 (138 — 52) + |
||||||||
|
+ 0,1224 (124 — 65) + |
0,0399 (103 — 87) = |
147,74. |
|
||||||
Находим: |
b = |
147,74; |
b2 = |
21 827. |
|
|
|
|
||
4. |
Вычисляем |
критерий |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
W = |
|
21 827 |
0,942. |
|
|
|
|
|
|
|
S 2 |
23 162 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5. Сравниваем вычисленное значение W с значением из таб лицы распределения этого критерия (см. табл. XI в [53]). Эта таблица дает минимальные значения W, которые получили бы для вероятностей 1, 2, 5, 10 и 50% при различных значениях /г, если бы данные действительно имели нормальное распределение. Таким образом, малые значения W указывают на отсутствие нормальности.
Вычисленное значение (0,942) превышает табличное 50%-ное значение WKP = 0,938, полученное для п = 10. Следовательно,
гипотеза о нормальном распределении подтверждается.
6. Можно провести следующую, (необязательную) проверку. Приближенную вероятность получения вычисленного значения
3 4
при допущении о нормальном распределении случайной величины можно найти по формуле
Z = y + r i l n ( - J ^ - ) .
Значения у, т), е для данного размера выборки берут из табл. XII
[53]. Затем с помощью таблицы функции Лапласа определяют вероятность получения значения нормированной нормальной случайной величины, меньшее или равное Z. Полученная вели чина и есть приближенная вероятность того, что такая выборка могла быть взята из нормально распределенной совокупности.
Для |
нашего |
случая |
для |
п = |
10 |
из табл. XII |
[53] находим |
|
у = —3,262, I] = 1,471, |
е = |
0,366. |
Далее |
вычисляем |
||||
|
X — — 3,262 + |
1,471 |
In ( |
°’Э14! .~ э ;3266 ) - |
0,115. |
|||
По |
таблице |
функции |
Лапласа |
находим |
[11] |
|
||
|
|
Р |Z < 0,115} = |
0,55. |
|
|
|||
Поскольку вероятность высока, можно заключить, что вслед ствие наличия ограниченных данных нет оснований отвергать допущение о нормальном распределении стойкости.
Оценка надежности режущего инструмента на основе закона нормального распределения. Надежность режущего инструмента может быть количественно определена как вероятность Р того, что стойкость не будет ниже заданной величины Т. Можно также определять надежность как величину Т, ниже которой стойкость не будет принимать значения с заданной вероятностью Р. Вероят ность безотказной работы за время Т может быть рассчитана
непосредственно на основе результатов испытаний инструмента по формуле (38). Так, например, испытано 68 резцов, из них 9 шт. проработали до затупления менее 180 мин. Тогда вероят ность безотказной работы в течение 180 мин будет
Р (180) = —gg—= 0,87.
Рассчитаем вероятность достижения стойкости не ниже сред ней для зенкеров. Согласно равенству (37) имеем
Р(60) = Ф ( ^ - д |^ ) = 0,5, так как Ф(0) = 0,5.
Получили известный результат: вероятность достижения сред него значения случайной переменной величины, распределенной по нормальному закону, равна 0,5. То же относится и к модаль ному и к медианному значениям, так как для нормального закона
их значения |
совпадают, |
з* |
35 |
Найдем время |
безотказной |
работы |
зенкеров |
с вероятностью |
|||
р = 0,9: |
|
|
60 —Г |
|
|
|
|
|
|
|
)• |
|
|
||
|
|
|
2 8 ,3 5 |
|
|
||
По таблице |
в работе [11] |
функции |
нормального |
распределе |
|||
ния находим, |
что |
Ф (х) — 0,9 при |
х |
= 1,282. |
Следовательно, |
||
|
|
1)28; нли |
7,о.9 = |
— 28,35-1,28 + |
60 = |
||
= 60 — 36,29 = 23,71 мин.
Аналогично найдем, что время безотказной работы с вероят ностью 0,95 будет равно 13,5 мин. Для удобства расчета и анализа надежности инструмента выведем более простую формулу. Как следует из формулы (37) и приведенного выше примера расчета надежности, время Тр безотказной работы с вероятностью р
при нормальном распределении будет
Тр = Т — ups, |
(46) |
где ир определяется для вероятности Р по табл, в работе [11]
функции нормального распределения и называется его квантилью
Р |
0 ,5 |
0,9 |
0 ,9 5 |
1 > Р > 0 ,5 |
0 ,5 > Р > 0,0 |
и р |
0 |
1,282 |
1,645 |
П олож ительное |
О трицательное |
Отсюда следует, что' при нормальном законе распределения вероятность достижения средней стойкости равна 0,5.
Зависимость (46) можно представить в виде
T p = T { \ - U p V ) , |
(47) |
где v — коэффициент вариации стойкости.
Отсюда следует, что
при |
и |
0 ,8 |
7 0 , 0 = 0 |
|
при |
Р = |
0,9 |
|
при |
о = |
0 |
Т р = |
Т |
\ |
при |
0 < |
Р < 1 |
При |
O ^ |
l |
T p s S : |
0 |
1 |
|
|
|
Понятно, что даже при значительной вариации стойкость не может быть равна 0 или принимать отрицательное значение. Полученный результат объясняется тем, что при значении ва риации более некоторой величины vk случайная величина не будет
нормально распределенной. Нормальное распределение дает при ближенное (асимптотическое) описание распределения времени Т.
При небольших значениях вариации вероятность отрицательного значения Т, т. е. вероятность р \Т < 0 ] , заданная как
о
Р { Т ^ 0 } = \ f ( t ) d t ,
36
окажется ничтожно малой величиной и практически не будет влиять на точность расчетов надежности объектов. Если вероят ность Р [Т < 0 } оказывается ощутимо большой величиной, то
это означает, что для описания распределения стойкости нельзя использовать нормальное распределение. В этом случае следует подобрать другой закон, например, закон Вейбулла-Гнеденко. Весьма часто ^'нормальным распределением удовлетворительно описывается стойкость резцов, оснащенных твердым сплавом.
30 |
65 |
60 |
75 |
90 |
105 |
120 |
Т |
Рис. 6. Эмпирическое и теоретическое нормальное рас пределения стойкости резцов на операции окончатель ной обточки наружного диаметра при v = 105 м/мин
Рассмотрим распределение стойкости резцов на операции окончательной обточки наружного диаметра кольца подшипника. Обрабатываемый материал =—сталь ШХ15, резцы оснащены спла вом Т14К8, скорость резания 105 м/мин, 0,4 мм/об; глубина реза ния t = 0,5 мм, количество испытаний 56.
Параметры нормального распределения Т = 67 мин; s =
= 19,5 мин; v = -L- = 0,3.
т
Вероятность р (%2) = р (2,48) = 0,65. Значение стойкости с ве роятностью р = 0,9
Т’о.в = Т — н0,„s = 67 — (1,28 • 19,5) - 42 мин.
На рис. 6 приведены графики эмпирических и теоретических функций нормального распределения и частостей для данных резцов. Испытаны 10 шт. сверл диаметром 8,2 мм Оренбургского завода сверл (табл. 5). Условия испытаний: скорость резания 35,2 м/мин, подача 0,22 мм/об, обрабатываемый материал—сталь 45, НВ 196, охлаждение — эмульсия.
37
Таблица 5 |
|
|
|
|
|
|
|
Р езульт ат ы |
испы т аний сверл диам ет ром |
8,2 м м |
|
||||
№ сверл i |
Стойкость |
i - |
1/2 |
№ сверл i |
Стойкость |
i - 1/2 |
|
Т в мни |
|
N |
|
Т в мин |
N |
||
1 |
21,3 |
0 ,05 |
|
|
6 |
35,5 |
0,55 |
2 |
25,8 |
0> * 5 |
\ |
л on |
7 |
39,7 |
0,65 |
3 |
25,8 |
0 ,25 |
1 |
и'2и |
8 |
41,5 |
0 ,75 ■ |
4 |
29,7 |
0,35 |
|
|
9 |
43,3 |
0,85 |
5 |
33,0 |
0,45 |
|
|
10 |
52 |
0,95 |
Статистические |
характеристики стойкости: Т = 34 мин; s = |
|
= 10 мин; v — = |
= 4т = 0,29. |
|
X |
34 |
' |
Небольшое число испытаний не позволяет оценивать согласие эмпирического и теоретического нормального распределений по критерию х2- С помощью вероятностной сетки (рис. 7) можно убедиться в том, что выравнивание стойкости сверл по нормаль ному закону правомерно.
Оценим надежность сверл
Т0Л = Т — ups — 34 — 1,28-10 — 21,2 мин, 7"*о,95 = Т — ups = 34 — 1,64-10 = 17,6 мин.
Экспоненциальное распределение.
Это распределение [19] характеризует процессы, в которых отказ элемента наступает внезапно, т. е. независимо от того, сколько времени он до этого находился в эксплуатации и каково его состояние. Другими словами, это распределение является следствием предположения, что относительная скорость умень шения вероятности безотказной работы с увеличением заданного времени работы является постоянной величиной:
dP (()
dt |
= %= const. |
|
~ р щ |
||
|
Допущение о том, что интенсивность отказов постоянна, ана логично предположению о неизменности физико-химических свойств материалов. В действительности все технические устрой ства изнашиваются и стареют. Поэтому показательное распреде ление времени безотказной работы является весьма грубым при ближением к действительности. Примером отказов, подчиня ющихся экспоненциальному распределению, являются прокол шины автомобиля, аварии в электросети, отказы некоторых эле ментов радиоэлектронных устройств. В режущем инструменте моделью таких отказов могут быть поломки мелкоразмерного
38
инструмента (например, сверл нулевок) при низком качестве, технологических дефектах изготовления, неблагоприятных усло виях эксплуатации (неопытный оператор, ручная подача, плохое техническое состояние станка, дефекты материала заготовок).
Хорошие по качеству инструменты, если оншработают в усло виях предельных динамических, температурных нагрузок, могут
иметь 1; |
распределение отказов, |
близкое |
к ‘экспоненциальному. |
|||
Экспоненциальное |
распределе |
|
|
|
||
ние имеет место, |
когда |
поток |
|
|
|
|
отказов |
является |
простейшим |
|
|
|
|
[19], т. е. стационарным, |
с от |
|
|
|
||
сутствием последствия и оди |
|
0,99 |
ю----- |
|||
нарным. Одновременно эти ус |
|
|
|
|||
ловия на всегда выполняются. |
|
|
о / |
|||
Плотность вероятности экс- |
^ |
0,89 |
||||
поненциального распределения |
§ |
0,80 |
|
|||
имеет вид |
|
(48) |
§ |
0,70 |
|
|
|
! ( Т ) = Ь е - ” , |
§ |
|
|
||
где X — постоянная (параметр |
|
|||
распределения) |
является |
в то |
5 |
|
же время |
интенсивностью |
от- |
| |
|
казов. |
|
|
|
§ |
Функция этого распределе- § |
||||
ния находится |
по уравнению |
|
||
F (Т) |
= |
1 — е~%т. |
(49) |
|
Физический смысл параме тра X выясняется при опреде
лении среднего значения вре мени безотказной работы
М(Т) =
л
f1
1
|
__ I____
1
1
1
О
1
10 . 20 3 0 I 9 0 5 0 м ин
С т о й к о с т ь
= \tf{t)dt = |
x \te-u dt = \ - |
Рис. 7. Распределение1спюйкости сверл |
о |
о |
диаметром 8,2 мм (вероятностная |
|
(50) |
■ сетка нормального^распределения)] $ |
Следовательно, X есть величина, обратная среднему времени
безотказной работы (интенсивность отказов). Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Т, удовлетворяющей
уравнению (48), находятся по формулам:
(51)
(52)
39