Файл: Кацев, П. Г. Статистические методы исследования режущего инструмента.pdf

принята как минимальное значение стойкости при испытаниях, равное 60 мин (см. рис. 8). Выравнивание на вероятностной бу­

вается обычным путем, однако к результату следует прибавить

и долговечности механических устройств, хорошо описывает рас­ пределение времени безотказной работы элементов радиоэлектрон­ ной аппаратуры (ламп, транзисторов). Плотность вероятности этого закона имеет вид

' _т]_

Это распределение является асимметричным: в частном случае (при у = 1 ) оно превращается в экспоненциальное распределение.

Оценка параметров распределения Вейбулла-Гнеденко. Для проверки возможности использования этого распределения при описании стойкости инструмента обработаны многие испытания различных партий инструмента. Покажем на примере оценку па­ раметров этого распределения. Испытано 49 шт. сверл диаметром 3,5 мм. Испытания проводились до поломки сверл. Значения стойкости и частостей откладываем на вероятностную сетку рас­ пределения Вейбулла-Гнеденко и по полученным точкам проводим прямую I (рис. 10). Затем через точку А проводим линию, парал­

лельную прямой /, до ее пересечения с вертикальной линией Я в точке В. Ордината точки В по шкале Т дает значение у = 0,8. Для оценки (3 находим ординату /п0 = 1,2 на шкале пг точки С

пересечения прямой 1 с линией Я. Параметр (3 находится так:

(59)

44

Таким образом, плотность вероятности распределения стой­ кости

2*0,8

}(Т) = е~~*&-0,24Т~0-2.

Функция распределения

F (Г) = J }(Т) d t = 1 — е~ зЖ.

Рис. 10. Вероятностная сетка распределения Вейбулла-Гне­ денко (стойкость сверл диаметром 3,5 мм)

Рассчитаем критерий = 7,23 (табл. 7), находим Р (%2) =

= 0,2. Рассчитаем надежность указанных сверл, используя формулу

ту

Р (Т) = 1 — F (Т) = е Э .

Оценка параметров распределения Вейбулла-Гнеденко методом разделяющих разбиений. По результатам испытаний известны ве­ личины Т и Т 2, . . ., TN стойкости инструментов в количестве

45

.

7.2 = 2 = 7,23

N шт. Оценка параметров у и Р по методу разделяющих разбиений

производится следующим образом.

1. Выбирают границы разбиения ©! и ©2, при этом©! <С©2

и подсчитывается количество значений 7\, лежащих в пределах (0( ©.), / = 1,2. Обозначим эти количества т (©/)■

т (0;)

Находим отношения v (©,) = — ^— .

Принимаем границы разбиений ©х = 8 мин и ©2 = 23 мин.

Подсчитаем критерий %2 — 7,57, Р (%а) = 0,11.

Гамма-распределение времени безотказной работы [19]. Рас­ смотрим идеализированную схему износа, обладающую следу­

'47

ющими свойствами: средняя скорость износа постоянна; началь­ ное качество инструмента полностью однородно, скорость износа подвержена случайным вариациям. Это будет схема накаплива­ ющихся повреждений. Схеме накапливающихся повреждений отвечает гамма-распределение времени Т безотказной работы.

Плотность этого распределения имеет следующий вид:

Величина X задает среднюю скорость износа. Функция распре­ деления F (Т) — гамма-распределение задается в соответствии

с формулой (60) соотношением

Для целых г интегрированием по частям можно получить

k=Q

Математическое ожидание М (Т) и дисперсия гамма-распреде­ ления D {Т} выражены равенствами:

М[Т} = ^ ;

(64)

Параметры г и X могут принимать только положительные зна­ чения. Легко показать дифференцированием, что функция / (Т)

имеет один максимум в точке Т —■ г~^-- - , если /\> 1 . Если 0<J

48

< /- < 1, функция f (Т) является непрерывно убывающей. В част­ ном случае, когда г — 1, плотность вероятности сводится к выра­

жению

/ (Т) = Хе~ w,

т. е. к плотности экспоненциального распределения. Это согла­ суется с моделью возникновения экспоненциального распределе­ ния — мгновенный отказ при первом повреждении. С возраста­ нием г гамма-распределение стремится к нормальному. Физически

переход от гамма-распределения к нормальному обоснован, если реализации износа длительное время переплетаются между собой, прежде чем начинают возникать отказы. Формально можно счи­ тать переход к нормальному распределению приемлемым при

/■>12, или если отношение— — -----7= - > о,о, т. е. если

Vw

вариация v < -уу #=« 0,28.

Оценка параметров Я и г на основе данных о времени безот­ казной работы. Пусть имеются результаты Т ъ Т 2, . . ., TN испы­ таний на стойкость N инструментов. Рассчитываем в известном

порядке среднее значение Т и дисперсию s?. Затем, приравнивая

Т = М {Т} и D [Т] = s?, получаем соотношения, из которых можно найти X и г

Х = Т _

Рассмотрим выравнивание по гамма-распределению стойкости резцов Т15КЮ по результатам производственных испытаний на операции окончательной обточки колец роликоподшипника (сталь ШХ15) на 1ГПЗ. Скорость резания 135 м/мин, подача 0,4 мм/об, охлаждение — эмульсия. Критерий затупления — износ по зад­ ней поверхности 0,6 мм. Рассчитаем параметры гамма-распределе­ ния (стойкость в штуках обработанных колец).

Получаем функцию плотности вероятности

1 1(Т) = г (11,7) -0,0511-7Г10’7е-°-05Г.