Файл: Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 172
Скачиваний: 0
150 |
ТЕШШЦЕВЫ МАТРИЦЫ Й ФОРМЫ |
[гл . ш |
|
Это утверждение прямо следует из теоремы 6.1 |
й лем |
мы 16.1. В свою очередь, с учетом формулы (4.3), |
отсюда |
|
получается |
|
|
|
С л е д с т в и е 2. Если р = 2q — 1, то |
|
|
sign D h+P = (— l)9 sign Dh-t. |
(16.4) |
В заключение этого пункта отметим, что запрет, нала гаемый леммой 16.1, для ганкелевых матриц не имеет мес та. В самом деле, уже простейшие примеры
|
0 |
0 |
1ц |
D- 1 = 1; Do — D\ — 0; -------1 ( Р — 2), |
|
|
0 |
1 0 |
|
||
|
1 0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
Н3 = |
0 |
0 |
1 |
0 |
, £>_!= 1; D0 = !> != D2= 0; D3= 1 (р = 3) |
0 |
1 0 |
0 |
|||
|
1 0 |
0 |
0 |
|
|
показывают, что для ганкелевых матриц число р может быть как четным, так и нечетным.
Заметим также, что запрет, налагаемый леммой 16.1,
не имеет силы и для н е э р м и т о в ы х |
теплицевых мат |
||||
риц, что видно хотя бы из примера |
|
||||
0 |
1 |
0 |
. £>_! = ! ; D 0 = D x = 0- |
|
|
0 |
0 |
1 |
Z>2 = 1 (р = 2). |
||
1 |
0 |
0 Г |
|
|
|
16.3. |
|
Перейдем к рассмотрению случая, когда в на |
|||
боре (16.2) |
Z>p_x = |
0. |
|
||
Л е м м а |
16.2. |
Пусть у эрмитовой теплицевой фор |
|||
мы (16.1) |
известна (г, к)-характеристика ее матрицы |
||||
Тц-х- Тогда |
усеченная форма Гг_х (х, х) |
и «полная» форма |
|||
Тп-.х (х, х) имеют одинаковые сигнатуры, причем форма Тп-х (я, х) имеет точно на к положительных йнак отри цательных квадратов больше, нежели форма Тг^1 (х, х).
Д о к а з а т е л ь с т в о . Если ранг формы Тп-Х(х, х) равен р и г = р (к — 0), то утверждение леммы очевидно (см. предложение 1° из § 6). Если же г < р (к 0), то по теореме 15.6 при переходе с помощью продолжений от матрицы Тт-х к Тп-г ранг возрастает лишь на последних к шагах продолжения — по две единицы на каждом шаге. Остается применить лемму-6.1. г .
i :10]; |
ЭРМДТОВЫ ТЕПЛИЦЕВЫ ФОРМЫ |
151 |
16.4. Из лемм 16.1 и 16.2 без труда получается прос тое сигнатурное правило для эрмитовых теплидевых форм:
Т е о р е м а 16.1 ( о с н о в н а я т е о р е м а о с и г н а т у р е ) . Сигнатура а формы (16.1) вычисляется по набору последовательных главных миноров
|
(1 |
—) Я-1, D 0, Dx,..., D n- 2, Dn~i |
(16.5) |
||||||
этой |
формы с помощью |
правила |
|
|
|||||
|
|
П—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
а = |
2 |
sign {D ^ D 4) |
|
(sigh 0 = 0). |
(16.6) |
|||
|
|
v= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Рассмотрим (г, /^-характе |
|||||||||
ристику матрицы Тп-Хформы |
Тп-г (х, х). Если в ней со |
||||||||
ставляющая к — 0 (т. е. г = р — рангу формы) |
|
||||||||
(v = |
0, 1,..., р — 1), |
то правило |
(16.6) |
просто совпадает |
|||||
с правилом Якоби |
(см. |
теорему 8.1), ибо |
|
||||||
П—1 |
|
|
|
р—1 |
|
|
г — 1 |
|
|
2 |
sign( D ^ D J |
= 2 |
Sign {D ^ D ,,) = |
2 sign (Д,-!A»)- |
|||||
v = o |
|
|
|
v=0 |
|
|
v=0 |
|
|
Пусть теперь |
/с ;> 0, |
т. е. |
г |
р. Предположим, что |
|||||
в наборе (16.5) |
п е р в а я (считая слева направо) |
группа |
|||||||
нулей имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
||
(Dh-1 Ф 0), |
Dh = |
D д+1 = |
= |
D h+p-i — О (D h+p =Н 0)* |
|||||
Тогда по лемме 16.1 р = 2q — 1 (р)> 0), а форма Th+P(x, х)
имеет |
по |
следствию 1 из леммы |
16.1 ту |
же сигнатуру, |
|||||||
что и Г/,-! (х, х). |
Но у последней, согласно |
правилу Яко |
|||||||||
би, сигнатура |
равна |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
h—1 |
|
|
|
h+p |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Sign (D v -iA ,) = |
2 |
sign (-0 v-lZ>v). |
|
|||||
|
|
v = o |
|
|
|
v= 0 |
|
|
|
|
|
Если |
здесь, h ф p = |
г — 1, |
то |
из |
леммы 16.2 |
следует |
|||||
формула |
(16.6). |
Если |
же |
k + |
р < г — 1, |
то при |
|||||
Dv ф О (Л + р |
|
v |
г — 1) сигнатура формы |
(х, х) |
|||||||
равна |
(ср. |
подстрочное |
примечание к доказательству |
||||||||
152 ТЕПЛИЦЕВЫ МАТРИЦЫ И ФОРМЫ 1ГЛ. III
теоремы 8.1) |
п—1 |
Г—1 |
|
2 sign (/)„_!Д ) = |
2 Sign (Д -iA,), |
v=0 |
v—о |
а, в силу леммы 16.2, такова же сигнатура а. В случае же, когда между D h+VД 0 и Dr-XФ 0 встречаются еще груп пы нулей, к тому же результату приходим повторным при менением леммы 16.2.
Теорема доказана.
З а м е ч а н и е . В правиле (16.6) обращают на себя внимание следующие две особенности. Во-первых, оно по форме записи совершенно идентично правилу Якоби, но, в отличие от последнего, может применяться без вся
ких ограничений на |
миноры Д |
(v = |
0, 1, . . ., п — 1). |
|
Во-вторых, в отличие от правил Якоби (теорема 8.1) |
||||
и Фробениуса (теорема |
12.1), |
о н о |
н е т р е б у е т |
|
з н а н и я р а н г а |
р |
ф о р м ы Тп-.х (х, х). Помимо теп- |
||
лицевых форм, нам неизвестны иные классы эрмитовых или квадратичных форм, для которых возможно отыска ние сигнатуры оно набору (16.5) без знания ранга формы.
16.5. Разумеется, знание сигнатуры а формы Тп (х, х в сочетании со знанием ее ранга р (найденного, напри мер, с помощью теоремы 15.5) позволяет отыскать числа
1 |
1 |
(р — а) |
ее положительных и |
п = ^ (Р + °) |
и v = у |
||
отрицательных квадратов. |
Однако, |
как и в случае ганке- |
|
левых форм, числа л и v можно найти (зная р) и н е п о
с р е д с т в е н н о |
с помощью теоремы, аналогичной |
теореме 12.1. |
использовав следствия 1 и 2 из леммы |
В самом деле, |
|
16.1, получим |
|
1°. В условиях леммы 16.1 припишем нулевым минорам из набора (16.3) знаки плюс или минус по правилу
sign Д _ 1+„ = (— l)v sign (16.7)
Тогда количества положительных и отрицательных квад ратов формы Тh+p (х, х) превышают соответствующие ко личества для формы Т/,_! (х, х) на величины
3 0 h - v Dhi • • м Д н -р ) и 'V' ( Д - ц Д и • • •, Д + р )
соответственно *).
*) По поводу обозначений & (...), V ' (...) см. §§ 8 и 12.
§ 16] |
ЭРМИТОВЫ ТЕШ1ИЦЕВЫ ФОРМЫ |
153 |
|
Доказательство, в силу того, что р = 2д — 1 (д |
0), |
совершенно идентично доказательству леммы 12.1 в его простейшей части I, если учесть, что использованные там соотношения (12.5) и (12.6) совпадают с (16.4).
2°. Пусть в (г, к)-характеристике матрицы Тп-г фор мы (16.1) r < p ( 7 c > 0 ) . Припишем нулевым определителям набора (DT =f= 0), Dr — Dr+1 = . . . = Dp-X= 0 знаки no следующему правилу.
sign D,._i+v = (— 1) v (v-D/a sign Dr-x
|
|
(v - |
1, 2, . . 2k - 1), (16.8) |
а минор B r-x+ (= |
Dp- 1 = |
0) |
заменим отличным от нуля |
минором Вр-Х— |
(см. |
(15.9)) порядка р. |
|
Тогда количества я и v |
положительных и отрицатель |
||
ных квадратов формы превышают соответствующие ко личества для формы ТТ-х (х, х) на величины
95 {DT~xi Dr, . . ., Dp-2, Вр-х)
W(Dr-x, Dr, . . ., Dp-2, Bp-x)
соответственно.
И здесь доказательство в силу формулы (15.9) ничем не отличается от рассуждений в простейшем случае I а) дока зательства леммы 12.2 (сопоставление различных обозначе ний, фигурирующих в нашем предложении 2° и упомяну том доказательстве леммы 12.2 предоставляем читателю в виде упражнения).
Теперь, суммируя предложения 1° и 2°, получаем ана лог правила, установленного теоремой 12.1:
Т е о р е м а 16.2. Пусть ранг эрмитовой теплицевой формы Тп-х (х, х) равен р = г + 2к, где (г, к) есть харак теристика матрицы Тп-х■ Рассмотрим набор
(1 = ) D-x, Do, Dx, •••, Dp-2, Dp-x,
в котором при к = 0 (г = р) положено D*p-x = Dp-X, а в
противном случае D*p-X= Вр-Х (— М1р) (см. предложение 2°). Нулевым определителям Dj-x{ 0 < 7 р — 1), если таковые имеются, припишем знаки по правилам (16.7) и (16.8). Тогда количества i t u v положительных и отрица тельных квадратов формы Тп_х (х, х) соответственно
154 |
ТЕПЛИЦЕВЫ МАТРИЦЫ |
И ФОРМЫ |
1гл. xix |
||
определяются равенствами |
|
|
|
||
|
к = |
SP (1, Do, Dx, ■••, Dp-o,i Dp-j), 1 |
|
qv |
|
|
v - |
W (1, Do, Dx, . . ., |
Dp-oi DU)- I |
{ |
’ |
|
З а м е ч а н и е . В первых публикациях [20, |
22] |
пра |
||
вила, сформулированного в теореме 16.2, в формулах (16.7) и (16.8) вместо множителя (— 1 (т. е. такого же, как в правиле Фробениуса для ганкелевых форм)
фигурировал |
коэффициент ( |
— l)',(',+D/2. Легко |
понять, |
что именно в |
силу леммы 16.1 |
и соотношения р = |
г + 2/с |
эти различные множители дают в формулах (16.9) один и тот же результат.
Промеры и упражнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. |
Рассмотрим |
эрмитову |
тешшцеву форму |
(порядка ге = |
|||||||||
П (*. X) = |
4 |
(I go la + |El р + I |
h |
Р + |
I и I2 + |
I |
к I2) + |
|
|||||
+ 4£ (Eoli+ Ell. + Ells + Ёз1«) - |
« |
(loEl+ tih |
+ IlEa + Ш + |
||||||||||
|
|
+ 2£ (gog~s + |
Ш |
- |
2i (fogs + |
I1E4) - 5 (gog4 + log4) |
|||||||
с матрицей (cp. упражнение 4 к § 15) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
4 |
|
4£ |
|
0 |
2£ |
— 5 |
|
|
|
|
|
|
|
— 4£ |
4 |
|
4£ |
0 |
|
2£ |
|
|
||
|
|
Ti = |
0 |
|
— 4* |
|
4 |
4£ |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
— 2£ |
0 |
— 4£ |
4 |
|
4£ |
|
|
|||
Здесь |
|
|
— 5 |
|
— 2£ |
|
0 |
■— 4£ |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D_x= 1, D0 = 4, |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
4i |
0 |
|
||
|
£>! = |
4 4i = 0, |
|
Da = |
|
|
|||||||
|
|
- 4£ |
|
4 4i |
= - 6 4 , |
||||||||
|
|
— 4i |
4 |
|
|
|
|
0 |
— 4£ |
4 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a D 3 = Z>4 = |
0, так как у матрицы |
ранг р = |
3 (см. упражнение |
||||||||||
4 к § 15). Поэтому, в соответствии с теоремой 16.1 (формула |
(16.6)), |
||||||||||||
сигнатура |
равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а = |
sign (D-xDo) = |
sign (4) = |
+ 1 , |
|
|
||||||
Поскольку р = 3, то я = 2, v = 1.
2.Вычислить сигнатуру вещественной симметрической т
лицевой формы (порядка п = 5)
тх (*, *) = i0ix + е0е8 + 60е4 + 6J1 + EiE4 + i2s3 + е8б4.
Ответ,. a = 0,