Файл: Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 171

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

146

ТЕЛЛИЦЕВЫ

МАТРИЦЫ И ФОРМЫ

[ГЛ. III

отличен

от нуля минор пятого

порядка

 

 

1

1

р

Т

б

 

 

1

1

1

Р

Т

 

 

1

1

1

1

Р

 

 

1

1 1

1

1

:

 

 

а

1

1

1

1

 

Сопоставить этот факт с леммой 15.1, вычислив предварительно (г, к, ^-характеристику матрицы Тъ. Изучить поведение последо­ вательных миноров Ер-1 и Е х матрицы Тъ и объяснить его с точки

зрения предложений 1° и 2°.

3.

Вычислим ранг р симметрической теплнцевой матрицы пято-

го порядка

0

1

0

1

1

 

 

 

 

1

0

1

0

1

 

т 4 =

0

1

0

1

0

 

 

1

0

1

0

1

 

 

1

1

0

1

0

по правилу, теоремы 15.5. Здесь

D о =

О,

D x — — 1, D 2 ~ D 3 —

— jD4 =

0. Таким образом,

г =

2,

 

 

 

Dr_1 = D1

0, 1 1 0 '

Окаймим этот минор ближайшими к нему (одним) столбцом и (одной) строкой, а также последними (одним) столбцом и (одной) строкой матрицы Т4. Получим

0

1

1

0

А> =

 

0

1

1

1

01

11

= 1(^0).

0

0

0

- О

Так как размеры матрицы не допускают дальнейшего продолжения этого алгоритма, то р = 4. Сопоставьте этот результат с последним из ответов на упражнение 4 к § 14 и формулой (15.8).

4. Найти ранг р эрмитовой теплицевой матрицы

4

4г

■0 :

2i

■- 5

— 4г

4 ,

4i

0

2i

0

— и

4

4i

0

— 2i

0

— 4i

4 .

4i

— 5

— 2г

0

— 4i

4

Ответ, р = 3.

§ 1 5 ]'

 

 

 

 

ТЕОРЕМЫ О РАНГЕ

 

 

 

147

 

б.

Для

теплицевой

матрицы

Т4 примера

1 (порядок п = 5,

(г, к, ^-характеристика (3, 1,

0),

ранг

р =

4), рассмотрим’

продол­

жение

 

 

 

0

0

— 1

 

0

 

0

 

У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

0

 

0

— 1

 

0

 

0

 

 

 

 

 

Т5=

0

2

 

0

 

0

- 1

 

.0

 

 

 

 

 

0

0

 

2

 

0

 

0

— 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

 

0

 

2 •

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

X

0

 

0

 

0

 

2

 

0

 

 

Убедиться, что при л ю б ы х

х,

у у

матрицы

Тъ ранг р >

4. При

каких

значениях

х,

у

будет

р =

5?

 

 

 

 

■>

 

 

У х а в а н и

е. Использовать теорему 15.2.

 

 

6.

У матрицы (эрмитовой теплицевой)

 

 

'

 

 

 

 

 

 

1

 

i

— i

— i

— 1

г

 

 

 

 

 

 

— i

 

1

 

i

- 1

— i

— l

 

 

 

 

Т5

— 1

— i

 

1

 

i

— 1

— i

 

 

 

 

 

i

— 1

— i

 

1

 

i

— 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— 1

 

i

— 1

— i

 

1

i

 

 

 

 

 

 

— i

— 1

 

i

— 1

— i

1

 

 

как

нетрудно

проверить,

в

(г, ^-характеристике составляющая

г =

1 и 7 ? ^ =

D 0=

1. Проследите за скачками ранга при построе­

нии последовательных

продолжении

матрицы

 

 

 

1

г

— i

Та = — i

1

i

— 1

— £•

1

II £

1

i

— i

— i

— i

1

£

— 1

— 1

— £

1

и т. д.

i

i

—.1

— i

1

до

полного восстановления матрицы Tj

и сопоставьте

результат

с теоремой 15,6. Чему равна составляющая к? :

 

к = 2.

 

7. Доказать предложение (см. [19],

Ответ,

 

теорема 4):

 

 

 

Если у эрмитовой (или симметрической) теплицевой матрицы.

Тп_1 ранга р е (г,-/^-характеристике

составляющая

к

0 (г <[

<

р <[ п), а дефект матрицы равен d ( =

re — р), тгео после d шагов

' продолжения этой матрицы *) с помощью произвольных элементов

йп = ^-tv cn+i=

••» cn+d-i =

^-n-d+i (соответственно сп —

cn+i =

c_n_v . . ., cn+d_1 =

c_n_d+1)

получим (впервые])

неособенную

матрицу Tn_1+d.

 

 

 

 

*) Ср. С упражнением

5 ’ к §11 .и подстрочным

примечанием

к нему.

•

- -

 

.

!

148

ТЕПЛИЦЕВЫ МАТРИЦЫ И ФОРМЫ

ЕГЛ. III

У к а з а н и е . Воспользоваться теоремой 15.2 (или ее след­ ствием — предложением 8°) и предложением 1° из § 14.

8. Существуют ли особые продолжения у теплицевых матриц:

Ti =

О 3 — 2£

— £

—2

4£

Тч-

1/2

 

— 2

О О

— £

 

 

-

£/4

1/2

 

 

— i

 

2 - 4 »

 

Г2 =

1/2 —£

2

,

 

—£/4

1/2

—£

 

 

£

2

 

— 4£

Г2 =

—

1/2

£

 

2

 

-

£/4

— 1/2

£

 

i

 

2

4£

?* =

-1 /2

 

£

2

 

-£/4

-1 /2

£

 

1

1

1

0

чОСЕ

1

1

1

1

II

1

1

1

 

1

 

0

1

1

1

(ср. с упражнением 5 к § 14)?

У к а з а н и е , Воспользоваться теоремой 15.3.

9.Сформулировать и доказать обобщение теоремы 15.7 дл

произвольных теплицевых матриц.

§ 16. Эрмитовы теплицевы формы

 

16.1.

Для

произвольной

эрмитовой

теплицевой

формы *)

п— 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тп-х {х, х) =

2 ср - Л р1« (С-Р = СР- Р =

0.1. •••. п — 1)

(16.1)

 

 

Р Л = 0

 

 

 

 

с

матрицей

Гп_х = |ср_д| ^ =1 порядка п ( >

1) р

ран­

га

р мы снова

займемся изучением сигнатуры

и по­

пытаемся установить аналоги результатов Фробениуса в теории вещественных ганкелевых форм (ср. § 12). При этом обнаружатся два любопытных обстоятельства, тесно между собой связанных. Во-первых, расположение воз­ можных нулей в наборе последовательных главных мино­ ров

( 1 = ) D - 1>D 0,D 1,...,D M

(16.2)

должно теперь подчиняться некоторым «запретам», ра­ нее (т. е. в теории ганкелевых форм) нам не встречавшим­

*) Нетрудно проследить, что все результаты § 16 остаются в силе для вещественных квадратичных теплицевых форм.

§ 16]

 

ЭРМИТОВЫ ТЕПЛИЦЕВЫ ФОРМЫ

149

ся. Во-вторых, именно благодаря

этим запретам теория

оказывается более стройной и простой, а окончательный

ее

итог — сигнатурное

правило — совершенно

элемен­

тарным (и тем не менее до недавнего времени остававшим­

ся неизвестным).

 

 

 

 

 

 

 

16.2.

 

Следуя тому же плану, что и в § 12, начнем со

случая, когда в наборе (16.2) встречается изолированная

группа

идущих подряд нулей.

(16.2)

имеется группа

 

Л е м м а

16.1. Если в наборе

(Dh-i ^

0)>

Dh = D hn = ... =

=

0, (Dh+P -ф- 0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(16.3)

из Р 0 >

0) изолированно

стоящих

нулещ то число р не­

четно.

 

 

 

 

Если

рассмотреть

«усечен­

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

ные» матрицы TVx,

Th, ...,

Гл+р-х, Г/1+р, определители

которых фигурируют в (16.3), то ясно, что ранг матрицы

Th+P равенй

+ р +

1,

а у матрицы Th+P„г ранг р равен

Ц +

р — 1 (см. следствие из

леммы 6.1).

 

 

В (г, ^-характеристике эрмитовой теплицевой матри­

цы TVp-x, очевидно, f

== A, &2% — р — г = (h

р —1)—

— h = р — 1. Отсюда следует, что р =

2к + 1 — нечет­

ное

число.

 

Переход Тн+р^г

Т^ р сопровож­

 

З а м е ч а н и е .

дается скачком ранга на две единицы. При р >

1 (т. е.

к0) переходы

Тh-\ Тh Тh+p-i

в силу теоремы 15.6 будут только на каждом из последних к = (р — 1)/2 шагов сопровождаться ростом ранга и при­

том всякий раз — на две единицы. Таким образом,

в лю­

бом случае (р !> 1),

если положить р = 2q

— 1 (g

0),

то весь переход от

 

Тh+p даст

увеличение ранга на

2q единиц.

1.

Сигнатуры

у эрмитовых

форм

С л е д с т в и е

Тп-х (#» *) и Тh+p (х,

х) (с матрицами Т и

Th+P соот­

ветственно-) совпадают. При этом форма Th+P (х, х) имеет точно на q положительных и на q отрицательных квадратов больше, нежели форма T h - i ( х) (Р = 2д— !)•

Смотрите также файлы