Файл: Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 170
Скачиваний: 0
§ 15] ТЕОРЕМЫ О РАНГЕ 141
замечание |
4 |
к |
теореме 13.2) |
|
|
|
|
|
сп-к ~ С-п+к’ |
сп-к = с-п+к? |
|
минор |
|
вычисляется |
(см. (3.9)) так: |
|
|
• M |
V |
~ |
M (V k = ( - 1 ) к Д -1 1 С*-* - с п - к Г - |
(15.9) |
|
Структура минора М)р допускает в случае эрмитовой матрицы Тп-г (к = I) новое истолкование. В самом деле, этот минор должен теперь составляться из главного ми нора Д .-!, окаймленного слева и сверху первыми к стро ками и столбцами, а справа и снизу — последними к строками и столбцами матрицы Tn-V Но поскольку мат рица Тп_1 тешшцева, минор Д -х можно выбрать и так, чтобы (см. схему (15.1)) он стоял вплотную к первым к строкам и столбцам, т. е. (в обозначениях § 1) чтобы
п |
/ * + |
1 |
* + 2 - • - к + Л |
|
"-1 \ /с + |
1 |
к+ 2 . . . к+ г ) |
или схематически:
со • • • С->С+1 °-к |
■ • ■ с-к-а СТ |
■ • • й-п+1 |
||||
ск- 1 • • ■ со |
|
|
|
|
• • • ст |
|
ск |
. . . су |
с0 |
• • • с-о |
СШ • • • С-С+1 |
||
...................... |
|
: |
т о |
; |
...................... |
|
ск+о ■ ■ ■ сг |
с3 |
. . . |
со |
сш+о ‘ • ■ ст+г |
||
с_т . . . . |
........................ |
С0 |
‘ ‘ ‘ C-fc+l |
|||
сп- 1 |
• • • °-т |
С- т - 1 • • . С_т_ г |
ск-1 • • • С0 |
|||
где а = г — 1, %= — п + к, со = — + 2к. Но это, очевидно, то же самое, дто окаймление минора, состоя щего из первых г -f- к строк и' столбцов матрицы 71„_1 последними к ее строками и столбцами. В свою очередь это эквивалентно окаймлению минора Д _ х, взятого в левом верхнем углу матрицы Тп- г, ближайшими к нему к стро ками и столбцами матрицы Тп-г, а затем — ее последними
142 |
ТЕПЛИЦЕВЫ МАТРИЦЫ И ФОРМЫ |
[гл. ni |
к строками и столбцами:
с0 |
• |
• |
• |
с -г + 1 |
c - r |
• • • |
c -r -J c+ i |
c-n+Jt |
• |
• |
• |
c-n+l |
: |
^ |
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
СГ -1 |
• |
• |
• |
С0 |
|
|
|
• |
■ |
• • c-n+r |
||
Сг |
. . . . |
|
cQ . . . . |
|
................................. |
|||||||
|
. . . |
|
. |
. |
|
|
................................. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
СГ+к-1 |
• • • |
• |
• |
• • • |
c o |
................................. |
|
|
|
|
||
cn -k |
' |
• |
' |
• |
........................... |
C0 |
• |
• |
• |
• |
||
cn-l |
• |
• |
• |
cn_r |
........................... |
|
|
|
• |
• |
• c o |
|
|
|
Г |
|
|
|
k |
|
|
|
k |
|
|
Именно этот последний вариант истолкования минора М ^ позволяет сформулировать следующее правило (алгоритм) отыскания ранга р эрмитовой тешшцевой матрицы Тп-.г —
аналог теоремы |
11.3. |
Т е о р е м а |
15.5. Пусть Тп^г — эрмитова тепли- |
цева матрица, а число |
г определяется |
соотношениями |
||
|
Dr~i =£= О, |
D, = 0 (s > |
г). |
(15-Ю) |
Если г = |
п (т. е. второе из соотношений (15.10) |
лишено |
||
смысла), |
то и ранг матрицы Тп-г равен п: р = п. |
Если же |
||
г < п, то, окаймив минор DT-x, стоящий в левом верхнем углу матрицы Тп^г, ближайшими к нему строкой и столб цом и последними строкой и столбцом этой матрицы,
образуем минор Dr+1 порядка г + 2; затем образуем минор
В г±з порядка г + 4, окаймив DT-X двумя ближайшими к нему строками и столбцами и двумя последними строкамии столбцами матрицы Тп~г и т. д., пока это позволяют относительные размеры минора Dr-X и матрицы Tn- V
Рассмотрим |
максимальный (по порядку) из миноров |
A - i+2v (v = |
0, 1, 2, ...), отличный от нуля (Z)r_i == Dr_i). |
.§15] |
ТЕОРЕМЩ.О РАНГЕ |
. |
||
Тогда |
|
|
|
|
|
max |
v = к |
|
|
|
®r-l+2v:?t 0 |
|
||
и г + |
2к = р — ранг матрицы\Тп-Х'*). |
|||
Далее, поскольку при г < р для эрмитовой матрицы |
||||
Тп-Х имеем (I —) к^> 0, |
то |
в теореме 15.2 всегда имеет |
||
место |
случай Ы(= кг) )> |
0 |
и, стало |
быть: |
3°. Любое продолжение Тп эрмитовой теплицевой мат
рицы Тп-Хс г < р произвольной |
парой |
(сп, с_п) (не обяза |
тельно комплексно-сопряженных) |
чисел |
имеет ранг рх = |
' = р + 2 **). |
|
|
Аналогичным образом в доказательстве основной тео ремы о ранге теперь пришлось бы рассматривать только простейший случай (k = I). Ввиду важности для прило жений использованное в этом случае рассуждение (см. доказательство теоремы 15.1), а точнее, его результат,
заслуживает того, чтобы |
быть выделенным в |
отдельное |
' предложение: |
с к а ч к а х р а н г а |
э р м и |
Т е о р е м а 15.6 (о |
т о в о й т е п л и ц е в о й м а т р и ц ы п р и п р о д о л ж е н и и ) . Если в (г, к)-характеристике эрмитовой ' теплицевой матрицы Тп_х составляющая к 0, то усе ченная матрица Тп^ х имеет ранг г, а у матриц Тп_ъ
Тп-к+х, ..., Тп_х |
ранги соответственно равны г - j - 2, |
г -)- 4, ..., г + |
2к. |
Иными словами, при переходе путем построения про должений от матрицы Тг-Х ранга г к матрице Тп^х ран га р (^> г) ранг возрастаетлишь на последних к шагах про должения, причем каждый из этих к шагов сопровождается ростом ранга на две единицы.
Читателю предлагается в качестве упражнения про верить, что теоремы 15.5 и 15.6, а также предложение 3° справедливы и для (комплексных) симметрических теплицевых матриц.
*) Как и для ганкелевых матриц ((см. подстрочное примечание
к теореме 11.3) при малых |
(относительно п) величинах г ранг |
р = г -}- 2к проще находить |
прямым вычислением составляющей к |
в (г, ^-характеристике по методу § 14.
**) Именно это |
предложение (см. [19], теорема 2) являлось пер |
||
воначально основой |
всей |
теории |
эрмитовых теплицевых матриц |
(и форм), развитой |
в [19] |
и [20]. |
|
144 |
ТЕГОГИЦЕВЫ МАТРИЦЫ И ФОРМЫ |
[ГЛ. III |
||
В заключение (также в виде упражнения) предлагается |
||||
установить по |
аналогии с теоремой 11.8 справедливость |
|||
следующего предложения: |
Общий вид эрмитовой тепли- |
|||
Т е о р е м а |
15.7 [20]. |
|||
цевой |
матрицы Тп-г = |
|cp_q |5^=0 данного |
порядка |
|
п О 3) |
с заданной (г, к)-характеристикой (г ;> |
0, к 0, |
||
?2 ^ > г + |
2к) определяется следующим образом: |
|
||
1)при r]> 1 задается произвольная неособенная эрми това теплицева матрица Тг-г порядка г {при г = 0 этот шаг опускается);
2)в качестве Тг берется произвольное особое продол
жение |
матрицы |
71,._г {при |
г — 0 полагаем Т0 = (0)); |
|||||||
3) |
матрицы Тг+1, Тг+2, ..., |
|
определяются един |
|||||||
ственным образом |
как особые продолжения матрицы ТТ\ |
|||||||||
4) |
единственным образом определяется число с^и, |
|||||||||
задающее |
следующее |
особое |
продолжение Тп_к |
{порядка |
||||||
п — k + |
1) матрицы Тг; |
|
|
|
|
|
||||
5) |
этот элемент сп_к в |
Тп-к заменяется произволь |
||||||||
ным |
сп_к (^= Cn-h) |
и |
соответственно |
с'_п+к = |
Сп-к за |
|||||
меняется |
на сп_к; полученная |
в результате матрица |
||||||||
обозначается Тп-к; |
построение |
матрицы Тп„г завершено', |
||||||||
6) |
при к = |
1 |
||||||||
при |
к > |
1 |
остальные |
элементы |
cn_fc+1 (= |
c_n+j_j), |
||||
cn-k+г (= |
c_„+s_2),..., cn_j (= |
c_„+1) |
выбираются |
произ |
||||||
вольно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ясно, что аналогичная теорема может быть сформули рована и доказана и для (комплексных) с и м м е т р и ч е с к и х теплицевых матриц.
Примеры и упраження
1. Для теплицевий матрицы (см. упражнение 2 к § 14)
0 |
0 |
— 1 |
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
— 1 |
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
- 1 |
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
порядка п = 5 с (г,/с, ^-характеристикой (3, |
1, 0) отличный от ну |
ля минор четвертого порядка (г + к + I= |
4) можно выбрать |
§ 151 |
|
|
|
|
ТЕОРЕМЫ О РАНГЕ |
|
|
145 |
||||||
согласно лемме |
15.1, например, в |
виде |
|
|
|
|||||||||
|
2 |
0 |
0 |
- 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
0 |
|
0 |
|
|
16 |
(вариант а) леммы 15.1) |
|
||||
|
0 |
0 |
2 |
|
0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
0 |
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
О |
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О — 1 |
|
О |
4 |
(вариант б)). |
|
|||||
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
= |
|
||||
|
|
|
|
|
|
О — 1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
О |
|
|
2 |
|
О |
|
|
|
|
|
Ранг матрицы |
Т4 равен р = |
г + /с + |
I = 4 |
(проверьте, что D, |
||||||||||
= I Г« |= |
О). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1° и 2°, имеем: |
||
Далее, |
в соответствии с предложениями |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
— 1 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
1?2 = |
|
|
0 |
— 1 |
|
0 = |
— 1 =¥= 0; |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
— 1 |
|
|
|
|
|
|
|
— 1 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
£а = |
|
|
О — 1 |
0 |
= 0, £4 = £ 4 = 0; |
|
|||||||
|
|
|
|
О |
|
О - 1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
О |
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
2 |
|
0 |
О |
|
16^=0, |
Fi = Di = |
0. |
|
|
|
|
|
0 |
|
0 . 2 |
О |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
2. Убедиться, что |
у |
теплицевой |
матрицы |
(порядка |
и = 6) |
|||||||||
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
Р |
If |
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
Р |
Т |
|
|
|
|
|
|
П = |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
Р |
|
(«¥=1, |
Р=М) |
|
||
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|