Файл: Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 173
Скачиваний: 0
§ 161 |
&РМИТОВЫ ТЕПЛИЦЕВЫ ФОРМЫ |
155 |
З а м е ч а н и е . С учетом результата примера 3 к § 15 (р = |
4) |
|
имеем я = |
v — 2. |
|
3. Доказать аналог теоремы 12.2 (см. [25], теорема 6):
Пусть Я и V — количества положительных и отрицательных квадратов теплицевой формы Тп_1 (х, х) соответственно, а я =
=min {л, V}. Тогда в наборе последовательных главных миноров
(1=) £>_!, D0, Dx, . .., D р^(р = л + v) |
(16.10) |
|
формы 7’п_1 (х , х) при |
ф 0 содержится не более 2% — 1 нулей. |
|
Если этих нулей точно 2х — 1, то после их удаления из (16.10) знаки внутри каждой из оставшихся групп чисел (не считая чисел,
стоящих изолированно) при к = |
л строго чередуются, |
а при и = у |
||
совпадают. |
ходу доказательства |
теоремы |
12.2 |
|
У к а з а н и е . Следовать |
||||
с использованием формулы (16.6)- вместо (12.20). |
|
|
||
4. |
Доказать, что теорема из упражнения 3 сохраняет силу и |
|||
при D |
— 0, если верхнюю |
оценку 2х — 1 заменить н а '2х |
(ср. |
|
с упражнением 4 к § 12).
5.Придумать примеры,, демонстрирующие, что оценки 2у. — 1
и2х в упражнениях 3 и 4 соответственно являются т о ч н ы м и (ср. с упражнениями 5 и 6 к § 12).
6. |
Показать, |
что |
в теореме 15.7 помимо параметров] п ( ^ 3), |
г О 0, |
ft > 0 (л > |
г |
2k), можно заранее задаться сигнатурой а |
эрмитовой формы |
|
|
|
|
|
|
n—1 |
|
|
тп-Ах>*) = |
2 |
■р-ф“рч<1 |
|
|
|
|
V,q= 0 |
|
с матрицей Г ^ , |
выбрав в качестве о любое целое число одинаковой |
|||
четности с г (а тем самым и с р = |
г + |
2к) из отрезка [— р, р]. Для |
||
построения такой матрицы |
Тп_х необходимо и достаточно выбрать |
|||
в п. 1) теоремы 15.7 матрицу Тг_г так, |
чтобы она удовлетворяла до |
|||
полнительному |
условию: |
сигнатура |
формы Тг_г (х, х) равна ст |
|
(ср. с упражнением 7 к § |
12). |
|
|
|
7. Проверить справедливость замечания к теореме 16.2.
8. Бесконечная последовательность комплексных чисел
(со = ) со, Cj, Co,. . .
принадлежит, по определению, классу |
если при достаточно |
больших m ( > N) все теплнцевы формы |
|
ш—1 |
|
р, ч=о |
|
имеют в каноническом представлении точно х положительных квадратов.
156 |
т е п л и ц е в ы м а т р и ц ы и ф о р м ы |
[ГЛ. III |
Если эрмитова теплицева форма
п—1
2 °v-chvc,4
Р,<1=о
ранга р имеет х положительных квадратов, то для того чтобы ко нечный набор
Со, Си . . Сл—Х
ее коэффициентов допускал продолжение до бесконечной последовательности {ср}р _0 класса необходимо и достаточно, чтобы ми нор 2>р_1 ф 0. Если это условие выполнено, то при р < п упомяну
тое продолжение определяется единственным образом, а при р = п существует бесконечное множество таких продолжений [19] (ср. упражнение 10 к § 12).
У к а з а н и е . |
Воспользоваться в «необходимой» части пред |
|||
ложением |
3° и теоремой 6.1, а в «достаточной»— теоремами 15.3, |
|||
6.2, 9.2 |
и |
9.1. |
Более полные сведения о последовательностях |
|
З а м е ч а н и е . |
||||
класса |
|
(классификация, |
интегральные представления, асимпто |
|
тическое |
поведение, |
связь с |
классической проблемой моментов и |
|
др.), а также детальное исследование проблемы продолжений, лишь затронутой в упражнении 8, см. в [19, 21, 24, 30, 31, 36]. Аналогич
ные сведения о последовательностях класса (см* упражнение
10 к § 12), правда, в значительно меньшем объеме, содержатся в [14, 35, 29]. По поводу континуальных аналогов этих задач см. [33, 37, 1 3 -1 5 , 39].
Г Л А В А IV
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ТЕПЛИЦЕВЫ Х И ГАНКЕЛЕВЫ Х МАТРИЦ И ФОРМ
§ 17. Взаимные преобразования теплицевых
иганкелевых матриц. Пересчет характеристик
17.1.На всем протяжении гл. III мы прослеживали аналогию между свойствами теплицевых и ганкелевых мат
риц, а также аналогию в поведении соответствующих форм, не забывая, правда, подчеркивать и проявлявшие ся иногда существенные различия. Упомянутая аналогия становится естественной (по крайней мере в том, что ка сается матриц), если заметить, что всякая тешгацева матрица
со |
С-1 |
С-«+2 |
с-п+1 |
С1 |
С0 |
С-п+з С-п+2 |
|
с«-2 |
сп-3 |
С0 |
С-1 |
СП-1 |
сп-2 |
С1 |
С0 |
простой перестановкой столбцов (строк) может быть прев ращена в ганкелеву и обратно.
В самом деле, достаточно, например, в матрице Тп_г переставить столбцы в обратном порядке, т. е. последний столбец на место первого, предпоследний на место второ го и т. д., и мы получим ганкелеву матрицу
|
|
С-п+1 С-п+2 . . . |
0_j |
со |
|
||
|
|
С-п+2 С-п+3 |
. . . |
C„ |
С1 |
(17.1) |
|
н |
и |
= |
С0 |
’ • • СП-3 |
Сп-2 |
||
|
|
С-1 |
|
||||
|
|
со |
С1 |
■ • • С71-2 сп -1 |
|
||
Аналогичная |
манипуляция |
со |
с т р Ок а м и |
матри- |
|||
цы Tn-i |
также приводит к |
(вообще |
говоря, |
другой) |
|||
1-58 ЙРЁ0БРА30ВАНЙЙ МАТРИЦ trn . IV
ганкелевои матрице
|
|
cn -l С71-2 |
С! |
С0 |
|
|
# ,г-1 = |
сп-а С11-3 |
С0 |
С-1 |
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
со |
С-п+з |
С-71+2 |
|
|
|
|
|||
|
|
со |
с-1 |
С-71+2 |
с-п+1 |
Если |
ввести обозначения |
|
|
||
|
Нп-1 = |
llsi+J I г,До* Я п_! = ||SH/||i!yLo» |
|||
то нетрудно заметить, |
что |
|
|
||
Sj = |
cy-(n-o> sf ~ |
c-i+(n-1) (У — 0| |
2, . . |
2п 2). (17.2) |
|
Разумеется, можно и обратно, отправляясь от заданной ганкелевой матрицы
*0 |
*i |
|
*71-2 |
sn -i |
|
*1 |
S2 |
|
3°* и |
*тг |
|
|
|
|
1 |
|
|
Нп- 1 — |
V* |
• |
• |
|
|
5п-2 *71-1 |
|
*2rn-4 S2n-3 |
|
||
Sn -l |
sn |
|
s27i-3 |
*271-2 |
|
с помощью формул |
|
|
|
1 |
|
Ср = Sp+n_j, Ср = S-p+n-i (р = |
О, |
1, . . ., (П |
1)) |
||
(17.3)
получить из нее две теплицевы матрицы
Тп -1 — II Ср-g Цр,д=о —
*71-1
Sn
|
. |
|
|
^ |
1CO |
*271-2
Sn-1
*7 1 - 2
*71-2
* n - i
*27i-4
*271-3
S71
sn -l
•*1 Coо
'*2 *1
*7»-l *71-2
'*71 *71-1
*271—3 |
*2?l-2 |
• , *271-4 |
*271-3 |
^ 1 = | ^ К = 0 =
*1 |
S2 |
*71-1 |
* n |
*0 |
*1 |
*71-2 |
*71-1 |
§17] ПЕРЕСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК 159
которые связаны друг с другом обычным транспониро ванием:
( В Д = T lxi (Т1г)‘ = ТТг-г. |
(17.4) |
Преобразования (17.2) и (17.3) можно записать с по мощью умножения заданных матриц на фиксированную матрицу Jn порядка п:
0 |
1 |
1 |
|
/ п = |
(17.5) |
1 |
|
1 |
0 |
|
В самом деле, непосредственно проверяются соотношения
Нп~1 |
— Tn-iJп, |
Нп~1 — J пТп-±, |
(17.6) |
TL1 |
= я п_х/ п , |
Тп- ! = J nHn. v |
(17.7) |
Этими формулами удобно пользоваться еще и потому, что матрица Уп обладает замечательными свойствами: она эр митова (вещественна и симметрична) и унитарна одно временно:
/ ; = / ; = 7П, / - 1 = / ; ( = / „ ) ,
а потому инволютивна:
|
■Jn — Е. |
I |
(17.8) |
В частности, соотношения (17.4) следуют из (17.7) и сим |
|||
метричности матриц Jn и Нп_! (Jln = |
Jn, Hln- 1 = |
i / n_x). |
|
17.2. |
В связи с введенными в п. 17.1 преобразованиями |
||
возникает естественный вопрос: как эти преобразования отражаются на характеристиках соответствующих мат риц? Точнее говоря: можно ли по заданной (г, к, Z)-xapaKTe- ристике теплицевой матрицы вычислить (г1, к1)-
и (гм, /с^-характеристики ганкелевьтх матриц Нп-х и Нп-х и обратно? Положительный ответ на первый из этих вопросов получается с помощью результатов п. 15.2.