Файл: Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 175
Скачиваний: 0
§ 17] |
ПЕРЕСЧЕТ |
ХАРАКТЕРИСТИК |
165 |
миноры / |
р_х {р — 0, 1, 2, |
. . п) перейдут (с точностью |
|
до знаков) в соответствующие последовательные главные миноры матрицы Тп-ц откуда следует, что в ( f , I f , f ) - характеристике этой матрицы число гм = гг. Кроме того, предложение 2° утверждает (если учесть (17.8)), что Г" =
= |
к , так что |
|
|
|
|
г + к (= р) — 7-- -f- I f |
-f- Г л = 7\ + I f |
+ к |
|
и |
к ~ = |
7' — r v |
|
|
|
|
|||
|
Таким образом доказано предложение |
помимо ее |
||
(г, |
3°. Если для ганкелевой |
матрицы Нп-г, |
||
к ) - характеристики, |
ввести еще величину г1, |
задаваемую |
||
соотношениями (17.17) |
и (17.18), то у преобразованных |
|||
(теплицевых) матриц |
|
|
|
|
Т1 = Hn-iJп и Т~ =
соответствующие (/-r, k1, I1)- и (г1-1, I f , f )-характеристики вычисляются по формулам
г1 = гг, к 1 = к , I 1 = г — гх и |
f = r v к "1 = г — гг, |
|
Г = к (17.19) |
соответственно. |
(17.19) свидетельствуют |
З а м е ч а н и е . Формулы |
о том, что (в принятых в предложении 3° обозначениях)
г* = f , к 1 = Г , I1 = к " . |
(17.20) |
Но это было ясно и раньше, поскольку (см. (17.4))
Г 4 = {Т1У
(ср. упражнение 7 к § 14).
17.4. Соображения, использованные в пп. 17.2, 17.3, наводят на мысль, что теория характеристик ганкелевых и теплицевых матриц, развитая в §§ 10 и 14 соответственно, не является единственно возможной *).
*) То, что первоначально она появилась именно в таком виде (ср. [27, 28, 25]), психологически объясняется традицией, восходя щей к Фробениусу.
166 |
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ |
[ГЛ. IV |
В самом деле, предложения 1° и 2° позволяют для теплицевой матрицы 7’п_1 вместо обычной (г, к, £)-характери- стики рассматривать две другие ее характеристики, а именно — определяемые этими предложениями пары чисел (г1, к1) и (rw, к соответственно. Отправляясь от любой из этих двух пар, можно развить теорию продолжения мат риц Тп-г (и их «угловых блоков») «влево вниз» либо «впра во вверх» и теорию ранга (р) (например, правило построе ния отличного от нуля минора порядка р — ср. лемму 11.1) подобно тому, как это было сделано в §§ 9—11 для ганкелевых матриц.
В свою очередь, для заданной ганкелевой матрицы Нп-г, вместо ее (г, ^-характеристики, можно рассматри вать любую из троек
(И, fci, Р) и (г", fcM, Г ), |
(17.21) |
определенных в предложении 3°, и на базе каждой из них строить теорию по образцу §§ 13—15. При этом, разу меется, снова придется рассматривать продолжения мат риц Нп^г (и их угловых блоков), но теперь уже не «вправо вниз», а «влево вниз» и «вправо вверх» соответственно.
Напомним еще раз, что составляющие характеристик (17.21) связаны соотношениями (17.20), т. е. фактически характеристики (17.21) отличаются друг от друга только взаимной перестановкой второй и третьей составляющих (см. замечание к предложению 3°).
Для достижения полной симметрии в результатах оста ется заметить, что пока мы использовали при введении характеристик только по три из четырех углов каждой из ганкелевых и теплицевых матриц. Восполняя этот пробел, рассмотрим для ганкелевой матрицы
so |
si |
• |
• |
• |
sn -3 sn-2 |
Sn- 1 |
|
S1 |
h |
• |
• |
• |
Sn-2 |
Sn- 1 |
*n |
sn-3 |
STl-2 |
" |
‘ |
‘ |
S2 n -0 |
S2n-5 |
S2n-4 |
Sn-2 |
*n-l |
■ * |
* |
S2n-5 |
*271-4 *271-3 |
||
sn- 1 |
sn |
• |
• |
• |
S2n-4 |
S2n-3 |
S2n- 2 |
§ 17] |
ПЕРЕСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК |
167 |
ее последовательные миноры
S2n -2 P • • • S2 n - p - 2 |
S2n -p -l |
|
G - i — 1 , <7Р_1 = |
■ S271-4, |
S2 n - 3 |
S 2 n - p - 2 • |
||
S2 n - p - l • |
• S 2 n - 3 |
S 2 n - 2 |
(Р --= 1 , 2 , . . |
|
|
идущие «влево вверх» от нижнего правого угла матрицы, и определим неотрицательное целое число 'г условиями
Gtr_x ф 0, (ф-г — |
О (Р > V). |
Ясно, что |
р, |
о < 'г < |
где р — ранг матрицы Hn-V и что пара чисел
(1г, 'к) (Vc = р — ‘г)
представляет собой обычную характеристику (в смысле § 10) ганкелевой матрицы
S2n-2 S2M-3 |
' |
• |
sn |
sn |
|
S2n-3 S2n-i |
- |
• |
Sn-1 |
sn |
|
t (Нп-г) = |
|
|
. |
S2 |
|
Sn |
Sn-1 |
' |
S1 |
||
*n -l |
Sn-2 |
‘ |
' |
S1 |
S0 |
«антитранспонированной» (т. е. зеркально отображенной
в побочной диагонали) по отношению к матрице |
Нп_!, |
чем, кстати, и объясняются наши обозначения. |
можно |
Но легко видеть, что переход от Нп-г к |
осуществить в данном случае с помощью матрицы / „ (см. (17.5)) следующим образом:
'(Яп-х) = JnKn-Sn.
Это позволяет нам с помощью предложений 2° и 3° свя зать обычную (г, /^-характеристику матрицы Нп_г с ее ('г, '^-характеристикой. Для этого рассмотрим сперва «промежуточную» теплицеву матрицу
168 |
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ |
Ггл. iv |
у которой (г1, ft1, ^-характеристика определяется (пред ложение 3°) формулами
г1 -- гг, к1 — к, I1 = г — ?'1>
а затем заметим, что
'(Hn-l) = JnTl-1.
Теперь, на основании 2°,
'?• = т-1 + fti, 1к =
т. е. окончательно
‘г = г1 + к, (к = г — 7-1 (Т -ф '/с = т- + А: = р)
(напомним, что |
г1 = гх |
определяется |
соотношениями |
||
(17.18)). |
все |
обнаруженные выше |
факты в виде |
||
Подытожим |
|||||
двух теорем. |
17.1 |
Каждой ганкелевой матрице Hn, t |
|||
Т е о р е м а |
|||||
ранга р отвечают четыре набора чисел |
|
|
|||
(г, k), |
(V, |
‘к); |
(7-1, fti, Р), (гм, |
к~ |
Г ), |
из которых первые два характеризуют соответственно Нп^ и антитранспонированную матрицу как ганкелевы (в смыс.ге определений § 10), а вторые два характе ризуют (в смысле определений § 14) теплицевы матрицы
Т1 |
= Hn-lJn и |
Т |
= JпНп-I (см. (17.5)) соответствен |
но. |
Составляющие |
перечисленных характеристик связа |
|
ны соотношениями |
|
||
1г= г1 -f- ft1, |
lk = |
г — г1; |
|
к1 — к, г1 = г — г1; |
|||
г"1= г1, ftM= |
Z1, |
= /с1; |
|
г + к = ‘ г + ‘к = г1 + ft1 -I- Р = г и + АГ + Г = р. |
|||
|
Т е о р е м а |
17.2. Каждой теплицевой матрице Тп^г |
|
ранга р отвечают четыре набора чисел
(r, ft, Z), (г', ft', г'); (г1, ft1), (rM, ftM),
из которых первые два характеризуют соответственно Тп-г и транспонированную матрицу ( Тп^ 1 как тепли-
§ 17] |
|
ПЕРЕСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК |
КЮ |
||
цевы (в смысле определений § 14), |
а вторые два характери |
||||
зуют |
(в смысле |
определений § |
10) |
ганкелевы |
матрицы |
Н п = |
Тп_ ^ п |
и Hn-i = 1пТп_г |
(см. (17.5)) |
соответ |
|
ственно. Составляющие перечисленных характеристик свя заны соотношениями
г1 = г, k' = I, 1‘ |
= к; |
г1 = г + I, к1 = |
к\ |
гм = |
г + |
|
= |
|
I; |
|
г + к + Z = г' + /с' + Z' = pi + /с1 = гм + Л" = р |
||||||
Примеры и упражнения |
|
|
|
|
||
1. Рассмотрим теплицепу матрицу |
|
|||||
|
1 |
1 |
3 |
т |
6 |
|
|
1 |
1 |
1 |
3 |
т |
|
Тъ = |
1 |
1 |
1 |
1 |
3 |
(а=М ,В^1) |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
из упражнения 2 к § 15 с (г, к, ^-характеристикой (1, 1, 3). Переста новка столбцов в обратном порядке дает ганкелеву матрицу
б |
т |
3 |
1 |
1 |
1 |
т |
3 |
1 |
1 |
1 |
1 |
3 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
а |
Нетрудно убедиться, что отличен от нуля ее последовательный глав
ный |
минор |
четвертого |
порядка |
|
|
|
|
|
|
|||||
б |
т |
3 |
1 |
б |
т |
3 |
1 |
|
|
|
Т |
3 |
1 |
|
т |
3 |
1 |
1 |
г |
3 |
1 |
1 |
|
|
|
||||
= |
(3 ~ |
1) |
3 |
1 |
1 |
|||||||||
3 |
1 |
1 |
1 |
3 |
1 |
1 |
1 |
|||||||
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|||||||||
1 |
1 |
1 |
1 |
1 - 3 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
||||
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= - |
|
(3 - |
I)2 |
1 |
1)3^ о , |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||||