Файл: Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 176
Скачиваний: 0
170 |
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ |
МАТРИЦ |
[ГЛ. IV |
а все следующие за ним равны нулю. |
Поэтому г1 = 4 ( = |
г -)- /), |
|
а к1= 1 ( = к) (проверьте это!) — в соответствии с предложением 1°.
2.Если в матрице Т6примера 1 переставить в обратном порядк
строки, то у полученной ганкелевой матрицы
|
а |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Я5 = ЛТъ |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
3 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
3 |
т |
|
1 |
1 |
1 |
р |
т |
б |
как легко видеть, гм = 2 ( = г + к). Проверить, что к14 = 3 ( = I)
—в соответствии с предложением 2°.
3.Рассмотрим ганкелеву матрицу
0 1 0 1 0
1 0 1 •р 1
0 1 0 1 0
1 0 1 0 0
0 1 0 0 0
с (г, ^-характеристикой (2, 2) (см. упражнение 2 к § 10). В соответ ствии с определениями (17.17) и (17.18) для этой матрицы
|
|
Ео = 0, |
Е\ = |
1 |
0 |
= 1, |
Ей — Ез = Е\ == 0, |
||||
т. е. |
= |
0 1 |
|||||||||
2. |
матрицы |
|
|
|
|
|
|
|
|||
У теплицевой |
|
|
0 1 |
0 1 |
0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
0 1 |
|
|
|
|
Т { = HiJs = |
0 1 |
0 1 0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
1 |
0 1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
0 |
1 0 |
||
г1= |
2 ( = |
r j, А1= |
2 ( = |
A), |
Z1 = |
0 ( = |
г —’>i) — в соответствии |
||||
с предложением 3°. В согласии с этим жещредложеиием у теплице вой матрицы
0 1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
О 1 |
о о |
||
Г Г = J e ff * = 0 1 |
0 1 |
о |
||
1 |
0 |
1 |
0 1 |
|
0 1 |
0 10 |
|||
' = 2 ( : П), к~ = 0 ( — г - гг), Г = 2 ( = к).
§ 18] ОБРАЩЕНИЕ ТЕПЛИЦЕВЫХ И ГАЫКЕЛЕВЫХ МАТРИЦ 171
4. Для ганкелевой матрицы (ср. |
упражнение 3 к § 10) |
||||
|
0 |
4 |
0 |
1 |
|
Я . = |
4 |
0 |
1 |
0 |
|
0 10 |
Vi |
||||
|
|||||
|
1 0 V* —6 |
||||
найти все четыре характеристики, о которых идет речь в теореме
17.1.
Ответ, |
(г, к) = |
(2, 1), (V, |
*А) == (3, 0); |
(г1, к1, I1) = |
(2, 1, 0), |
(гн , fcH, Г ) |
= (2, 0, 1). |
5. Найти все четыре характеристики (см. теорему 17.2) теплицевой матрицы
|
|
|
Т2 = |
i |
2 |
4i |
|
|
|
|
-V a |
t |
2 . |
||
|
|
|
|
|
—Ik —Va i |
||
|
|
|
Ответ, |
|
(г, к, l) = |
|
(1, 0, 1), (r{, к1, ll) = (1,1, 0); |
|
|
|
|
|
(r\kl) = ( 2,0), ( г ~ ,Г )= (1, 1). |
||
|
§ 18. Обращение теплицевых и ганкелевых матриц |
||||||
т. |
18.1. |
Общеизвестно, что |
задача обращения матриц, |
||||
е. |
отыскания для |
задаииой |
|
неособенной матрицы А |
|||
(|.4 |
1=54=0) |
обратной |
матрицы |
|
А~г, является одной из |
||
центральных и трудных задач |
теории матриц. Важность |
||||||
ее |
решения хотя бы для отдельных классов матриц как |
||||||
в теоретическом плане, |
так и в прикладных задачах (ре |
||||||
шение систем линейных уравнений) не вызывает сомне ний. К сожалению, несмотря на обширную литературу, посвященную этому вопросу *), проблема во многих ее аспектах требует дальнейшего углубленного исследования.
*) Объем настоящей монографии не позволяет отразить резуль таты, относящиеся к численным методам обращения теплицевых и более общих (так называемых блочно-теплицевих) матриц. Эти ре зультаты носят по большей части прикладной характер (построение алгоритмов для обращения матриц на ЭВМ) и в большинстве случаев связаны с теорией фильтрации и экстраполяции скалярных и вектор ных стационарных случайных процессов, корреляционные матрицы которых как раз и являются тешшцевыми (в векторном случае — блочно-теплицевыми). Для ориентировки читателя укажем здесь на работы Н. Левинсона [53], П. Виттла [55, 56]. Дж. Дурбина [42а], В. Тренча [54], С. Зохара [57], Л. М. Кутикова [34а] и совсем недав но появившуюся статью X . Акаике [39а]. Заметим, что во всех этих
172 |
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ |
[ГЛ. rv |
|||
|
В этом параграфе |
мы изложим |
сперва недавно полу |
||
ченные |
результаты |
И. Ц. Гохберга и |
А. А. Семенцу- |
||
ла |
[17], |
а также И. Ц. Гохберга и Н. Я. |
Крупника [16] |
||
по |
обращению т е п |
л и ц е в ы х |
матриц Тп (нам удоб |
||
нее здесь, следуя упомянутым авторам, работать с матри цами порядка п -Г 1). Затем используем эти результаты для решения с помощью методов § 17 задачи обраще ния г а н к е л е в ы х матриц Нп.
18.2.Центральной в излагаемой ниже теории является
Т е о р е м а 18.1 |
( Г о х б е р г а и С е м е н ц у - |
||||
л а). Если |
гпеплицева матрица |
Тп = |Ср-qЦ»,q=o такова, |
|||
что каждая из систем уравнений |
|
||||
|
11 |
|
|
|
|
) |
2 сл -Л = |
6ро |
(р = |
о, 1,.. .,п), |
(18.1) |
п |
q=G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
ср-чУ<1-п= |
|
(р = |
0, 1 , . . п) |
(18.2) |
|
<1=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
разрешима и выполнено условие х0 =j= 0, |
то матрица Тп |
|||||||||
неособенная и |
обратная к ней |
матрица Тй1 |
строится |
|||||||
по формуле *) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
' |
х о |
0 |
. . 0 |
Уо |
У- 1 ■•• У-п |
|
|
||
гр-1 |
_ |
x i |
|
.. . 0 |
0 У* |
■■ ■ У -п +1 |
— |
|
||
1 П |
— х~0х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х п |
r« - i |
■• *0 |
0 |
0 |
■■ • Уо |
|
|
V |
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 * „ |
*,>-1 |
• • • |
|
|
|
жг |
||||||||
|
У-п |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
о о |
|
. . . |
х „ |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
У -п и |
|
0 |
0 |
0 0 |
0 |
|
|
||
|
|
|
. |
|
|
|
■ ■ ■ х п |
|||
|
У-г |
У -2 У - 3 |
|
У -п 0 |
0 0 |
0 |
. . . 0 |
|||
работах на обращаемые теплнцевы матрицы налагаются жесткие ограничения типа положительной определенности или несколько более слабого требования строгой несингулярности, т. е. отличия от нуля всех последовательных главных миноров, а для блочно-тепли-
цевых матриц вида [|Tp_q |
где T j (/' = 0, ± |
1, |
..., |
+ (п — 1)) |
||
— произвольные |
квадратные |
матрицы,— обратимости |
всех |
«усе |
||
ченных» матриц |
|2’„ _ ( ||pi7=a |
( k = 0, 1, ..., н — |
1). |
|
|
|
*) Для н е о с о б е н н о й матрицы Тп числа |
(х 0, |
ад, |
..., х п ) |
|||
и (у», У -и У-2» ..о |
У~п)>как видно пз формул (18.1) |
и (18.2), суть эле- ■ |
||||
§ J8] ОБРАЩЕНИЕ ТЕПЛИЦЕВЫХ И ГАНКЕЛЕВЫХ МАТРИЦ 173
Д о к а з а т е л ь с т в о . При п = 0 утверждения теоремы тривиальны (заметим лишь, что в формуле (18.3) вычитаемое в фигурных скобках в этом случае отсут ствует). Итак, пусть п^> 0. Неособенность (обратимость) матрицы Тп докажем от противного.
Пусть |
|Тп |= det Тп = 0. Тогда |
строки Гр = |
= (СР. cp-v |
ср- п) матрицы Тп (р = 0, 1, 2, |
..., 7г) линейно |
зависимы. Поскольку система (18.1) разрешима, а в пер вом из ее уравнений (при р = 0) правая часть равна еди нице, первая строка Г0 матрицы Тп не может состоять только из нулей: Г 0 Ф 0. Отсюда и из линейной зависи мости строк вытекает, что хотя бы одна из остальных строк Г1( Г2, . . ., Г„ выражается линейно через п р е д ы- д у щ и е. Обозначим через m ( > 1) н а и б о л ь ш и й из номеров, для которых
где а э, ах, . . ., a m_x — некоторые |
комплексные числа. |
Покажем, что m = п. Пусть тп < |
«• Поскольку |
менты соответственно первого п последнего столбцов обратной мат рицы Г”1. Стало быть, в теореме 18.1 релыщето восста новлепил всей
матрицы Г" 1 по этим двум ее столбцам. Тот факт, что матрица Г"1
определяется этими ее столбцами, по-видимому, впервые был уста новлен (трансцендентными методами) Г. Бэкстером п И. Хиршманом
[40], которые получили п явную формулу (отличную от (18.3)) для восстановления матрицы Г"1 по этим столбцам. Одпако в их работе
па числа (.тл, ад, ..., хп) н (уо, у- ь |
..., |
у_п) налагалось дополнитель |
ное ограничение: многочлены |
|
|
71 |
|
|
*(?)= 2 х&’ и |
у |
= 2 у- £ } |
пе должны обращаться в пуль в единичном круге | £ |
|<1 . |
При тех |
же ограничениях формулу (18.3) впервые обнаружил |
А. А. |
Сомен- |
цул [38], результаты которого легли в основу соответствующего раз дела книги И. Ц. Гохбсрга и И. А. Фельдмана [5а] (гл. III, § 6). В приводимой в тексте редакции теорема 18.1 и ее доказательство заимствованы ив [17]. '