Файл: Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 177
Скачиваний: 0
174 |
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ |
МАТРИЦ |
[ГЛ. IV |
то, |
произведя замену индексов |
р = р' — 1, q = |
q' — 1 |
и возвратясь затем к прежним их обозначениям, получим
т |
|
|
c m + l - q — 2 a P - l c P ~ q |
(? — 1> 2, . . ., п). |
(18.4) |
Р=1
Всилу разрешимости системы уравнений (18.1) для вся
кого |
ее решения (х0, хх, . . ., хп) |
имеем, учитывая, что |
||
2 |
т + 1 |
п: |
|
|
о — бщ+i, о — 2 |
еm+1 -g Х п |
—“ |
|
|
|
<2=0 |
|
|
|
|
— 2 СП1+1-<2 —9 |
2 а Р -1 + 0 |
— |
|
|
9 = 0 |
|
Р= 1 |
|
тп
|
2 |
<'П1+1-<? —g |
2 ®p-i 2 |
cp-q—9 — |
||||
|
9 = 0 |
|
|
Р = 1 |
9 = 0 |
|
|
|
|
|
III |
|
7L |
|
|
|
IU |
= |
С-т+1 — |
2 |
ap-icp) - 0 + 2 |
( с,п+1-ч — 2 ар- 1 Ср- 9 I —9 • |
||||
|
|
Р = 1 |
' |
9 = 1 ' |
|
- |
Р = 1 |
|
В силу |
равенств (18.4) и неравенства |
х0 |
ф 0 отсюда сле |
|||||
дует, что |
|
|
ТП |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cm+l — 2 а Р -1 с Р ’ |
|
(18.5) |
|||
|
|
|
|
р=1 |
|
|
|
|
Объединяя теперь (18.4) |
и (18.5), |
получаем |
||||||
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
I\ n + l — 2 ® Р -1 Г р ,
Р= 1
аэто противоречит выбору числа т.
Итак, т = п и, следовательно, последняя строка Гп матрицы Тп линейно выражается через предыдущие. Но это в свою очередь противоречит разрешимости системы уравнений (18.2), в которой все правые части, кроме по следней, равны нулю, а последняя равна единице.
Таким образом, мы доказали, что матрица Тп обра тима. Отсюда вытекает, что решения {ж0, xv . . ., £п} и
§ 18] ОБРАЩЕНИЕ ТЕНЛИЦЕВЫХ И ГАНКЕЛЕВЫХ МАТРИЦ 175 |
|||
{у-п, у-п+1 , • . |
уо} систем |
(18.1) и (18.2) соответственно |
|
определяются единственным образом. В частности, |
|||
|
х 0 = у 0 = |
1^ ~ 1[1 |
(18.6) |
где |Гп_]l |— определитель |
усеченной матрицы |
Гп_х = |
|
~ 1!ср-д 1р.'т=о- |
через в = « ъл R fc=0 матрицу из |
правой |
|
Обозначим |
|||
части равенства (18.3). Учитывая правила умножения мат
риц, легко проверить, |
что элементы bjk вычисляются по |
формуле |
|
m in (з, к) |
|
bjk = Xq1 2 |
- y^n. 1+j_sxn+1+s_k) (/, к - 0, 1 ,..., в), |
8=0 |
(18.7) |
|
причем для единообразия записей здесь принято хп+1 =
=У -п -1 = 0 .
Преобразуем теперь это выражение для bjk следующим образом. Выделим из суммы в правой части слагаемые, отвечающие значению индекса суммирования s — 0, а в оставшейся сумме сделаем замену индекса s = s' — 1. Тогда получим
b j k = Х 0 ( Х ] У ^ к JZ-n-l+j^n+Hc) 6/-Х, ft-i
0', к = 1, 2, . . ., гг). (18.8)
Кроме того, полагая в формуле (18.7) для bjkиндекс j = 0
(к = |
0), имеем, с учетом равенства (18.6), |
|
||||
|
Ьок — У-hi Ьк0 = |
хк |
(к = 0, 1, |
2, . . ., гг). |
(18.9) |
|
Полагая там же |
/ == |
гг, находим |
|
|
||
|
к |
|
|
|
|
|
Ьпк— |
2 (Хп-ВУa-к |
У-l-Ai+1+s-lc) |
|
|
||
|
8=0 |
|
|
|
|
|
= |
Х 0 ( х п У - к |
У—х^-тг+Х—ft “Ь Х п - г У 1 - h |
У - 2 х п + 2 - к |
“Ь |
||
•■ •"Н ^'n-ft+2j/-2 |
y~h+lxn-l Н- |
У-hXn “Ь |
||||
“Ь х п- куо У-i-hXn+i) = хп~к ( к — 0, 1, 2, . . ., гг),
176 |
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ |
|
1ГЛ. |
J V |
||
где исполъзоганы |
равенства |
(18.6) и я:,1+1 = |
0. Этот |
ре |
||
зультат п |
аналогичный ему (получающийся |
при |
к — п) |
|||
объединим в виде формул |
|
|
|
|
||
Кк = |
хп-к* |
bhn = yh. n |
(к = 0, 1, . . |
п). |
(18.10) |
|
Нам нужно проверить, что Т„В = Е. Покажем сперва, что матрица
А — ТпВ — |Лр,, |р, (/=о
теплицева. В самом деле, в силу равенства (18.8) при
р, q = 1, 2, . . ., п имеем
П |
|
|
Ярд / 1 |
^ |
|
ь—0 |
п |
|
|
|
|
^ ср^07 |
2l Ср-$ l^s-1, 7-1 ^0 (ЗД_7 У |
я |
|
s = l |
|
Преобразуя это выражение с учетом формул (18.6), (18.9) и
(18.10), |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
71 |
|
|
|
|
|
|
— Я0 |
|
-f- ^ C/j-s-1^>,7-1 |
" |
|
|
|
|
|
|
|
3 = 0 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Д’о |
q-1 Сp-l-пУ0 4" х 0 bQl 2 |
Cp-S'X's |
|
|
|||
|
|
|
|
s = l |
|
71—1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
-Т'о |
Ьп, 7 -1 |
2 |
^P-l-sl/s-n • |
|
|
|
|
|
|
|
s = 0 |
|
Объединяя здесь первое слагаемое с четвертым, |
а третье |
|||||||
с пятым, |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
п |
|
|
п |
|
|
|
& Р 7 ” 2 |
^ p - l - S ^ S , q - l 4 “ ^ 0 |
^ 0 7 2 |
t ' P - S ^ ' S |
|
^ 0 2 |
^ ( p - l ) - s J /s -7 1 J |
||
3=0 |
|
6 = 0 |
|
|
|
|
|
|
т. e. учитывая |
(18.1) и (18.2), |
|
|
|
|
|
||
|
G p q = |
^ P - l j Q - l |
(.P* 4. |
= l i |
2 , |
|
ft ) . |
|
А это и означает, что матрица А тецлицева.
5 IS) ОБРАЩЕНИЕ ТЕПЛИЦЕ ВЫX И ГАНКЕЛЕВЫХ МАТРИЦ 177
Остается заметить, что в силу равенств (18.9) и (18.10) в сочетании с (18.1) и (18.2) соответственно
|
п |
|
п |
|
|
Я р о “ |
2 |
C p - s ^ s d = |
2 |
= |
б р П, |
|
8 = 0 |
|
s = 0 |
|
|
|
п |
|
п |
|
|
Я р п = |
2 Я р _ вЬ 5П = |
2 C p - s l l s - n |
— 5 р п |
||
|
s = 0 |
|
s =0 |
|
|
т. е. первый и последний столбцы матрицы А совпадают
ссоответствующими столбцами единичной матрицы Е =
—||6pgj|p, <2=0. Отсюда в силу теплицевой структуры матрп~ цы А следует полное совпадение этих двух матриц: А = Е-
Теорема доказана.
Условие х0 0 в теореме 18.1 с у щ е с т в е н н о — см. по этому поводу упражнения 3—6 в конце настоящего
-параграфа.
18.3.Легко видеть (см. (18.6)), что при выполнении условий теоремы 18.1 и «усеченная» матрица
|
|
|
|
Т п - г = |
II сд - Jp ,q = 0 |
|
|
|
|||
обратима. Более того, оказывается, |
что |
|
обратная |
к ней |
|||||||
матрица |
Тй\ также |
может быть построена по решениям |
|||||||||
систем уравнений (18.1) |
и (18.2). |
|
С е м е н ц у л а ) . |
||||||||
Т е о р е м а |
18.2 |
( Г о х б е р г а и |
|||||||||
Если |
существуют |
решения |
{х0, |
xv |
х2, . . ., |
х п) и |
|||||
{у-п, |
У-п+1, . . ., |
уо) |
систем (18.1) и (18.2) и выполняется |
||||||||
условие |
х0 ^ 0, |
то матрица |
Гп_1 |
= |
|ср_9 |рГч==о обра |
||||||
тима и обратная к ней строится по формуле. |
|
||||||||||
|
|
х 0 |
0 |
. . |
0 |
У о |
У - 1 |
■ |
• |
У - п +1 |
|
|
|
X I |
Х а |
. . |
0 |
0 У о |
■ |
■ |
У —1 1 + 2 |
|
|
х п - |
1 Х п -2 |
• |
|
. |
х 0 |
|
|
|
|
||
У - П |
0 |
. . . |
|
0 |
|
У - п + 1 |
У - п |
■■ • |
. |
|
0 |
|
|
|
|||
0 |
0 |
• ■ |
Xп *71-1 |
' . . |
|
0 |
хп |
■ . . |
У О
Х\ ■
Х2
(18.11)
У - 1 |
У - 2 ' • • У - |
0 0 |
• • а;п , |
178 |
|
|
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ |
|
|
[ГЛ. IV |
||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Обозначим |
через |
D = |
|||||||||
==||^й1л-=о матрицу |
из |
правой части равенства |
(18.11). |
|||||||||
Непосредственное |
вычисление дает (ср. |
(18.7)) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
min (j, к ) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
d j k |
= Х 0 |
|
2 |
( Z j - s l / s - k |
У - n + j - a X n + s - k ) |
(18.12) |
||||
|
|
|
|
6=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
для всех /, к = 0, |
1, |
. . |
п — 1. |
Отсюда, учитывая ра |
||||||||
венства |
хй = |
у0 (см. |
(18.6)), |
находим |
|
|
|
|
||||
&к0 |
Хк |
Хд ХпУк-П1 dofr — |
i/_(f |
Хд У-пХп-к |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
(к = |
0, 1, |
. . ., |
п - |
1), |
(18.13) |
|
djk ~ dj-ij h_i “Ь Хд (Х}У^х |
У-п+]хп-к) |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
и, к = 1, |
2,. . |
п - |
1) |
(18.14) |
||
(ср. |
аналогичное] вычисление для bjk в доказательстве тео |
|||||||||||
ремы 18.1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для |
||
Далее из равенства (18.12) при j = п — 1 имеем |
||||||||||||
к = |
0,1, |
. . ., |
п — |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dn-1, к = |
Х0 2 |
{Хп-1-sya-к |
У-1-rTn+s-k)— |
|
|
|
|
|||||
|
|
6=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
Хд1 (Хп-! У-к — |
y_xXn_k + |
Xn-a2/i-k — УгХп+г-к + |
• . • |
|||||||
|
|
|
•••+ Хп-кУ~1 — У-кХп-1 + Xn-^цУд — У1-кхп) — |
|||||||||
— Xn-k-i — *01ХпУ-к-1-
Выпишем этот результат вместе с аналогичным ему, по лучающимся из (18.12) при к = п — 1, отдельно:
dji-i, к = xn-k-i |
Хд хпу-к^ ‘, dkfn_i = |
2/-п+л+1 |
Хд У-nxk+i |
|
(к = 0, 1, |
..., п - |
1). (18.15) |
Убедимся теперь, что первый и последний столбцы матрицы Т n_iZ> = 1 ё,к|[£~;iLo совпадают с соответствую щими столбцами единичной матрицы Е = |8jk ||£"к=0.
В самом деле, учитывая (18.13), (18.1), (18.2) и (18.6),