Файл: Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория.pdf

имеем

П-1

п—1

ej0 — 2

fy-ic dko — 2

fy-k'X'k

^0

2 Cj-кУк-п —

k=0

k=0

k=0

n

— 2 ^i~kx k cj-nxn x0

xtl. 2 ^j—кУк-п 4 ~ x0 хп^]—пУо—

k=o

k=a

= Й,'n

X n X n & in =

Й11

JJ0

•b0 x nujn —

u70

Аналогично (с привлечением

еще формул

(18.15))

по­

лучаем

n—1

n —1

n-i —

2

ci-k

n-i — 2

ci-k (У-n+k+i

y^nxk+i) —

ft=o

Jc=o

n

n

== 2

-с}+1-кУк-п

xo У-п 2

ci+i-kxk ~

k=l

k=l

n

— 2 ^J+l-кУк—п

x o У-п 2 Cf+i—k^t4~Д'О У-ПС]+1Х 0 —

k = 0

k=0

—

fij+l,n —

У-n^j+l, о —

n -i

( / — 0, 1) . .

П

1).

Для завершения доказательства теоремы осталось по­

казать,

что

матрица

1 ejk ll£"k=0 теплицева.

Но из (18.14),

(18.15)

и (18.13) следует,

что

71—1

e j k ~

2 c j ~ s ^ s k = =

s=0

n —1

—

cj d-ok

4" 2

cJ-e [^s-l, k-l +

Ж01 (х аУ-к У-п+$хп-к)]

=

8=1

71—2

n—1

—

2 C i - 1 ~ S d S l f t _ l 4 “ C j d g h + X g У - К 2 C j - s X s

s= l

П—1

’ xo Xn—k 2

У^-п 1

71— 1

S=1

=

2

d a , k-l —

C j ^ n d n - 1 , k-l 4 “ c j

4 “

в ( с „ +1)Ь(£) -

I Тп\* = О,

где а (£) и Ъ{Q — линейные функции с коэффициентом

при £,

равным |Тп \(ф 0) у каждой. Отсюда следует, что

уравнение

|Тп+1 (£)

|= 0 имеет

не

более

одного корня

£ — до­

|=

0, то функции а (£) и b (£) сводятся

вели же |Тп_!

к отличным от нуля постоянным а (0)

и Ь(0), а уравнение

1 Тп+1 (0 1

=

0 принимает вид (ср.

(13.6))

Ь(0) сп+1 + а (0) £ -j- С —■ 0,

где С — некоторая постоянная, т. е. на этот раз (посколь­

ку а (0) Ф 0)

оно имеет в точности один корень.

быть мо­

Таким образом,

для всех 0 за исключением,

жет, одного, матрица Тп+1 (0

обратима и зщовлетворяет

всем условиям теоремы 18.2

(поскольку |Тп |Ф 0). Но

тогда матрица Тп может быть обращена по правилу, уста­

новленному в этой теореме.

18.5.

С помощью теоремы 18.1 можно указать и другой

прием для обращения тешшцевых матриц.

Т е о р е м а 18.3

( Г о х б е р г а

и К р у п н и к а ) .

Если

тпеплицева

матрица

Тп — |ср_q ||£, q=0

такова,

что каждая из систем

П

{р =

0, 1, . .

га),

(18.16)

2

Cp-q%q — 6Р0

л

(р =

0, 1,- . .,га)

(18.17)