Файл: Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория.pdf

220 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ [ГЛ. IV

Получим

П — 1 71— 1 71— 1 П — 1 П — 1

а ее элементы — линейные формы от переменных s0, slt ...

рядимся так, чтобы форма Нп-х (у, у) стала положитель­ но определенной. Именно, выберем сперва и зафиксируем

s2. Зафиксируем такое s2, а полонштельное s4 выберем

и т. д. В результате при некоторых достаточно больших s0) s2, . . ., s2n-2 получим

> 0 , > 0, . . ., О,

причем из рассуждения ясно, что такие наборы s0, s2, . . .

. . ., s2n—2 можно составлять бесконечным множеством спо­

..., $2п-2- Но для всех таких наборов, как мы знаем, справед­ ливы соотношения (19.21), в которых обе части (при фик­ сированных р и q) суть линейные функции от s0, s2, . . .

..., s2n- г- Стало быть, эти соотношения выполняются тожде­ ственно относительно sQ, s2, . . ., s2n-2, т. е. для любых ганкелевых форм Нп-Х(у, у).

Теорема 19.1 доказана.

Примеры и упражнения

1. (Ф. И. Лаидер). Доказать, что преобразование (19.4) можно переписать в эквивалентной «символической» форме

Ер = (а + to )* -* -* (d + Ьа)Р (р = 0, 1, ..., п - 1),

где в правой части после раскрытия скобок следует сделать замену

2.Вывести формулы (19.7) из результата упражнения 1.

3.По аналогии с упражнением 1 установить для преобразова­ ния (19.6) эквивалентную «символическую» форму

(/ = 0, 1,.... re — 1),

где Д = ab — аб, а после раскрытия скобок в правой части делается постановка

преобразовании (Ф. — Ф.) вещественны тогда и только тогда, когда

Сопоставить эти равенства с явными формулами (19.7) для коэф­ фициентов aPj преобразования (19.4).

9. Аналогично упражнению 8 из тождества (Ф. — Ф. bis) на­

ходим, что формулы (19.6) запишутся в виде (А = ab — ab):

при 7 i= 2

Т)о = 4 - Ф о - И У .

= 4 - ( - “5о+ “^):

Сопоставить эти равенства с явными формулами (19.10) для коэф­ фициентов Рур преобразования (19.6), а также с подстрочным при­ мечанием на стр. 210.

10. Проверить вещественность матрицы |sjk ||у^=0 и эрмито-

вость матрицы |cpq ll^7g=o' определяемых формулами (19.18) и

(19.20) соответственно, исходя непосредственно из этих формул (ср. с упражнением 11).

11. В начале п. 19.4) было показано, что после преобразования

ДОПОЛНЕНИЯ

I. Теоремы Борхардта — Якоби

и Герглотца — М. Крейна о корнях вещественных

иэрмитово-симметричных многочленов

1.Укажем здесь одну из сфер непосредственного при­ менения изложенных в §§ 12 и 16 результатов относитель­

но сигнатур ганкелевых и теплицевых форм. Речь идет о проблеме расположения корней в е щ е с т в е н н о г о многочлена

относительно вещественной оси и единичной окружности соответственно.

Напомним, что корни многочлена Рп (к) (см. (Д.1.1)) всегда расположены симметрично относительно вегцествен-

ной оси, причем невещественные комплексно-сопряжен­ ные пары (если они имеются) состоят из корней одина­ ковой кратности. Совершенно аналогичная картина имеет место для корней многочлена Qn (к) (см. (Д.1.2)), но с за­ меной вещественной оси единичной окружностью, т. е.

вместо вещественных корней следует говорить о корнях, равных по модулю единице, а вместо комплексно-сопря­ женных пар — о парах вида ((3, р*), зеркальных (сим­ метричных) относительно единичной окружности:

Оба эти утверждения, хорошо известные из алгебры мно­ гочленов, легко проверяются и непосредственно (см. ниже упражнения 1, 2).

2.Рассмотрим вещественный многочлен Рп(А,) (Д.1.1)

ипусть а1} а2, . . ., ап — все его корни (здесь каждый ко­ рень повторен столько раз, какова его кратность). Соста­

вим ньютоновы суммы *)

(напомним, что в силу свойств корней многочлена Рп (X) все суммы shвещественны).

Т е о р е м а Д.1.1 ( Б о р х а р д т а — Я к о б и ) . Ес­ ли л — число положительных квадратов, a v — число от­ рицательных квадратов формы Нп-1 (х, х) (см. (Д.1.4)), то многочлен Рп (X) имеет v различных пар комплексно­ сопряженных корней и а = л — v различных веществен­ ных корней.

*) Символ 0° здесь считается равным 1. В теории симметричес­ ких функций (см., например, [10], § 125) показывается, что сум­ мы (Д.1.3) по известным формулам Ньютона выражаются через основные симметрические функции от ai, аг, ..., ссп, а те в свою очередь — через коэффициенты многочлена Рп (X) (см, ниже уп­ ражнение 4).