Файл: Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория.pdf

Скачать файл (8,01Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 185

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

210

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ

[ГЛ. IV

В случае,

если А = ab — ab =f= 0,

аналогичным обра

зом можно вычислить коэффициенты

(обратного)

пре

образования (19.6).

3°. Имеют место (в обозначениях (19.8)) формулы

п—1—р

аЪ \*

|л=о

‘ ab I

(7) р =

0 ,1 ,. . . , та — 1).

(19.10)

Для доказательства

внесем

(Ф .— Ф. bis)

выражения

(19.6):

71— 1

П — 1

А”-1 2

( 2

Р^р) ^ = 2

Ф -

(aft -

Ь)? £р.

3=0 'р=о

р=о

Сравнение коэффициентов при £р дает

71—1

Pip19'7 =

-^ т г Ф — a'&)n_1' p (aft — Ъ)р

( р

0, 1, . .

п -

1),

(19.11)

откуда без труда получается (19.10) *).

Из формулы (19.7) легко усматривается полезное для

дальнейших вычислений свойство коэффициентов

aPj и

Pjp преобразований (19.4) и (19.6) соответственно.

4°. При р,

у =

1, . . .,

п — 1

an-i-p, j

арН

(19.12)

Рдп-1-р =

Pip-

(19-13)

Ц-

Для доказательства соотношения

(19.12)

достаточно

формуле (19.7) всюду вместо р подставить п — i — р,

а затем произвести замену индекса суммирования:

р7 =

п — 1 — j

— р. Несколько сложнее выводится (19.13)

из (19.10) (см. упражнение 5 в конце параграфа), но

его

можно сразу

получить из

(19.12), если вспомнить,

что

*) Достаточно сравнить формулы (19.9) и (19.11), чтобы заме тить, что для перехода от первой ко второй (а значит, и от (19.7) к (19.10)) следует ввести в левой части множитель А71-1и всюду заме

нить буквы: е на •&, а на (3, / на р, р на /, а на Ъ, а на (— а), Ь на (— Ь) и Ъ на а.

§ 19]	ВЗАИМНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ	211
матрицы	1\|а^\|р7з=о и \|Pip \|\|i,"p=o — взаимно	обратные

(ибо таковы преобразования (19.4) и (19.6)). Это простое упражнение также предоставляется питателю. Наконец, обе формулы (19.12) и (19.13)'можно полупить, вообще не прибегая к явным выражениям (19.7) и (19.10) для коэф фициентов apj и Рур — см. упражнение 6 в конце пара графа.

19.4.Выясним теперь, как преобразуется произволь

ная теплицева	форма	П—1
		П—1
	Тп-1 (*,£)■=	2	ср - Л р ig,	(19.14)
где	Р. 9 = 0
где	= Ср (р = 0,	1,	. . ., п — 1),	(19.15)
с-р	= Ср (р = 0,	1,	. . ., п — 1),	(19.15)

в результате замены переменных (19.4). Для этой цели внесем выражения (19.4) в (19.14):

			п—1	п—1	п—1		п—1
Т п - 1	(Ж, х) =		2 ср ~ч 2		a v ir b 2	“ eM t =	2	si fc'Hi'Hfc,
			Р , 9 = 0	j —0	fc— 0		J, к = 0	(19.16)
где								(19.16)
где		п—1
		п—1
	~	2	Cp-q^pj^qk		{ilk ~ 0, 1, . . . , 71			1).
		Р, 5 = 0
Отсюда сразу			видно,	нто матрица. \|Sjk \|^"k=0				эрмитова.
В самом деле, упитывая (19.15),						имеем
	П—1			П—1
Sjk ~	2	Cp-q^pj^qk ~		2	cq-Paqk^Pj = skj
р, 5=о				g.'p=o		(j,k =	0, l , . . . , n — 1).
						(j,k =	0, l , . . . , n — 1).
Докажем теперь,				пто	эта матрица		г а н к е л е в а .

Для этой цели вынислим в явном виде коэффициенты Sjk,

воспользовавшись	формулами (19.7). Имеем
	п—1
SjK= ап~ ^ а п-^Ък	2 cp^b~(v~q)F~q х
	Р. 9 = 0

х Т е „ сг ( * г Т м ’ (|-)'.

212	ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ			[ГЛ. IV
	п—1—к
В последней из	сумм (	2	) проделаем замену индекса
суммирования:	'	\>=0	'	воспользуемся
	\ = п — 1 — /г — v' и
формулой	Ct		sjS—t
		--
	8

(справедливой в силу (19.8) при любых целых s и t). Тог да, возвратясь к прежнему обозначению индекса суммиро вания (и учитывая все время (19.8)), получим

П—1

Sjk = an^ b jdn-^-kbk	2 cp- (lb^p- q)bp- q х
n—1—J	Р. 5=0
n—1—J		— l — к	,	— q—v	f „ h \ n - l - k - v
X 2 c t x - iC p ( 4 )			i - 1	— q—v	I do '
X 2 c t x - iC p ( 4 )		2 C -i-k C p			U6
p .= 0	' a b ‘	V = 0			\

= а ^ Н Й ) р М Г 1 2 3 2 С ^ х - ^ - к ^ Г ' х

\|A=0 v=M=n0	V°b /
n —X

i - l - q - v

J>, <2=0

(/,ft = 0 , l , . . . , n — 1). n—1

Сгруппируем теперь в последней из сумм ( 2 ) члены,

в которых разность				'р. 5=0'
в которых разность
	Р — q ( =		о)
сохраняет одно и то же значение.				Получим
% = « * « > ( 4 - ) ( т )		Д	S		х
	х	" з	( 3	с Г с г - « - ) < : . ( 4 - ) "
		0=—(n—1) 'р—Q=0			/ \ /
				О, Л = 0 , 1 , . . . , и— 1).
Для	вычисления	стоящей в		круглых	скобках
суммы (	2 ) воспользуемся		известной формулой

Р—5=9

§ 19]

ВЗАИМНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

213

комбинаторики (см., например, [3], стр. 56):

С°ГСТ + С1СГ1

С Cl = С з - (19.17)

Если снова учесть (19.8) и то, что р, q = 0, 1, . . ., п — 1, то из (19.17) следует:

			^	__ £ a + (n -l)-(p .+ v )
			р—q=a
(;,	к =	0,	1, . . .,	га — 1; р. = 0,	1, . . ., га	— 1 — /;
v =	0,	1,	. . . , га	— 1 — к\ о = 0 ,	+ 1 ,	+ (га — 1)).

Таким образом,

(7,fc = 0 , 1,...,га — 1).

Группируя теперь справа члены с одинаковой суммой ин дексов р и v (р. + v = г) и снова применяя формулу

(19.17), получаем

2 ( п - 1 )—(}+к)

^a+pl-l)-

X	s	сь2(«-iHi+ft) W+fc	' ( 5 f <19)8>
	г=0

т. е. коэффициенты s/ft преобразованной формы (1946) Зависит только от суммы / + к индексов / и /с,

214	ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ	[ГЛ. IV
В	частности, поскольку матрица \|sjh\|\|£ ^=0 эрмитова,

отсюда следует, что все коэффициенты sjhвещественны (ср.

п. 9.1) *).

Таким образом, доказано предложение

5°. Всякая эрмитова теплицева форма (19.14) преобра зованием (19.4) переводится в эрмитову ганкелеву форму.

19.5. Зададимся теперь произвольной ганкелевой формой

	71— 1
Нп-х (у, у) =	2	sj+kx\jr\k	(19.19)
	3, fc=0
с вещественными коэффициентами
Sj+h. = sj+h (/, k =	0,	1, . . .,	п — 1)

и применим к ней преобразование (19.6), порожденное

тождеством (Ф .— Ф. bis), где А =					аЪ — аЬ ф 0. Получим
		П — 1	П — 1	П — 1		71— 1
Н п-х {У>У) —		2 s3+fc 2		Рз'р^р 2	Pkala =	2	cP9Spfij7
где		k=o	p=a	5=0		p, 5=0
где	n—l
	n—l
£p5 =	2 ^j'+JtPj'pPfc?			(P> 9 = 0, i , . . . , n			1).
i, )t=o
Отсюда сразу видно, что				матрица \ c p q \ p t q = 0			эрмитова.
В самом деле,
п —1
С5Р = 2 s3+ffPjaP)rp =
з, )Г=0
	тг— 1
=	2	S+iPpFj5 = 5 Р5			(р, 9 =	0,1,. .., п — 1).
з\К=0
Покажем	теперь,		что	эта матрица		т е п л и ц е в а .

Воспользуемся сперва предложением 4°, а именно — фор

мулой	(19.13)	Имеем
	П — 1
СР5	~ 2	53+кРз’рР<С. 71-1-5	(р* ч = .0\| 1 ) . . . 1 и	1 ) .
	3, /f=0

*) См, также упражнение 11 в конце параграфе,

tyn-1+p-q.

« —1—Р

^Л

Р=о

§ 19]

ВЗАИМНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

215

Внесем сюда найденные в 3° (см. (19.10)) значения вели чин (и соответственно Ра-, n=-i-g) и преобразуем полу ченное выражение теми же методами, что и при доказа тельстве предложения 5° (в частности, дважды исполь зуем формулу (19.17)). Получим

fc)Z>fc<7 ( _

д2(п -1)

pi - l - (p - q )

~д2(п —1)

п—1

b f-1 -Q

i, к—о	'
			ab
лн-1 / аЪ\lAV гг-1 1аЬУ —
L-n-1-pbp I—=-		2л bq^n-l-a \ г" —
	аЪ	v=0	аЪ
		v=0

X “Т	з	c s ^ d			i p '		”1	пк рЗ-р-рк-ч	_
								Ьр Isn—l—q —
Н=0	v=o			' а°	1	i, к = о		'
tfi-l-(p -q )				jjn -l+ p -< j		X
		д2(тг		X)
п—г—р q				. и		2,1—2
X 2	2	t	/	f		!	( 2	c ^ c K _ , ) s, U 3r), =
Р =0 v= 0				' ab ‘		г—о 'Я-А’= г
g n -l- (p -g )			^ п -1 +p-q