Файл: Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 186
Скачиваний: 0
216 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ [ГЛ. IV
т. е. коэффициенты cvq зависят только от разности р — q индексов р я д .
Таким образом, доказано предложение
6°. Всякая эрмитова ганкелева форма (19.19) преоб разованием (19.6) переводится в эрмитову теплицеву форму.
19.6. Резюмируя предложения 5° и 6°, сформулируем содержащийся в них основной результат данного пара графа:
Те о р е м а 19.1. Пусть а и Ъ— комплексные числа и
А= аВ — аВ =f=0. Тогда линейное преобразование (19.4) Фишера—Фробениуса, порожденное тождеством (Ф .—Ф.),
является неособенным. Это преобразование и обрат ное к нему преобразование (19.6) (порожденное тождеством (ф .— ф. bis) устанавливают взаимно однозначное соот ветствие между всеми эрмитовыми теплицевыми формами порядка п и всеми эрмитовыми ганкелевыми формами того же порядка п.
Результат такого типа был впервые установлен Э. Фи
шером |
[43] |
(при а = 1/2, |
Ь= — i/2) для н е о т р и ц а |
|||
т е л ь н ы х |
теплицевых |
форм |
с п е ц и а л ь н о г о |
|||
в и д а . |
произвольных |
а и Ь Г. |
Фробениус |
[45] распро |
||
Для |
||||||
странил |
этот |
результат |
(точнее, |
результат, |
сформулиро |
|
ванный выше в предложении 5°) па любые н е о т р и ц а т е л ь н ы е теплицевы формы. В полном объеме тео рема 19.1 была установлена в [29] двумя способами (оба они отличны от приведенного выше прямого вычисления). Один из них, ввиду его методического интереса, мы при ведем в п. 19.7. При этом нам придется опираться на две классические теоремы из степенной и тригонометрической проблемы моментов. Полноты ради доказательства этих теорем приведены ниже в Дополнении II (см. теоремы
Д. II. 1 и Д. II. 2). Там же читатель найдет еще некоторые полезные преобразования вещественных квадратичных теплицевых форм в суммы ганкелевых форм (см. теорему Д-И-З)-
19.7. Для случая |
п о л о ж и т е л ь н о о п р е д е |
л е н н ы х ф о р м |
предложения 5° и 6° могут быть по |
лучены значительно быстрее применением известных ре зультатов из теории моментов (степенных и тригонометри ческих) .
§ 19] |
|
|
ВЗАИМНЫЕ |
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ |
|
217 |
|||||||
Итак, |
пусть |
задана |
п о л о ж и т е л ь н о |
о п р е |
|||||||||
д е л е н н а я |
теплицева |
форма |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
П—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
п-1 (^i X) — 2 |
|
|
• |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Р, <1=0 |
|
|
|
|
||
Произведем над ее независимыми переменными £0, |
. . . |
||||||||||||
. . |
Ф.) |
преобразование (19.4), |
порожденное тождеством |
||||||||||
(Ф .— |
(см. п. 19.2). |
По |
теореме |
Д .П .2 коэффици |
|||||||||
енты |
ср |
положительно определенной |
формы |
(х, х) |
|||||||||
допускают |
следующее представление: |
|
|
|
|||||||||
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ср = 2 гк 4 , гк > О, I в* I = 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
(к = |
1, 2 , . . . , п] |
р = |
0, + 1 , . . ., + (п — !))• |
|||||||
Внося эти выражения в Тп^ |
(х, х) и упитывая (Ф .— Ф.), |
||||||||||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п—1 |
|
|
П—1 |
П |
|
|
|
П |
П—1 |
П—1 |
|||
2 cp. qiP q = |
2 |
2 |
гкгГЧРI, = |
2 ^ |
2 |
EpeS 2 |
= |
||||||
р, <J=0 |
П |
|
Р, <7=0 К=1 |
|
|
|
/С=1 |
Р=0 |
5=0 |
||||
|
|
П—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
2 |
rJf |
2 |
(а + |
а б ^ -Р (b + |
Вгн)Р (а + |
aIk)n- 1-« X |
||||||
|
к = 1 |
|
р, 5=0 |
|
|
|
|
|
|
|
п—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х (5 + |
bsk)qРрТ]? = |
2 SP5rlp:n?i |
||||
где для всех р, |
q = |
0, 1, |
. . ., |
п — 1 |
|
Р, 5=0 |
|
||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S PQ = |
2 |
г к ^ к 1 (а + |
а&к)1п~2~(р+9) ( b + |
b e k ) P + q , |
|
|||||||
|
|
|
к=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т. е. каждый коэффициент sPQ = sp+g зависит только от суммы р -f- q индексов р и q и, как легко проверить, есть вещественное число. Последнее, впрочем, можно устано вить очень просто, не используя положительной опреде ленности формы Тп-! (х , х) и вообще не прибегая ни к каким формулам для коэффициентов ср (см. упражнение 11 в конце параграфа) *).
*) Из замечания к теореме Д.П .2 следует, что все проведенное рассуждение применимо и к н е о т р и ц а т е л ь н ы м (вырож денным) формам Tn_i (х , х).
218 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ [ГЛ. IV
Обратно, пусть
я —1
Я„ _ 1 (у, у) — 2 si+kWk, |
Sk = Sft {к = 0,1,.. ., 2га — 2) |
|
3, К'=0 |
|
|
— п о л о ж и т е л ь н о |
о п р е д е л е н н а я |
эрми |
това ганкелева форма. Применим к ней преобразование
(19.6), |
порожденное тождеством |
(Ф .— Ф. bis), |
где Д = |
||||||||
= ab — аЪ =j= 0. По теореме Д.П.1 |
положительная опре |
||||||||||
деленность формы # „_ ! |
(у, у) эквивалентна тому, что ее |
||||||||||
коэффициенты |
допускают |
представление *) |
|
|
|||||||
|
|
|
р»> |
|
^ |
= ъ* |
|
|
|
|
|
V = 1 |
|
|
|
(v = |
1 , 2 , . . . , |
и; |
к = 0,1,. . ., 2п — 2). |
||||
|
|
|
|
|
|||||||
Внося эти выражения в форму # „ - ! (у, у) |
и учитывая |
||||||||||
(Ф .—Ф. bis), |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|||
п —1 |
|
|
п —1 п |
|
|
|
п |
П -1 |
п —1 |
||
2 |
|
= |
2 |
2 |
p-^rSjiiic = |
2 |
Pv 2 ^ |
2 |
w&S = |
||
к = 0 |
|
|
J, 7t=0 v = l |
|
|
v = i |
7=0 |
Ji=0 |
|
||
|
|
|
n |
Tl—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
T ifc ir 2 |
Pv |
2 |
( Ь - а ^ Г ' - Ч ^ - Ь У Ъ X |
||||||
|
|
A |
V=^l |
p = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n —l |
|
|
|
|
- 5)9Fo= |
n —i |
cp9gpi„ |
||
|
|
x2(b - e#v)"-l-a |
2 |
||||||||
|
|
5=0 |
|
|
|
|
|
P, 5=0 |
|||
где для |
всех |
p, |
q = 0,1, |
. . ., |
n — 1 |
|
|
||||
cP5 = |
- *A = 5 ^ |
Vs= 1 |
P*^ |
|
- b)n_1+P"9 И . - |
|
|
||||
Отсюда видно, что cgp = |
cPQи cpg (== cp- g) зависят толь |
||||||||||
ко от |
разности р — q индексов р и q. |
|
дать н о- |
||||||||
Установленные выше результаты позволяют |
|||||||||||
в о е |
д о к а з а т е л ь с т в о |
т е о р е м ы |
19.1. |
||||||||
*) |
Здесь всюду, |
по определению, |
0° = 1. Заметим, |
что в [29] |
|||||||
по недосмотру от формы Пп_х (у, у) требовалась лишь неотрицатель ность (ср. ниже замечание к теореме Д.П.1).
§ 19] |
ВЗАИМНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ |
219 |
В самом деле, коэффициенты sjk л ю б о й формы, полученной линейным преобразованием из теплицевой формы Тп- Х(х , х), суть линейные функции (формы) от коэффициентов ср исходной формы. В частности, для слу чая линейного преобразования (19.4) эти линейные формы выписаны явно выше (см. формулу (19.16) и следую щие за нею). Зафиксируем теперь у формы Тп-г (х, х) все коэффициенты ср с р =j= 0, а коэффициент с0 вы берем столь большим положительным, чтобы все последо вательные главные миноры
|
|
|
|
|
С0 |
й_, . • С- П + 1 |
D q — с 0, |
С0 С-1 |
, . . . , |
D n - i .— |
С1 |
с о • ■ С-п + 2 |
|
D i — |
с о |
|
|
|||
|
С1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СП - 1 |
с п - 2 • • С0 |
формы Тп_х (х, х) стали положительными. Это осуще ствимо, поскольку D 0, . • ., D n-± суть многочлены от со со старшими коэффициентами, равными единице. Но тогда форма Тп^г {х, х) в силу теоремы 8.1 и следствия 2 из
теоремы |
5.2 станет п о л о ж и т е л ь н о о п р е д е |
л е н н о й |
и, как было показано выше, преобразование |
(19.4) переведет ее в ганкелеву форму с вещественными |
|
коэффициентами. Это означает, что вещественные числа Sjk (коэффициенты полученной ганкелевой формы) зави
сят только от суммы / |
-)- к индексов |
j и к, |
т. е. |
*7+1,* = * м +1 (/» к = |
0,1, . . ., п — |
1; / + |
к < 2п — 2). |
Но последние соотношения, как равенства между линей ными функциями от со (все прочие коэффициенты ср фик
сированы), справедливые при всех достаточно |
больших |
с0, очевидно, сохраняются тождественно при |
любых с0, |
т. е. для любых форм Тп_х (х, х). Этим доказано первое утверждение теоремы 19.1.
Применил! теперь обратное по отношению к (19.4) преобразование (19.6) к произвольной ганкелевой форме
Я п-1 { у , У) - 2 *7+кЛ