Файл: Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 188

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

226 ДОПОЛНЕНИЯ

их полусуммами М (х) и разделенными на 2i полуразно-

стями N (х).

 

 

 

Итак, если о = л — v — сигнатура формы # „_ ! (х, х),

то л = р + q,

a v = q, откуда

 

 

р = л — v = a,

q =

v.

Теорема доказана.

является

 

3. Аналогом теоремы Д.1.1

 

Т е о р е м а

Д.1.2 (Г е р г л о т ц а — М. Крей на ) .

■Пусть Зц е2, .

. ., ер — все различные

лежащие на еди­

ничной окружности корни эрмитово-симметрического

многочлена Qn(Я)

(см. (Д.1.2)), кратности которых равны

Pi»

Р21

•• ■, рр

соответственно.

Пусть,

далее, (рь рх},

{Р2,

р2}, ••*t {P?t

Рч} — все

различные

пары зеркально

расположенных (Р* = l/p h,

k

= 1,

2, . . .,

q)

относитель­

но

окружности

|Я |= 1

корней

того

же

многочлена

Qn (Я) с соответствующими

кратностями

alt о2, . . .

.. ., Од. Черезsh(k =

0, 1 , 2 , . . . ) обозначим, как и втеореме

Д.1.1,

ньютоновы

суммы

корней

(каждый

повторен со

своей кратностью).

 

 

 

 

 

 

Если эрмитова теплицева форма

 

 

 

 

 

 

 

 

п—1

 

 

 

 

 

 

Д -i {х, х) =

2

 

 

(Д. 1.6)

 

 

 

 

 

 

J, н=0

 

 

 

имеет я положительных и v отрицательных квадратов, то многочлен Qn (Я) имеет л — v ( = р) различных корней еА, равных по модулю 1, и v (= q) различных пар корней

(Phi Pfi}t зеркальных относительно окружности |Я |= 1.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Прежде всего заметим, что ньютоновы суммы sh теперь имеют вид

р9

h =

2 P i4 +

2

б*(Р* + Pvk)

(* =

о, 1, 2, ...) .

(Д ■1.7)

 

( 1 = 1

V = 1

 

 

 

 

А поскольку

 

 

 

 

 

 

=

ev- , Pvk

=

Pv*

(р =

1, 2, . . . ,

р) v = 1, 2,

. . . , q),

I. ТЕ О РЕ М Ы Б О Р Х А Р Д Т А - Я К О Б И И ГЕ Р Г Л О Т Ц А - М. К Р Е Й Н А 227

ТО

s-h = Sh (к = 0, 1, 2, . . .),

так что форма (Д.1.6) в действительности эрмитова. Согласно формуле (Д.1.7)

si-k = 2 Ри-ен-

+ 2

[Pv к+ р / к] =

И-=1

v = l

 

ра

 

 

 

— 2 ррер-бр "Ь 2

[PvPv +

PmPv7'].

 

 

 

( i = l

V=1

 

 

 

Отсюда

 

 

 

 

 

 

 

 

n - l

P

 

 

 

Tn-i(x, x) =

2 sHcSjSk — 2 Pt1ISo + Ele'H- +

••• +

£n-ie£ 112 +

 

 

 

(c=o

P=i

 

 

 

+

2

6v (lo +

llP v+ . . • +

Sn-lP" *) (lo + flPv

+

In-lPv" *)+

 

v = l

 

 

 

 

 

 

+

2

Gy (So +

llPv + ••• +

Sn-lpv” *) ( I o+ Si Pv + ■■• + In-lPv *)•

 

v = l

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим теперь p -f- 2q независимых линейных форм

X v (x )

=

|0 +

|a«* +

•••+

Sn- 1

(P =

1, 2, ;

. p),

Vv (x)

=

lo

+

SiPv +

••• +

l ^ f C 1

•

..............

Zv (*)

=

lo

+

Sxp: +

. . . +

Sn iP*11"1

 

 

" qh

Мы видим,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

 

 

 

 

 

Tп-1 (х, х) = 2 Рч|*ц (х) |2 +

 

 

*

!•

 

 

 

| Х = Х

 

 

 

 

fieri:

 

 

 

 

<1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

2 0v[Y4(x)Zw(x) + Zv(x)Yv(x)] =

 

■ ;

'V=1

v q а

*= 2

РП X» {х) I2 + 2 2av i £/v (*) Г -

2 2av | (*)'|*,

H-=l

v = l

v=X

8*

228 Д О П О Л Н Е Н И Я

где

Uv (х) = -|-[У„(а:) -f Zv(x)],

Fv(a:) = -|-[УДа:) — Zv{x)] ^

Таким образом, форма Tn.1 (x, x) представлена в виде суммы р + <7 положительных и q отрицательных (незави­ симых!) квадратов, откуда и следуют все утверждения тео­ ремы

4. В качестве исторической справки укажем, что тео­ рема Д.1.1 была первоначально установлена Борхардтом (41| в иной (более узкой) формулировке: число различных пар комплексно-сопряженных корней вещественного мно­ гочлена (Д.1.1) равно числу

V { i , D l t D2, . . D „_,)

знакоперемен в ряду последовательных главных миноров

формы (Д.1.4). При этом предполагалось,

что

все

 

0

(k = 1, 2.......... п - 1)

 

(ср. теорему 8.1).

 

вместе с при­

В полной формулировке теорема Д.1.1

веденным

выше доказательством была

установлена

Якоби и

опубликована

уже после его смерти

Борхард­

том [42].

 

 

 

 

Не совсем тривиальна и история теоремы Д.1.2. Уста­ новленная сперва (более сложным методом) Герглотцом [47], она спустя несколько лет была независимо доказа­ на М. Г. Крейном [32 , причем элементарным методом, вполне аналогичным методу Якоби и приведенным нами в тексте.

Заметим, что мы ограничились в настоящем Дополне­ нии I лишь самыми первыми теоремами о применении гаикелевых и теплицевых форм в теории отделения кор­ ней алгебраических уравнений. Эти применепия весьма многообразны и им в первой трети нашего века была пос­ вящена обширная литература.

Обстоятельный ее обзор можно найти, вероятно, только (по крайней мере, на русском языке) в давно уже ставшей библиографической редкостью брошюре М. Крейна и М. Неймарка [7].

I. ТЕОРЕМ Ы Б О Р Х А Р Д Т А -

Я К О Б И И Г Е Р ГЛ О Т Ц А - Ы. К Р Е Й Н А 229

Примеры и упражнения

1 .

К о р н и в е щ е с т в е н н о г о м н о г о ч л е н а

р » М =

* ( Л П +

+

. . . + ап^гХ + “ n (a /t = ац\ к — 0 , 1 , . . . , п)

р а с п о л о ж е н ы с и м м е т р и ч н о о т н о с и т е л ь н о в е щ е с т в е н н о й в м е с т е с к о р н е м X = р ч и с л о й т а к ж е я в л я е т с я к о р н е м

о с и , т а к к а к м н о г о ч л е н а

рп а).-

____

 

Рп (И-) = Рп (р) = 0.

К р а т н о с т и н е в е щ е с т в е н н ы х к о р н е й р и р. с о в п а д а ю т , и б о п р и д е л е ­

н и и

Рп (X) н а

в е щ е с т в е н н ы й

м н о г о ч л е н

 

 

(X -

р ) (X - р ) = X2 — 2 ( R e р ) X +

I р I3

п о л у ч а е м с н о в а в е щ е с т в е н н ы й м н о г о ч л е н .

 

 

 

Д о к а з а т ь а н а л о г и ч н ы е у т в е р ж д е н и я о т н о с и т е л ь н о к о р н е й э р м и ­

т о в о - с и м м е т р и ч е с к о г о м н о г о ч л е н а

 

 

 

 

Qn (Ь) = bdXn - f - Ьг Х п 1

- f - . . .

- f - bn_jX

- ( - bn

 

 

(bk = bn_k. к =

0 , 1 ,

. . . , n)

 

с з а м е н о й п а р _ ( р , p ) , с и м м е т р и ч н ы х о т н о с и т е л ь н о п а р а м и ( р , 1 / р ) , з е р к а л ь н ы м и ( с и м м е т р и ч н ы м и ) н и ч н о й о к р у ж н о с т и .

в е щ е с т в е н н о й о с и , о т н о с и т е л ь н о е д и ­

У к а з а н и е .

В о с п о л ь з о в

а т ь с я

т о

ж д е с т в о м

* )

Qn (X) = =

= XnQn(i/X)'n т е м , ч т о

( п р и Ъ0ф 0 )

X =

0 н е

я в л я е т с я

к о р н е м Qn{X).

2 . П р о в е р и т ь , ч т о к а ж д у ю и з д в у х т е о р е м , с о с т а в л я ю щ и х с о д е р ­ ж а н и е у п р а ж н е н и я 1 , м о ж н о п о л у ч и т ь и з д р у г о й с п о м о щ ь ю д р о б н о - л и н е й н о г о п р е о б р а з о в а н и я ( с р . п . 1 9 . 2 )

 

 

 

„

b + Ъг

(ab —

ab ф 0 ) ,

 

 

 

б 1=

-----------= —

 

 

 

 

а + ае

 

 

 

п е р е в о д я щ е г о е д и н и ч н у ю о к р у ж н о с т ь | е | =

1 в в е щ е с т в е н н у ю п р я ­

м у ю б =

б ,

и о б р а т н о г о п р е о б р а з о в а н и я

 

 

 

 

 

а б

— Ь

 

 

 

 

 

 

Ъ— а б

 

 

 

У к а з а н и е . П р и в ы п о л н е н и и с о о т в е т с т в у ю щ е й п о д с т а н о в к и

в

м н о г о ч л е н

Qn (X) р а с с м о т р е т ь о т д е л ь н о

с л у ч а и ч е т н о й (п — 2т)

и

н е ч е т н о й

(п = 2т —

1 ) с т е п е н и

м н о г о ч л е н а

Qn (X).

 

3 . Р а с с м о т р и м в е щ е с т в е н н ы й м н о г о ч л е н

Р3 (X) = Х 3 — U 2 + П + 1.

*) Символ R (X) означает замену всех к о э ф ф и ц и е н т о в многочлена R (X) на комплексно-сопряженные.

Смотрите также файлы