Файл: Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория.pdf

Эта система содержит р + (п — д) — п — (д — р) (<; п) уравнений относительно п неизвестных £: , Ь,2, ..., £п, а потому имеет ненулевое решение

£ i = S b CV = C Se+x = 0........ In = о.

Внося эти значения в тождество (5.10) и учитывая (5.11), получим

В свете закона инерции ясно, что наряду с рангом эр­ митовой формы важными ее характеристиками являются

формы А (х, х) в виде суммы независимых квадратов, ко­ торое будем называть каноническим *). Эти количества, как и ранг формы, не изменяются при любых неособенных преобразованиях (5.3) переменных (теорема 5.1), или, как говорят, являются инвариантами таких преобразований.

Заметим, что фактически речь здесь идет не о трех ин­ вариантах (г, я, v), а только о двух, например я и v, ибо г = я + V. Вместо этих двух инвариантов часто рассмат­ ривают два других инварианта: г и а = я — v. Послед­ няя величина а называется сигнатурой эрмитовой формы А (х, х). Ясно, что сигнатура о, как и величины г, я и v, целочисленна, но, в отличие от них, может принимать и отрицательные значения. Из формул

друг друга и что целые числа г и а всегда одной и той же четности.

Из закона инерции и рассуждений и. 5.1 (см. (5.7)) вы­

*) Впрочем, иногда каноническим называют более специальное представление, па котором мы здесь не останавливаемся.

нейшего предложение:

3°. Если эрмитова форма А (х, х) порядка п и ранга

г(^> 0) представлена каким-то образом в виде суммы точно

гквадратов'-

Т

А{х, х ) = 2 <*it| £*(*)!*.

К= 1

то формы

Ль = Lh (x) = с1й|х + c2k£2 + ... + cnh£n = 1> 2, ..., г)

(5.12)

линейно независимы, т. е. данное представление — канони­ ческое.

В самом деле, по условию ранг формы А (х, х), т. е.

ранг матрицы А = ||а^||i,j=lt равен г. Утверждение о линейной независимости форм (5.12) означает, что и у мат­

рицы С = \\chi IlSi, 2,’.‘.'.',’ " (вообще говоря, прямоуголь­

к=1

пг

—2 ( S akcki^kjj £ilj-

снова прямо следует из равенства

:1, 8 С— Ik*С,

5.4.Эрмитова форма А (х , х) называется неотрица

Мы ограничимся здесь лишь самыми необходимыми для дальнейшего сведениями о формах этих двух классов, из которых второй класс, очевидно, содержится в первом (более подробно см., например, [4]).

Т е о р е м а 5.2. Эрмитова форма А (х, х) неотрица­ тельна тогда и только тогда, когда все ее собственные значения неотрицательны, и положительно определена тогда и только тогда, когда все они положительны.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Если все собственные зна­ чения Х2, ..., Хп формы А (х, х) неотрицательны, то из представления (5.7) следует, что и форма А (х, х) неотри­ цательна. Более того, если все Хк^>0 (к = 1 ,2 , ..., п), то из того же представления видно, что А (х, х) )> 0 при х Ф 0, ибо при этом условии невозможно одновременное

нее возможно в силу линейной независимости этих форм),

...,п). Если бы при этом хотя бы одно собственное значение