Файл: Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория.pdf

Скачать файл (8,01Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 147

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

34	ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МАТРИЦ И ФОРМ		ГГЛ. I
Выбрав	теперь	в Еп~г нормированный	собственный
вектор / 2 оператора		А, отвечающий собственному числу

К2, мы можем снова повторить то же рассуждение, построив в Е71-1 ортогональное к / 2 подпространство Еп~2 (раз мерности п — 2), инвариантное относительно оператора А, и т. д.

Ясно, что эта процедура завершится через пшатов пост

роением		искомой ортонормированной системы собствен
ных векторов }г, /2, ...,/„ (Aft =							Яг/ г), образующих в силу
их линейной независимости ([8], п. 78, теорема 1) базис
пространства Еп.
Примеры и упражнения
1.		Пусть		задана матрица			А — \|ац \|’> -=1.	Рассмотрим соп
ряженную		матрицу			4* =	ii4n;(j=1,
					4* =	ii4n;(j=1,
где	а у = dji (i,			j —	1, 2,	п).	Тогда если,	Х2,...,	—
спектр	матрицы		А	(с	учетом кратности собственных			чисел),	то
Xlt Х2,. .		Хп —	спектр А *.
Символически:

и(А*) — а (А).

2.Матрицы А и А* (см. упражнение 1) в фиксированном ортонормированием базисе {elt е2, ..., еп} унитарного пространства

Еп задают так	называемые сопряженные линейные операторы А
и А * соответственно,		для которых
(Ах,	у) =	(х, А*у) при всех х, у Ez Еп.	(4.12)

Таким образом, эрмитов оператор А, отвечающий эрмитовой мат

рице А ( = /1*)			есть не что иное,		как	самосопряженный		оператор:
А =	А*.		первое утверждение			упражнения	2:	если А и
А *	3.	Обратить
	—	сопряженные		операторы	(в смысле определения				(4.12)),
то в любом ортонормироваином базисе им отвечают							сопряженные
матрицы: А и А* соответственно.									А*) на
	4. Если А А *		=	А* А, то линейный оператор А (как и

зывается нормальным. Обобщить на нормальные операторы предло жение 2°.

5. Матрица А нормального оператора А (в ортонормироваином базисе) нормальна, т. е. перестановочна со своей сопряженной:

АА* = А *А. Справедливо и обратное утверждение (сформулировать

идоказать!).)

6.Обобщить на нормальные матрицы предложение 3°.

s в:

ЭРМИТОВЫ Й КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

§ 5. Эрмитовы и квадратичные формы. Закон инерции. Сигнатура

5.1. Теперь мы можем перейти к рассмотрению эрми товых форм

А(х,	х ) =	2	Щг = Щ	(i, j = 1,2, .	. п), (5.1)
		г, i—1
где	\|2, •••>		— комплексные переменные,		а ац (г, / =
= 1,	2,	?г)	— коэффициенты.	Каждая такая форма,
очевидно,		полностью определяется (эрмитовой) матрицей

А = ||a,7 ||” ,j=i своих коэффициентов и обратно. Порядок

пи ранг г матрицы А называются соответственно порядком

ирангом формы А (х, х).

Одной из важных задач теории эрмитовых форм яв ляется приведение формы к «сумме квадратов», т. е. к виду

П
А ( х , х ) = 2	аь-К 12>	(5-2)
К = 1
где
Ль = Lh (х) — Cxftij -г Czki2 +	•••+ C-nh\n (& =	п)
		(5.3)

— некоторые линейные формы *), a ah — вещественные числа. При этом интересны обычно лишь такие представле ния (5.2), в которых линейные формы (5.3) линейно неза висимы. Последнее, как известно, эквивалентно неособен-

ности матрицы С = Псы!?,*-!.

Приведение формы А (х,х) к сумме квадратов линейным преобразованием вида (5.3) можно осуществить различ ными способами и, в частности, исходя, например, иэ гео метрического истолкования формы (5.1) Если снова, как

в § 4, в пространстве Еп рассмотреть		некоторый	базис
{бц е2, ..., еп}, то каждый вектор		представится в
*) В обозначениях А (х, х) и	(х) буква х, как и в § 4,		симво
лизирует набор из п чисел (вектор):	х — {j£i,	..., In}- Соотноше

ние (5.2) понимается как тождество относительно переменных |i,

^2, ..., ^71.

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МАТРИЦ И ФОРМ

[ГЛ. 1

виде х = Ъ,хег + |2<?2 + ••• + £пепМатрица А определяет в этом базисе оператор А, который будет эрмитовым от носительно скалярного произведения (4.8). Сопоставив теперь определения (4.2), (4.8) и соотношения (4.9), убеж

даемся, что

А (х, X) = 2	= {Ах, х).	(J-4)
i, 3=1

Вспомним теперь, что на основании предложения 3° из § 4 собственным значениям А,, Я2, ..., Хп матрицы А (т. е. оператора А) отвечает ортонормированная система соб ственных векторов /ц / 2, ...,/„ * ), которую можно принять за новый базис пространства Еп, причем

-4/г = K f i , (/г> fj) = 8 ц (i, j = 1 , 2, ...,/г). (5.5)

Всякие два базиса пространства 7?" связаны некоторым неособенным линейным преобразованием. Следовательно,

ek — 9*i/i +		9 *2/2	+	••• +	9*n/n	(^ = It		2, ..., гг),
где Q =		j=i	— неособенная			матрица		(\|(?\| =£= 0).
Теперь для любого вектора х £Е Еп имеем
	П		П	П	71	71			П
* =	2	=	2	£* 2	9w/i = 2	( 2	ЧкЛк) U =		2 Пг/i-
где	fc=i		fc=i	3=1	э=1 4-=i		'		з= 1
где
%	= 91Д 1 +		92Д 2 +		•••+ qnjln (/ =		4.2,	...,	я) (5.6)

—линейно независимые линейные формы. Учитывая (5.4) и (5.5), получаем

Ах = rii^a/i +	Цг^г/г + •••+		4n^nfm		п
А (х, х) = (4 х,	п	*1^ 1/	п	Mi/f) =	п	(5.7)
А (х, х) = (4 х,	х) = ( 2	*1^ 1/	1. 2	Mi/f) =	2 ^ 1	Tk Р,
	' i = l		i = l	'	i = l

т. e. формам! (x, x) приведена к сумме n независимых квад ратов.

*) Заметим, что в предложении 3° из § 4 было установлено лишь с у щ е с т в о в а н и е , но отнюдь н е е д и н с т в е н н о с т ь такой системы.

§ 51

ЭРМИТОВЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

Заметим, что фактически в этой сумме (5.7) может быть меньше чем п слагаемых, так как некоторые из собствен ных чисел Xj, Х2, •••> К могут равняться нулю. Нетрудно выяснить, сколько же в точности отличных от (тождествен ного) нуля слагаемых содержит сумма (5.7). В самом деле, мы видели (см. предложение 3° из §4), что в базисе {hi hi • /п } линейный оператор А представляется диаго нальной матрицей

Ь	,	О
А	^2 '
Л =		kп
О		kп

связанной (ср. (4.6) ) с исходной матрицей А = ||аг;-||д*=1 некоторым преобразованием А = Т~*АТ с неособенной матрицей Т. А тогда, как известно ([4], стр. 27), ранги мат риц Л и А совпадают. Но ранг г матрицы Л равен, оче видно, количеству отличных от нуля (с учетом их крат ности) собственных чисел Хг, Я2, ..., %п матрицы А. Теперь ясно, что и любое другое неособенное линейное преобра

зование вида (5.3), приводящее форму А (х, х) к сумме

квадратов 2	I % \|2» а тем самым матрицу А к диагональ-
k=i
ному виду	flai	о

	аа
сохраняет ранг г формы А, т. е.		А (х, ж), то в сумме (5.2)
1°. Если	г — ранг формы
при условии	линейной независимости форм r]fe = Ln (х)
(к = 1 ,2 , ...,	п) всегда имеется точно г отличных от нуля

коэффициентов ah (k = 1 ,2 , ..., п).

5.2. Легко понять, что приведение формы А (х, х) к сумме квадратов может быть произведено бесконечным множеством способов (даже при требовании линейной не зависимости этих квадратов и подавно при отказе от этого требования). Тем интереснее доказанная впервые Силь вестром

Т е о р е м а 5 . 1 ( з а к о н и н е р ц и и ) . При любом способе приведения формы А (х, х) (см. (5.1) ) к сумме (5.2)

ОБЩАЯ

ТЕОРИЯ

МАТРИЦ И

ФОРМ

[ГЛ. X

независимых квадратов среда коэффициентов ah (к =

1,2, ...

...,

п) всегда имеется одно

и то же количество л (л

положительных и одно

и то же количество v (v

от

рицательных чисел.

При этом я + v =

г,

где г — ранг

формы А (х,

х).

Предположим, учитывая

Д о к а з а т е л ь с т в о .

предложение 1°, что двумя неособенными преобразовани

ями вида (5.3) форма

А (х, х) =

aii?ili

i, }=1

ранга г приведена один раз к виду

А(х, х) =

а2|р2|2+

... + ар|рр|2 —

— “ p+ihp+il2 -

— « г Ы 2,

(5.8)

а другой раз — к виду

А (х, х)

У 2 +

Р 2 |£2 |2 +

Р д |£9 |2 -

- P g +il£g+1l2 - • • • - PrlSrl2,

(5.9)

где ak ^>0,

О 0 (к = 1,

2, ..., г),

а линейные формы

(ср. (5.6)) т|;- =

(х)

1,2,

...,

п) (соответственно фор

мы

= Lj {х) (j =

1, 2, ...,

п)) линейно независимы. В си

лу этой линейной независимости переменные %,

т]2, ...

..., т)п определяются единственным образом, как линейные

формы от переменных £lt £2,

...,

и обратно.

Докажем теперь, что р = q. Предположив противное,

например, что

р <;

рассмотрим вытекающее из (5.8)

и (5.9) равенство

alhl|2 +

•••

aplTlp|2

+ Р <2+1 l£g+1 |2 +

Р г |£г |2=

P l I C

l l 2

• • • +

Р g |?>g |2 +

p + l l 11 p + l| 2

+ • ■ • +

a r l Tlr

(5.10)

как тождество

относительно

переменных

С2,

...,

£п

(считая, что рц

г|2,

...,

г\п выражены линейно через эти

переменные).

Рассмотрим систему линейных однородных (относитель

но

Ci, £2, •••, In) уравнений

T]i

= 0 ,

Т]2 = 0 ,

...,

Т)р = 0 ;

Cg+i

= 0 ,

..,

£п -0 .(5 .1 1 )

Смотрите также файлы

Караваев, Н. И. Электронные цифровые вычислительные машины и программирование учеб. пособие.pdf

Кардашев, Г. А. Тепломассообменные акустические процессы и аппараты.pdf

Кацев, П. Г. Статистические методы исследования режущего инструмента.pdf

Конструкция летательных аппаратов учеб. пособие для студентов инженер.-экон. фак.pdf

Кордюков, В. П. Свободная ковка на молотах.pdf

Файл: Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно