Файл: Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 149

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 5]

ЭРМИТОВЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

43

С л е д с т в и е 1. Неотрицательная форма А (х, х) является положительно определенной тогда и только тог­ да, когда она невырозкдена.

Д о к а з а т е л ь с т в о вытекает из теоремы 5.2 и соотношения (см. (4.3))

IА | =

\i-

С л е д с т в и е 2. В любом представлении (5.2) неотри­ цательной формы А (х, х) в виде суммы независимых квадра­ тов не содержится отрицательных квадратов. Наличие в таком каноническом представлении точно п положитель­ ных квадратов (п — порядок формы) необходимо и доста­ точно для положительной определенности формы.

Утверждение это получается, если сопоставить пред­ ставление (5.2), теорему 5.2 и закон инерции.

5.5.В заключение настоящего параграфа рассмотрим

случай,

когда

А =

||агД|*3-=1

— в е щ е с т в е н н а я

симметрическая

матрица: ац =

ai}- (i, /

= 1, 2, ...,

п).

 

 

 

 

 

П

 

В этом

случае вместо

эрмитовой

формы

2 аиШз естест-

венно рассматривать

 

 

i, 3=1

 

квадратичную форму*)

 

 

 

 

П

 

 

 

 

 

А (х, х) = 2

 

 

 

 

 

 

i, 3=1

 

 

 

где £г (i

= 1,2,

..., п)

— вещественные переменные.

При

этом, как легко видеть, сохраняют силу все установлен­ ные в настоящем параграфе предложения с той разницей, что в геометрической интерпретации следует теперь рас­ сматривать вещественное евклидово пространство Еп, в

котором скалярное произведение (4.8) векторов х =

+

+ ЪзР2 +

•••+

и У = %ei +

ЛгЧ + -•-+ flrAi

опре­

деляется формулой

 

 

 

 

 

 

(я> у) =

li^i +

+

••■

+ 2*

 

*) Иногда под квадратичной

формой

понимают выражение

п

 

 

 

 

 

 

2

не требуя при этом вещественности коэффициентов a,j и

г, з = 1

 

всегда^ предполагаем эти условия

выпол­

переменных gj. Мы же

ненными.

44

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ

МАТРИЦ И

ФОРМ

1ГЛ. I

а представление (5.2) записывается в виде

 

 

 

 

 

П

 

 

 

 

 

А (х, х) = 2

 

 

 

 

 

 

 

к=1

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

Л ft

— L h

{х) =

Cftl|x +

Cft2^2 +

•••+ с Ь.тЛп

 

 

 

(к =

1,

2,

п)

 

 

— вещественные

линейные

формы.

 

хотя

Заметим, что и в дальнейшем (см. ниже §§ 6 —8),

речь будет идти об эрмитовых формах, все результаты ос­ таются, как легко видеть, справедливыми и для вещест­ венных квадратичных форм, о чем мы специально напоми­ нать уже не будем.

Примеры и упражнения

1.Найти ранг г и сигнатуру а эрмитовой формы

А <*,*)= 3 |Е, |2 + h b +

+ 2iU 3 - 2iUs-

 

Здесь

 

 

 

 

3

1

2£

<< 1 со

А -

1

0

0

, г = 2, \ А -% Е \ = 1

 

— 2i

0

0

— 2£

 

 

 

 

= — 2i (2iA) — A (X2 — ЗА -

1 2i

— А 0

0- А

1)= — A3 + ЗА,2 + 5A.

 

j

(3 +

__

 

j[

_

Собственные значения: Ax = ~ 2

V 29) > 0 ,A2=

-^(З — 1^29)<0,

Аз = 0.

Таким образом (см.

предложение

2°),

я = 1,

v = 1,

так что сигнатура а — 0.

 

 

 

(вещественную) квад

2.

Рассмотрим так называемую ганкелеву

ратичную форму (таким формам посвящен ниже § 12)

 

 

п—1

 

 

 

 

 

э, к=о

 

 

 

(5.15)

 

 

 

 

 

порядка

п с матрицей

 

 

 

 

 

 

 

«0

5х

•

Sn _ l

 

 

/ / n_ i = ||Sj.+fc| ^ = 0 =

Si

52

.

5n

 

 

 

 

 

 

 

^ n -l sn

* • '

S2n-2

§ 6]

УСЕЧЕННЫЕ ФОРМЫ

45

Если, в частности,

числа so, sl5..., s2n_2 образуют арифметическую

прогрессию:

 

S2= а +

 

 

 

s0 = a, sj = а

d,

2d, ..., s2n_2 =

о -|- (2ге — 2) d,

то ранг г формы (5.15)

при d =

0,

очевидно, равен 1, если а ф О

(а какова при этом сигнатура?), и 0,

если а = 0 .

При d ф 0 положе­

ние иное. Доказать, что в этом случае при любом а (и при любом

п 2)

у формы

(5.15)

ранг г —

2,

а сигнатура о = 0,

т. е. л =

3.

Является ли каноническим представление эрмитовой формы

А (г, х) порядка

п = 3

в виде суммы квадратов:

 

 

А (х, * ) =

|e1 +

b l * - | 2 E i - 5 , | a +

|2E. + |s |a?

Каковы ранг и сигнатура этой формы?

Нет, г =

2, а = 0.

 

 

 

 

 

Ответ.

4.

При каких значениях вещественного параметра а квадратич­

ная форма

 

 

 

 

 

 

 

А (х, х) = (в* + 1) Е® + 2 (а - 1) h b

 

неотрицательна?

Каковы ранг и сигнатура формы А (х, х)

при этих

а и при всех прочих значениях параметра а?

 

 

 

Ответ. а = 1, г =

а =

1; при а ф I: г — 2, а = 0.

§6. Усеченные формы

6.1.Наряду с заданной эрмитовой формой

71

А (х, х) = 2

i, 3=1

порядка п с дискриминантом jА |нам часто придется рас­ сматривать так называемые усеченные формы

к

Afc (т, х) = 2

г, 3=1

порядка /с (/с = 1 , 2, ..., ?г—1) (порожденные данной фор­ мой) с дискриминантами

Ah = det||a0-||i)i==1 (к = 1, 2, ..., п — 1).

Естественно положить Ап (х, х) = А (х, х), Дп е= |4|. Кроме того, удобно будет считать

До = 1.

46 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МАТРИЦ И ФОРМ 1ГЛ. I

Числа Д0, Д1( Д2, ..., Д„ называются последовательными

главными минорами формы

А (х, х).

 

 

 

Особенно большую роль в дальнейшем будет играть

сравнение двух «соседних» усеченных форм

А ;!+1 (х, х)

и A h (х, х) (к = 1, 2,

п — 1).

 

т о ж д е с т в о ) .

Л е м м а

 

6.1

 

( о с н о в н о е

Форма

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

к -\-1

 

 

 

 

 

 

 

Ак+1 (х, х) = 2 ad &

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г, j= 1

 

 

 

 

порядка k -f-

1

связана с усеченной формой

 

 

 

 

 

 

 

 

к

 

 

 

 

 

 

 

 

АК(х, х) =

2

aohb

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i, 3=1

 

 

 

 

порядка к (к =

1,

2,

..., п — 1) тождеством

 

■4-+1(*> я) = Ак(х,

х) +

 

 

 

 

 

 

+

a i, k+l£l +

■•• +

а к, k+l£k +

( у

ак+1, к+1 +

1 J £к+1

®1, k + l£ i +

• • • + ®к, к+i£ k +

^ у ®k+l, к+1 — 1 j

£k+l J •( 6 .1 )

Д о к а з а т е л ь с т в о

сводится

к

непосредствен­

ному вычислению:

 

 

 

 

 

 

 

 

®1, fc+lll +

■■■+

®k, k+l£k +

1

а А-+1, к+1 + 1

I к+1

у

Jl_

®i, k+i£i +

•••+

®k, fc+iik +

^ у

а к+1, k+l —

1 J Sk+i

2

 

 

 

 

 

 

 

a k+i, k+l + 1 j £k+l] X

2

®1, fc+i£i

+

•••4" а н, fc+i£k 4"

^ у

X

®k+i> i l l

+ ••■+ ®k+i, klk + |y ®k+i, k+l +

Ik+l j—

г

a i, /■•+i£ l

-!-••• +

®k, fc+i£k +

^ y

®k+i, k+l —

1 j Sk+lj X

X £®k+i, i l l

+

•••+

ak+l, klk

+

^ у

®k+i| k+l — 1 j Ik+l j —

 

к

 

 

к

 

 

 

 

 

 

— 2 a i, k+ liilk +X + 2 ®k+l, i^ k + lll + ®k+1, k+l I £k+l P-

i= l

i= l

5 б]

УСЕЧЕННЫЕ ФОРМЫ

47

Прибавив к этой сумме форму

 

 

 

 

к

 

 

А к (®i %) =

2

 

 

получим

 

г, 3=1

 

 

 

 

 

 

2

=

^к+1 (■*"> %)'

 

г, 3=1

 

 

 

С л е д с т в и е .

Если ранги

форм

A ,i+1 (х, х) и

А к (х, х) равны rh+1

и rh соответственно,

то *)

О ^ rft+l — rh ^

2.

( 6 . 2)

В самом деле, из сравнения матриц A h+1n A h рассмат­ риваемых форм ясно, что rh+1 > rk, а из тождества (6.1) и предложений 1° и 4° из § 5 следует, что

rh+1 — rft< 2 .

6.2. В отличие от совершенно элементарной алгебраи­ ческой леммы 6.1, следующая лемма носит аналитический характер и опирается на факты из анализа.

Л е м м а 6.2 **).

Если

при непрерывном изменении

коэффициентов ***)

формы

к

 

 

 

 

А {х, х) =

2

aiM h

 

 

i, 3=1

 

ранг ее г остается неизменным,

то не изменяется и ее

сигнатура о.

 

 

 

*) Указанное следствие представляет собой весьма частный слу­ чай общего предложения: при окаймлении любой (даже прямоуголь­ ной) матрицы строкой и столбцом ранг новой матрицы либо равен рангу исходной, либо превосходит его не более чем на две единицы.

А оно в свою очередь следует из очевидного факта: при добавлении к любой матрице одной произвольной строки (или столбца) ранг мат­ рицы может повыситься не более чем на единицу.

**)

Заимствована из [4], стр. 280. Однако приведенное в [4] ее

обоснование представляется нам недостаточно убедительным.

***)

Точный I

смысл

этого

условия таков: коэффициенты ац

( = aji)

(£, ] = 1,

2, ...,

п) суть

непрерывные функции веществен­

ного параметра г, пробегающего некоторый отрезок [«о, Т]. Из дока­ зательства леммы читатель увидит, как можно обобщить это условие, а с ним и лемму 6.2.

Смотрите также файлы