Файл: Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли.pdf

Т е о р е м а

9. Модуль

Е х топологически (вполне)

неприводим тогда и только тогда,

когда сигнатура % не­

вырождена.

это верно

для

модулей D x СИ Н х d

В частности,

СZ ® х.

18.4. Представления основной серии

С л е д с т в и е

Гельфанда — Наймарка

неприводимы.

Действительно,

R ea

= 0=4-%£E2°.

4.

Ц и к л и ч е с к и е в е к т о р ы Ьх. Метод, ис­

векторов Lx с произвольной сигнатурой %.

Заметим,

что Lx,LXi d LMXa+P *).

Т е о р е м а

10. Всякий модуль Lx обладает цикли­

ческим вектором.

Положим X — %о +

Xi +

Д о к а з а т е л ь с т в о .

-f р.

Предположим, что

(1)

dim

N Xi<Zoo, (2) LXt —

класса 0. Согласно предложению

12.3,

(1)

имеет

мес­

то при

Xi -f Р —

— Я, |—•р,

X,

р, е

А.

Рассмотрим

вектор

ф (х) = я„0(х) 01 (х),

где 0, — младший

вектор

N Xt.

Напомним

(§ 12),

что

U (fc)

0!

= 7VXl.

Воспользовавшись

/sT-инвариантно-

стью

а„

(fGа„ =

(0)),

находим

^ ( f G)«p = oe,(J7(lc)01) = eet'Vx4.

Далее,

NXl =

V\0Vov., a0oFx0=

Z,£„

где

положено Хг =

= Хо — (4 0 ).

Воспользовавшись

антианалитичностыо

элементов Т0!а,

находим

UiU (fc) Ф = (t/1a0oF,.0) •F„ух = NXl-V01i.

Предположим

теперь,

что

выполняется

условие

(3):

Х2 =

X

+

(0

I р) GE 2 +.

Тогда,

согласно

лемме 18.2,

N Xt =

ЬХг, и мы находим,

в силу следствия 12.9,

что

Uср =

Ьх. Теорема доказана.

Отметим

еще одно

следст­

5.

П о д м о д у л и

Ьх.

вие теоремы

10.

18.5. Ьх — модуль конечного типа.

С л е д с т в и е

* )

В действительности

^ XJ

X, =

/-Xl+Xj+p

(см.

замечание 4

в § 12).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

Vn,

п =

= 1 , 2,

. . .,

— возрастающая последовательность под­

модулей

Lx.

Ввиду!

счетномерности1 L x,

можем

счи­

тать,

что Lx —

объединение Vn, п =

1,

2,

. . . Соглас­

но теореме 10, эта

последовательность конечна (Р„ =

= Lx при некотором п), т. е. модуль Lx нетеров.

Поскольку L_x также нетеров, то мы заключаем,

что

L x — модуль

конечного

типа.

будет

получена

оценка

З а м е ч а н и е

1.

В

§ 3 6

для числа

неприводимых

компонент

L x.

З а м е ч а н и е

2.

Доказательство теоремы 10 мож­

но видоизменить таким образом, чтобы оно было при­

годно

для

всех

полупростых

вещественных

групп

Ли — см.

[32]

(см.

также

[47]).

подробно

рассмотрен

Случай

% ЕЕ 2 +

будет

более

в § 19.

§ 19. Теорема о цикличности

Рассмотрим

сигнатуры

класса

2 +.

Результаты,

полученные выше (теорема 7, лемма 18.2), позволяют

предположить,

что

Lx при

обладает

цикли­

ческим

вектором из

Lx

(v — индекс %).

если

Заметим,

что

L Xl ~

ЬХг

(следствие

14.12),

Xi> %2 е

2 +,

%2 =

w е W . Поскольку на орбите

всякой сигнатуры имеется точка

% ЕЕ 2 +, для которой

Re а ее Ь+ (<* — показатель

у),

то

можем

считать,

не ограничивая общности, что это условие выполняется.

Т е о р е м а

11. Циклический

модуль

N x =

UL*+

совпадает

с L x тогда

и только

тогда,

когда

% Е 2 +.

Доказательство, приведенное ниже, основано на

связи между матричными элементами ех

и

еХо,

где

еХа— элементарное

представление

полупростой

нор­

мально

вложенной

подгруппы G0CZ G.

что

a (g) = а

1.

Ф у н к ц и я

а (тг)\ Напомним,

в разложении g =

кап.

Положим А + =

ехр ^+.

е

&+,

Л е м м а

19.1 .пЕсли)

n ^ N _ ,

а ^ А +,

I

то

1 <1 а (аЯа-1)х ^

а (Я)х.

J ,G

А. Пусть

| 0 — старший

вектор

Е Ч Имеем

1 glо II =

II kanlо I = Iап101|=

ах = a (g)\

где

1 Е I = (£,

(£,

т|) — jf-инвариантное

скаляр­

ное произведение

в Е \

Если

й е= iV_, то

й£0 = | 0 -f

+ 21 ci%i’

где

£* — весовой

ортонормированный

ба-

i¥=0

зис

Еь,

апаГг1о = £о + 2

i+О

причем

р,г >

О

(А — р,г — вес

|;).

Отсюда

вытекает

искомая

оценка:

1 ^

|апа-^о |

|/?£0|-

Лемма

до­

казана.

Фиксируем

сигнатуру

% — v 0

а, для

которой

2.

Re а Е fy+. Пусть Д0 — множество

всех корней a ЕЕ А,

для

которых

Re оа = О,

= Д \ Д0. Положим

Д+0 = Д о П Д +,

ДХ+ = Д1 Н е ­

я с н о ,

что До порождается подсистемой S0 =

S П До,

Дх — множество

всех к ё Д, д л я

которых Recxa

0 .

Пусть

9о — полупростая

подалгебра

в з, порожденная

подсистемой

S0.

Положим

G0= exp За.

Воспользуемся обозначениями § 10. В частности, поло­

жим

n0 = п П &0>

Hi — ортогональное

дополнение

в п к

п0.

Отсюда

N =

N 0Ni =

NiNo, где положено

No =

exp n0,

N i = exp Bj.

Соответственно,

имеем

N ' = N 'o N 'i = N ' i N ' o ,

где x

x' — транспонирование в G (§ 9),

отображаю­

щее N

=

N +

на N

'

=

N _ . Заметим, что TVj — нормаль­

ный делитель в В'.

W 0 ал­

Согласно предложению 4.8, группа Вейля

гебры

$о отождествляется с подгруппой в W , поро­

жденной

подсистемой

S0. Положим

w. Д+-»Д ",

ш0:Д£-»До,

ШоЕгИ’о)

и пусть Wi — ww0. Фиксируем х ЕЕ а такой,

что ха =

— О

при а е А 0, ха _> 0

при а ЕЕ Д|, и

положим

а, = exp tx,

t е= R.

Л е м м а 19.2. Пусть ср ЕЕ D x, яр g= D -x. Сущест­

вует

константа с > 0 такая, что

Фо (g) = $ Ф (gn) dn — A (mlt х) ф(gml1),

g е G0,

тх — представитель

класса

wL. При

этом

фо ЕЕ DXo.

яро е /) - хо, Хо — проекция %

на Гд, =

I) Г) во-

что

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Напомним

(§

10),

билинейная форма <ф, яр)

определяется

интегралом

по N'. Для каждого

а ё А имеем

<аф, яр) =

^ ф (а~1п) яр (п) dn — а~2р § ф(гасГ1) яр (anar1) dn =

N’

N'

=

аа~р § ф (п) яр (агаа-1) dn.

N’

Заметим,

что dn — dn0dni

относительно

разложения

п — пйпи

п0 ёе N0,

щ €= iVi,

причем

ага0а -х =

п0,

апщ -1

е при а = at,

t —* оо.

Совершая формальный

предельный переход,

находим

lim aja+p (atф, яр) =

^

ф (га0гаi) яр (га0) dnodn^

(*)

что TVi = N Wt, откуда

следует,

что

(*)

записывается

в виде <фо, "фо),

где

положено

ф' (х) = ^

ф (хп{) dnx = #-т ,Ф (хт?),

i e f i .

N'i

Согласно лемме 13.1, ф' (х)€ЕС°° (G).

Полагая х ЕЕ G0,

легко проверяем, что

фо E / ) Zo-

В то

же

время

4j?0 ЕЕ

ЕЕ D -y„. Лемма доказана.

g0 ЕЕ G0,

g EEG

С л о д с т в и е 19.3. Для всех

имеем

с -lira аГР<.g0at(f, g-ф) =

<g0<Po, (£Ф)о>-

/-► 00

A (m-i, х) ф (/«Г1) ф 0

Фо ф 0.

Пусть ф — элемент из L_x

такой,

что

<иф,

ф> =

О

для всех

и ЕЕ U.

Ввиду аналитичности,

имеем

также

<хф, ф) =

0 для

всех i

E G .

Заменяя

х

на

g0at,

ф

на £ф, находим,

согласно

следствию

19.3,

что

<£офо> (£Ф)о) — 0,

goEEGQ,

gEEG.