Файл: Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли.pdf

матрица

r>. X гк, составленная

из столбцов

/ г ,

i =

— 1 , 2 , . . . , г%.

?

П р е д л о ж е н и е

16.12.

Пусть

я,

(Д+,

а) —

полином от а, определенный в §

14. Тогда

det (Л, / 2, ..., / а ) (v,

а) =

я* (А+, — а) р {у, а),

где

р (v,

а) — полином от а такой,

что

р (v,

а)

=

=

р (wv,

wa) для всех w £5 W.

Положим

/ (v,

о)

=

=

Д о к а з а т е л ь с т в о .

del (/j,

/ 2, . . . , /г ) (v,

о).

Согласно

соотношению

симметрии, отмеченному выше, имеем

(w, v, о)/ (v, б) = / (wv, wa),

i o e t f ,

где р (v, о)

= р (wv, wo) — полином от о,

инвариант­

ный относительно W . Предложение доказано.

О, то

С л е д с т в и е

16.13.

Если ] ( Е б а,

а <

U L? ^ Lx-

в этом случае полином я„ (А, — о)

Действительно,

обращается

в

нуль при

некотором

1 е Л ,

откуда

U ^ L ? ф Ь\.

16.14. Если сигнатура

вырождена,

С л е д с т в и е

то представление ех приводимо.

@а, ос < 0 ,' либо

Действительно,

если

то х

а 0.

Приводимость в первом случае вытекает из след­

ствия

16.13,

во

втором

случае — из

двойственности

Заметим, что, ввиду теоремы

1, модуль D x допу­

скает фильтрацию

замкнутыми

подмодулями

Ek ZD

ZD Ек+i, к =

0, ± 1,

± 2,

. . . , с

неприводимыми

ком­

понентами

F k = Ек/Ек+1.

Иначе

говоря, D x

имеет

композиционный

ряд

Dx =

. . . —> Fы—> Ек+1—* . . .

Т е о р е м а

6.

Если % — i]), то модули D x, Нф

до перестановки компонент

F k.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Заметим вначале, что если

*

*

*

4 Д. П. Желобенко

97

случая v = 0 (v — индекс %)•

В этом случае D x содер­

жит инвариант

подгруппы

К

(Ьх ф (0)).

Напомним,

что dim Lx =

1.

Модуль Lx =

Loa называется модулем

класса

0.

Соответственно,

ех =

е0а

называется пред­

ставлением класса

0.

Заметим,

что Lx

натянуто

на

функцию

ф0 (g) =

= da (g)

(§ 13),

причем ф0(к)

=

1,

к s

К.

Нашей

ближайшей целью является изучение циклического

модуля N x =

ULX. Положим также

N x = N 0a

при

%= 0 ® о.

Т е о р е м а

7.

Циклический модуль N x =

N 0a

сов­

падает с

Lx

тогда и только

тогда,

когда оа ф

—2,

—4, . . .,

а (ЕЕ А+ (т. е.

] ( Е

2 +).

Доказательство этой теоремы основано на теореме

Костанта

(§

2).

что

gc — прямая]

сумма

идеалов

1.

Напомним,

gt, g2;

положим

U i=

U (gj),

t/2 =

U (g2). Изоморфиз­

мы gc

на gi,

g2,

Iе определяются отображениями (§

1):

a (x) — x

|0,

b (x)

=

0 |x,

c (x)

=

x |— x',

x S

gc-

(1)

Отождествляя

gc>

fG (относительно

указанного

изо­

морфизма),

заметим»

что

U — градуированный

gc-

модуль,

Uи

и г — его

подмодули.

Из

разложения

gG в прямую сумму gi, gc находим

U = Ц г® t/gc

(2)

(прямая сумма), откуда Ui C^U/Uqc. (Аналогично, {/2 ~

~ U/U$c-) Отображение

х >->- а (х) осуществляет

изо­

морфизм

gc-модулей

U (gc),

U4.

Vе =

{ I s

Пусть

V — произвольный

{/-модуль,

6 F: gG Е =

(0)}. Отметим

П р е д л о ж е н и е

17.1. Для каждого £ ЕЕ F0 ото­

бражение и >-*- и\ — гомоморфизм

модулей U, V.

Действительно, хи\ = \х, и] |,

ж ЕЕ дед и е

U.

В частности, £/х —> Fx, 1 е

А,

где Л — множество

всех старших весов алгебры дс.

2. Рассмотрим действие алгебры С/в ^о, порожден­

ное представлением еоа. Согласно (2), имеем

и%* =

и г2% =

Е Ы Z (в1) Х°0 = Е Ы 55JJ,

где Е (дД ~ Я (дД (§ 2),

Z (дД — центр

U (зО,

скаляр­

ный на Хо (следствие 11.5).

Фиксируем

базисный

вектор

ф0 е

Х°0.

модуль

П р е д л о ж е н и е

17.2.

Циклический

Ж 0 =

UXо совпадает

с

Х 0 тогда и

только

тогда,

когда

отображение Е (g,) —> Е (gi) ф0

инъективно.

Действительно,

=

Е (дДх ф0 d Х\ (предложение

ты

yi

е Hom9c (Е\

Н (gO), i = 1,

2,

. . .,

гх =

=

«х (0) =

dim Я х (0),

такие,

что

их

образы

уг£,

I ЕЕ Ег, — однородные

полиномы

над

до

порождаю­

щие Я (дД х.

Положим

at — а ° у,-,

где а

— изомор­

физм

Н (gc) —> Е (дД.

Согласно

предложению

17.1,

имеем

еоа (а£) Фо =

2 /у (3) (S ®

ei),

(3)

i=l

где

et — фиксированный

базис

Е х (0),

| 0 т] — эле­

менты

Хо =

Ех ® Ях (0)

(§ 11),

fij (о) — полиномы

от

а £

fo.

Согласно

определению

16.8, каждый век­

тор

/j

(а)

с

координатами / у (а)

является

элементом

F xo. Положим

dx(o) =

det(/l)(a)).

(4)

Из

предложения

17.2

получаем

Ж 0 =

С л е д с т в и е

17.3.

Циклический

модуль

= UXо совпадает с

Х 0

тогда

и только тогда,

когда

dx (о)

Ф 0 для всех 1 е Л

таких,

что пх (0) ф 0.