Файл: Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 144
Скачиваний: 0
Мы показали, что % ее 2 + = ¥ N X = Ах* Обратное утверждение доказано ранее (следствие 16.13). Теорема
доказана. |
19.4. |
Если |
% ЕЕ |
тпо модуль |
||
|
С л е д с т в и е |
|||||
N x неприводим. |
аннулятор всякого подмодуля V С |
|||||
|
Действительно, |
|||||
d |
N x, |
V Ф N x, |
содержит |
N -x |
и потому |
совпадает |
с |
L_x. |
Отсюда V = (0). |
|
2 +, то |
в условиях |
|
|
С л е д с т в и е |
19.5. Если |
||||
предложения 16.12 существуют элементы Д, длякоторых
del (A, U ,. |
fry) (v, а) ф 0. |
С л е д с т в и е 19.6. |
Если % ЕЕ 2 + (л Е 2"), то |
Homg (Ьх, Ьх) ~ С.
В заключение этой главы введем в рассмотрение специальный класс неприводимых д-модулей (G-mo- дулей).
Пусть N x — объединение всех подмодулей Агх, не содержащих Lx+. Положим
ь Т = n x/n ;_.
Аналогично, пусть Пх — замыкание N x в D x, В х — объединение всех замкнутых подмодулей Нх, не со
держащих Lx+. Положим
D T = B J R I
Ясно, что N x — максимальный собственный подмодуль N x, откуда следует неприводимость L™m. Аналогично
проверяется |
неприводимость |
Z)™in. |
|
||
О п р е д е л е н и е |
19.7. |
Неприводимый G-модуль |
|||
D ? a назовем |
минимальным |
G-модулем |
с сигнатурой |
||
X (см. [60]). |
|
|
|
|
|
Заметим, |
что, |
согласно |
следствию |
19.4, L™ln = |
|
= N x, D f a = |
В х |
при |
19.8. Билинейная форма <ф, tj)> |
||
П р е д л о ж е н и е |
|||||
индуцирует двойственность G-модулей 7)™ш, П™хп.
Доказательство предоставляется читателю. (Анало гично, (ф, i[>) индуцирует эрмитову двойственность
110
П р е д л о ж е н и е |
19.9. |
Если |
Xi — Ул |
(Xi = |
||||
= w%2), то D Xt |
~ D Xi . |
Поскольку |
на |
орбите |
Хь Ул |
|||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
||||||||
существует сигнатура |
х Е ^ * > |
т° можем считать, не |
||||||
ограничивая общности, что х “ |
ХгСогласно теореме 4, |
|||||||
оператор В (т , |
х) определен |
на |
D x. |
Имеем |
|
|||
B (m ,x)B x d R Xi, |
B(m,%)BtACZR+Xl. |
|
||||||
Следовательно, |
В (т, %) |
индуцирует |
оператор |
|||||
33 ЕЕ Ж (Z)™ln, D™*n). |
Из |
условия нормировки (§ 14) |
||||||
вытекает, что 33 Ф 0. Из неприводимости / ) “ 1П, Z)™ln вытекает, что 33 обратим, причем
ЗЗ-'ЕЕЖ^™'", Dx '").
Действительно, 33 инъективен и 33DXш плотно в _D™In-
Поскольку 33 — топологический |
гомоморфизм *), то |
||||
33Dx in |
замкнуто |
в |
откуда 33Dx in = |
£>“ in- |
|
Отсюда |
следует, |
согласно |
теореме |
Банаха, что |
S3 — |
топологический изоморфизм. Предложение доказано.
С л е д с т в и е 19.10. |
Если х е 2 ‘ , |
то Rx явля |
|
ется функциональной |
реализацией Z)rynln, |
w ЕЕ W . |
|
При этом, если |
% = |
w%0> Х о £ ^ +, |
шЕИ ^, то |
имеем при т ё к |
|
|
|
Rx = В (т, Хо) Dx,.
З а м е ч а н и е . |
Если |
|
х Е= |
то N x — единст |
венный неприводимый подмодуль |
Ьх. Соответственно, |
|||
В х — единственный |
замкнутый неприводимый подмо |
|||
дуль D x. |
|
|
|
|
|
* |
• |
* |
|
|
|
|
|
|
Основные результаты этой главы получены в работах автора [59J, [60], [63], доказательство теоремы о цикличности приведен ное в § 19, принадлежит М. Дюфло. Неприводимость модулей £>х и их пополнений в гильбертовых пространствах исследовалась
ранее в ряде работ. Унитарные представления основной серии были рассмотрены Гельфандом и Наймарком [9J для классичеких матричных групп, Брюа [31J для общего случая (сигнатуры общего положения). См. также [29], [30J, [89J. Окончательный
*) См. замечание 3 в § 15,
111
результат |
был получен с помощью теоремы |
Костанта |
[59J |
(см. также |
[55]). Независимое доказательство |
(основанное |
на |
более поздней работе Б. Костанта) предложено в [32]. Представ ления класса 0 исследовались близким методом в работе Партасарати, Ранга Рао и Варадараджана [89]. В статье [59] (см. так же § 17) использованы некоторые технические детали этой ра боты. Теорема 10 (§ 18) доказана независимо в [13], [32]. См. также [63]. Теорема о цикличности (§ 19) была сформулирована в работе [60] (стр. 969), однако приведенное в этой работе дока зательство содержит пробел. Для отдельных типов простых групп Ли эта теорема была проверена в [13]. В статье [63] показано, что эта теорема эквивалентна теореме Березина о характерах (см. по этому поводу добавление I). Простое доказательство теоремы о цикличности было найдено Дюфло [47]. Это доказательство без существенных изменений приводится в § 19.
Г л а в а 6. ОПЕРАЦИОННОЙ ИСЧИСЛЕНИЕ
Отображение Ф: и и (v, а) = ет (и), и е U, мы назы ваем преобразованием Фурье для алгебры U. Ядром отображения Ф |t/x'A является идеал UJ^ (теорема 12). Образ Т/Х|А имеет
структуру |
тензорного |
произведения |
<g> .FX|A, где |
,М Хр = |
|||||
= Нош |
(# \ |
Е х), F X{X — полиномиальная |
матричная |
катего |
|||||
рия, называемая категорией Фурье алгебры |
U. |
|
|
|
|||||
В §§ 21—24 исследуются |
включения й’х*Аd |
CZ / х^, |
где |
||||||
7ХР |
— множества |
всех |
полиномиальных |
инвариантов |
со |
||||
значениями |
в |
Н от (Е^ (v), |
Ех (v)), удовлетворяющих |
уравне |
|||||
ниям симметрии относительно W (W и W ). Основным результа том главы является теорема 16 (редукционпая теорема), содержа щая наиболее детальную информацию о структуре категории Фурье. Все остальные результаты главы являются частными случаями или следствиями этой теоремы. В частности, согласно
теореме |
17 (теорема |
полноты), й’х'А = / Х'А для |
всех X, ц е А. |
Последний результат дает эффективное описание категории |
|||
Фурье. |
Теорема 18 |
§ 24 позволяет исследовать |
алгебру 21х = |
= UXX!U J K, что позволяет, в свою очередь (в § 25), дать полное
решение задачи о классификации пеприводнмых модулей Ха- риш-Чандры.
§20. Категория F xv-
Вэтом параграфе дается определение преобразова
ния Фурье для элементов алгебры U = |
U (дс). |
|
I. Пусть G — односвязная группа |
Ли с алгеброй |
|
Ли з, Lx —система tX-модулей, порожденная |
эле |
|
ментарными представлениями группы |
G (§ И). |
Для |
112
каждого и ЕЕ U положим |
|
|
|
|
||||
|
|
и(х) = |
u(v,a) = |
eva(u), |
%= v ® а, |
(1) |
||
где |
ех (ц) = eva (и) |
— оператор |
|
элементарного |
пред |
|||
ставления |
алгебры |
U в пространстве Хч ~ Lx. |
||||||
В |
§ 12 |
было |
отмечено, что |
|
Lx — полная |
система |
||
{/-модулей, т. е. |
и = 0 |
и (у) |
= 0 для всех |
)(g 2 . |
||||
Операторную функцию и (х) |
= |
и (у, а) назовем пре |
||||||
образованием |
Фурье |
элемента и ЕЕ U. |
|
несколько |
|||||||||
|
Представляется |
целесообразным также |
|||||||||||
модифицировать это |
определение. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
Напомним, |
что |
|
~ |
Е х (g) Е х (v). |
Для |
каждого |
||||||
и ЕЕ U и |
каждой пары векторов а ЕЕ Е х, Ь Е |
Е^ опре |
|||||||||||
делим |
операторную |
функцию |
и$, |
{%) ЕЕ Нога (Е* (v), |
|||||||||
Е х (v)) |
следующим образом: |
|
|
|
|
|
|
||||||
{ult (X) Л,1) = |
( « (X) (Ь ® |
Л), (« <g> &)), 5 <= Е* (V ), л ЕЕ |
(р). |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
О п р е д е л е н и е |
20.1. |
Операторная |
|
функция |
|||||||||
и1ь (х) |
= иаь (v, о) |
называется |
коэффициентом |
Фурье |
|||||||||
элемента и Е |
U. |
1. |
Пусть |
— весовая категория |
|||||||||
З а м е т а н и е |
|||||||||||||
алгебры |
U |
относительно |
fc |
(§ 3). |
Для |
|
элементов |
||||||
и ЕЕ Ux^ коэффициент |
Фурье иХь совпадает с оператор |
||||||||||||
ной |
функцией |
иаЬ, |
введенной в § 16. Соответственно, |
||||||||||
для |
всякого |
и (El U |
имеем ы£ь = |
(ых,А) а-„ |
где их^ — |
||||||||
проекция |
и на { />,х |
(предложение |
3.4). |
|
|
|
|||||||
Из предложения 11.3 следует, что функция Uab (х) полиномиальна (т. е. является полиномом от показа теля а сигнатуры х)-
О п р е д е л е н и е 20.2. Пусть 1Х^ — множество всех полиномиальных функций / (х) = / (v- о) со зна чениями в Horn (Е'х (v), Е х (v)), удовлетворяющих тож деству
bx (m ,v,a )f(\ ,d )= f(w v,w i)U l (m,\,e), т Е М ', (3)
где Ъх {т, v, а) — оператор симметрии, индуцирован ный в Е х (v) оператором В (т, у) (§ 14), т — произ вольный представитель класса w E W .
Пусть F XVa— множество всех операторных функций Uflt (х)- u e U , при фиксированных X, р, а, Ь. Согласно
ИЗ