Файл: Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли.pdf

dx (а) = Ло (Д+, — а ) рх (о),

(5)

однородных образующих Костанта у*| (х)>

х £= S)c-

Положим

mt (а) = dim Н о т 9а (Я*, ЯаЯх (0)), е е

N,

т (а) =

2 zrru (а)

(6)

г

что тг (ос) = 0 при нечетном е (поскольку все

непри­

водимые компоненты

Ua Е х (0)

содержат вес

0).

Пусть d{ = d e

g

(ж),

s = 2

d«-

i

Л е м м а 17.4.

s — 2

m (a)-

Я (х) =

del (hjj (х)),

(7)

где положено htj =

у7- eui = 1 ,

2,. . .,

г\. Для вычис­

ления этой степени достаточно положить

х £Е Ос-

(1)

Фиксируем

х €Е f)c-

Если

Я (х) = 0, то суще­

ствует линейная комбинация

Т = S СД? такая> что

3

уе4(х) =

0,

i =

1 , 2, ... ,

гх,

т. е. у | (х)

— 0 для

всех

| GE Я х (0).

Поскольку

х —

веса 0,

то

у I (х) =

0 также

для

всех

£ Е

Е х (р),

р Ф 0.

Следовательно,

t S ( * ) * o ,

\ s e e x .

Отсюда

у

I 0 Я = 0,

где

Ох — орбита

точки

х

от­

носительно

присоединенной

группы

G.

В

частности,

нах

базиса, мы

может

считать,

что et ЕЕ Е*{, i =

= 1,

2,

В этом

случае

@1 =

с_а Vjy

i z=z 1 , 2 , . .

., т*х,

Тf-i —

п { е ! а г) ijV i,

#, 7 =

1 , 2 , . . . ,

т\.

Для

каждого

pEES (gc)

пусть

р0— проекция

р на

S (*с +

9*)

параллельно

S (дс) 0,

ГД°

0 — сумма

всех

Ор,

р ф +

а.

Из перестановочности

этой

проекции с

я ( д а) имеем

(ТА)о *= л (е!£'1) ( Г ф ) о ,

h 7=

1,2,.. ., п .

Из

разложения &с + д* =

()0©

д*,

где ()° — ортогональ­

ное дополнение |)сП9а в Ъс> ясно,

что всякий старший

вектор

да

в

S (^с + да) веса

s

имеет

вид

e'^z,

г е 2 ( | с +

9а)- Отсюда

(Tjei)o =

(Я (e-t1) el*') zijt

i, j

— 1, 2, . . . , rx,

где

ги е

2 (|с +

За)-

В

результате

матрица

h0 —

—

((htj)о)

является произведением

вида

£z,

где

z =

=

(zij), t

— диагональная матрица

с

элементами

VzEj.

=

с{а

‘/lEj

.

«

я (е_а ) еа

l,

с4= const =f= 0.

Следовательно,

также

Н (х) =

Z (х) Г (ж),

Z (я) =

=

det z (х),

Т (х)

=

det t (х),

х ЕЕ Ос +

За-

Пола­

гая

х £Е 0с>

заметим,

что

Т (х)

= сх™(а) (в

обозначе­

нии

(6)) с константой

с Ф 0.

В

результате

Н (х) = cZ (х) х™

с ф О,

где

положено

х ЕЕ Ос-

(Следовательно,

га > тп (а).)

(3)

Пусть х ЕЕ 0с> ха =

0,

хц Ф 0 для

всех

корней

Р =/= + а. Положим у = х +

еа и заметим, что х принад­

лежит замыканию орбиты Ga у *), где

Ga =

ехря ^ а ).

Из инвариантности Z(x) относительно Ga заключаем,

что

Z (х)

= const на Gai/. Отсюда

Z (х) =

О =*>Z |Gay =

0 =» Я |Gay =

0.

Следовательно, существует линейная комбинация у =

=

^

с} у,

такая,

что

у£| Gay =

0

для

всех

£ ЕЕ

е

Ех (0).

Поэтому у| (у) =

0

для всех £ G ^ a Ех (0).

Заметим,

что

UaEh{0) -

0 Ех (па).

nez

Если

| е

Ех (Р),

Р Ф па,

п

Z,

то

у £ (у)

=

0,

поскольку у ортогонален Сер. В результате у g (у)

=

0

для всех

g ЕЕ Ях. Остается

заметить, что Оу — орбита

общего положения (см., например, [70]), откуда,

согласно теореме Костанта, у = 0. Полученное про­

тиворечие

показывает, что Z (х)

0.

Следовательно,

ra =

пг (а),

а е А * .

Лемма

доказана.

следующий ре­

5.

Из

доказанной леммы

вытекает

зультат.

П р е д л о ж е н и е

17.5. dx (а)

=

с0я* (Д+,

—от),

с0 ф

0 -

*)

Действительно, х =

t

lim

я (exp ta) у.

* -оо]

Действительно,

deg dx (о)

s (по определению s),

deg Яо (A+, a)

= s

(по

лемме

17.4). Отсюда

p x (о) =

= c„ = const,

причем

c0 ф 0,

поскольку

CL Ф*о

fij (<з) = иуфо (е),

i, / =

1, 2 ,..., г*.

Отсюда

легко

получить

(см.

[47]),

что /у (о) =

= и% (V2 о),

где для каждого u Е

(7 (9с). веса 0 относи­

тельно фс.

означает проекцию и на U (^с) параллельно

ttc £7 (9с).

(Отсюда

также следует

доказательство

предложения 17.5.)

2. Еще

один

вариант

вычисления

З а м е ч а н и е

dx (о)

можно

получить,

заменяя S (дс)

на U (дс)

существу, приведено

в [89], хотя детерминанты dx (о)

и модули N x в этой работе явно не рассматриваются.

Теорема 7 будет

обобщена в § 19.

ложим N x =

ULVX, где v — индекс %.

Л е м м а

18.1. Неприводимость Lx равносильна вы­

полнению двух условий: N x — L x, N~x = L -x.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть V — подмодуль Lx,

либо

V^ ZD N-x =D> V =

(0). Ясно, что

условия

леммы

также необходимы. Лемма доказана.

что сигнатура % =

=

2.

М о д у л ь

Lx. Напомним,

р

|(] называется вырожденной по

корню

а,

если

I», Ё

N*,

N*,

(N*

N \

{0}). Сигнатура % на­

зывается невырожденной,

если

она не вырождена

ни

но одному корню и ё Д.

L x

неприводим

тогда и

Т е о р е м а

8. Модуль

только тогда, когда сигнатура % невырождена.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно следствию 16.14,

условие % ЕЕ 2°

необходимо.

Докажем его

достаточ­

ность. Пусть v — индекс %•

N x = Lx

Л е м м а

18.2. Если

v e A ,

то

тогда

и только тогда, когда % ЕЕ

2 +.

То же верно, если—

—V ее А.

л е м м ы .

Если

v

ЕЕ А,

Д о к а з а т е л ь с т в о

то

ж: = С2Тov =

^oo^ov

(§ 12),

откуда

имеем

L x = L xpV Q4,

Xo =

X + (0|v).

Поскольку

элементы

ср ЕЕ E0v — антианалитические

функции на G, то умножение на <р перестановочно с дей-

стием

f/j.

Отсюда

N x = и , Ы = ( U

J •V 0v = N x p V M .

Если

] [ ё

2 +,

то

/о G

2 +,

причем

%о — сигнату­

ра

нулевого

индекса,

откуда,

согласно теореме

7,

А'Хо =

L Xo.

В результате,

согласно следствию

12.9,

А х =

Ьх.

Аналогично рассматривается случай v Е — А. Не­

обходимость

условия

х S

2 +

доказана

ранее

(следст­

вие

16.13).

Лемма

доказана.

g ±

А,

С л е д с т в и е

18.3.

Теорема верна при v

Действительно,

— 2° =

2 ° C l 2 +.

х Е

Рассмотрим

теперь произвольную сигнатуру

изоморфно Lwx, w ЕЕ W,

причем

w% ЕЕ 2°. Поэтому

общий

случай сводится

к v ЕЕ А.

Теорема доказана.

3.

М о д у л ь Е х.

Пусть Е х — регулярный G-мо­