Файл: Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли.pdf

bx (w, v, 3)/(v, б) =

f(wv, wd),

w e e W,

( 1)

где /

(wv, шз) EE / i v Пусть Ф — квадратная матрица,

составленная

из

столбцов

/ г ЕЕ

i

= 1,

2, . . .,

г\,

гк =

п\ (v) (относительно

некоторого базиса в Ех (v)).

Если

det Ф Ф 0,

то всякое решение (1) может быть

представлено

в

виде

/ (v, о) = Ф (v, о)

г (v,

о)

(2)

с рациональной

вектор-функцией г (v, о).

При этом

г (v,

а) = г (wv,

wo), w е

W, и det Ф (v,

а) — знаме­

натель г (v, о). Положим г (v, о)

= р (v, a)/det Ф (v, о),

где р (v, ст) — полиномиальная

вектор-функция от

а,

и напомним,

что, согласно предложению 16.12,

det Ф (v, о) = я* (Д+, — б) ю, (б),

находим,

что р (v, о) удовлетворяет

системе уравне­

ний

р (v, б) яу (б) = р (wv, wo) яу (wz),

где для

краткости положено

n v (а)

= itj (Д+,

—а).

Полагая,

в

частности, w — w0,

находим,

как и в до­

казательстве

предложения

16.12,

что

р (v,

а) =

— q (v,

о) л v (а), где q (v, о)

— полином от о. Соответ­

ственно,

(2)

запишем в виде

/

(v, от) о)v (о) = .Ф

(v, о) q (v, о).

(3)

порождаются

всевозможными

наборами / г ЕЕ F Для

вычисления нулей

идеала Qv положим

Ь =

оо

= — |ve |— 2 /}.

U U

{ 1 Ё ( с :

«еЛ+ j—j

Согласно теореме о цикличности (следствие

19.5),

нули

12 v

содержатся

в

Согласно уравнениям сим­

метрии для

образующих

wv,

нули 12v содержатся в

Ьо =

П

w\)■

«ew

Для

каждого

z £

jlс пусть

z+ — элемент орбиты Wz,

для

которого

Re z+ е

1>+.

Если z £:

0о, то

Wz е

().

В частности,

z+ ЕЕ (>,

что

невозможно, ввиду опреде­

ления f). В результате

0о =

0 . Используя

теорему

Гильберта

о нулях для

полиномиальной алгебры

7 V

(следствие

4.9), находим

Qv =

7V.

В

частности,

имеем

разложение

единицы:

1

=

= 2

(а)

Фг (ст)>

Фг €= /v ,

с

образующими

toi ЕЕ 12v-

i

Пусть Ф* — соответствующие матрицы в (3). Умножая

обе части (3) на фг и суммируя по t, находим равенство

вида

/ (v, <з) =

2

ф1 (v- а) я ( ъ 3)>

г

где

q, (v,

о) — столбец

с

элементами

из алгебры

7V.

Полученное равенство означает, что /

ЕЕ T't 7 V.

В

ре­

зультате

= F*IV. Лемма доказана.

Применяя инволюцию, получаем также

С л е д с т в и е

21.2.

/ i

=

7V/'J.

Попутно было доказано, что имеет место

П р е д л о ж е н и е

21.3.'

7i — модуль

конечного

типа.

Г и п о т е з а .

7i — свободный модуль ранга п\ (v).

II.

С л у ч а й

v

= 0. Указанная выше гипотеза

легко проверяется при v = 0.

Л е м м а

21.4.

Алгебра F v содержит все полиномы

вида

ф (а +

v), ф 6 70.

В частности,

F0 =

/ 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть Z — образ

Фурье

центра

Z (gG),

Z v — его

сушение на

индекс V,

Ясно,

что

Z v С F v-

Полагая,

в

частности,

г е 2

(0Д,

заметим,

что

z (v,

о)

=

(3 z (р ) =- р z (V, (а +

v)),

где

Р: Z (дс)

1 Ы

~~ отображение,

определенное

в § 2, р = V2 (ст +

v) для сигнатуры х =

Р I ? =

v ©

® ст. Согласно

теореме Хариш-Чандры (§ 2), имеем

№(6c) =

P $ c )w =

Io-

Заменяя 8с на дх,

напомним (§ 4),

что /„

порождается

однородными

образующими.

Отсюда

ip(ff +

v ) E

f v

для

всех

ф ЕЕ 10. Лемма доказана.

(с заменой 8i

на

З а м е ч а н и е

1.

Аналогично

02)

проверяется,

что F v содержит все

полиномы вида

Ф (<т — V), ф Ё / 0.

П р е д л о ж е н и е

21.5.

/о

— свободный

мо­

дуль ранга п\ (0), над алгеброй / 0 =

F0. При этом для

всех

к Е

А

/о

= ^ о -

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Согласно

предложению

17.5, существует, фундаментальная матрица Ф

модуля

/о,

для

которой

det

Ф (0,

ст) = По (А+,

—ст),

т.

е.

“ о (°) .=

1- Равенство (3)

принимает вид

/

(0,

ст) =

Ф (0, а)

q (0,

а),

(4)

где q (0, а) — столбец

с

элементами из

алгебры

/ 0 =

= F 0. При этом /

=

0

q =

0 (поскольку det Ф

0).

Следовательно, l\ = Fo F0 =

F о — свободный

модуль

ранга «х (0).

Предложение доказано.

С л е д с т в и е

21.6. Io =

F о — свободный

модуль

ранга п\ (0).

Ф (0,

ст) в формуле

Положим для краткости Ф (ст) =

(4).

Из (4) вытекает

С л е д с т в и е

21.7.

Элементы матрицы

ф* (а) =

ф* (о) ф (а)

(5)

* =

2 “ ( О Р ( * ) е 2 (в1),

(6)

е

где a Е

Н от( ( £ ь

U j ) ,

р е

Honis ( £ х,

U x)

и

пара

е*, е пробегает биортогональную систему в Е х X

Ех *).

В частности,

пусть а ,, Ру, Z, / = 1, 2, . .

гь —

образующие

Костанта в

Ноше {Е^,

Е (g^),

Ноше {Ех,

Е (й!)). Положим

=

Z, / =

1, 2 , . . . , Гх,

(7)

где zaP определяется формулой (6).

Для каждого z £Е

€Е Z (gG)

пусть

z (а) =

z (0,

а) — образ

Фурье при

v = 0. Положим

z

(<з) =

(Zij (6)),

i , ;

= 1 ,2 ,

... ,7 - х .

(8)

П р е д л о ж е н и е

21.8.

Существует, константа

с0 Ф 0 такая, что

Z (a) = c0vF (о).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

С/х — градуиров­

ка f-модуля

U (относительно присоединенного,

пред­

ставления).

Заметим, что Ux CZ С/ло

(см.

предложение

го р (ЕЕ Н оше {Ех,

17х)

имеем

(К)*ч(0,а) =

(£,т1)ц(з),

<=Е\

(9)

где

и (а) — элемент

(е0 — нормированный

вектор

Е° (0)).

Применяя

инволюцию

к старшим векторам

[7х,

находим, что

(U})* = С/х,

где С/х — подмодуль

в С/,

дуальный к Ux. Отсюда

при а £Е Н оше {Ех,

17х)

а (Г)* =

o*(TD,

5 е = я \

(10)

где

а*

£Е Ноше (i?x,

С7х), у е= Н оше (C?x, £ л).

(Ясно,

что у

не зависит от ос и определяется с

точностью

до

*)

Отображение

£ >->-

— антилинейный

изоморфизм

Е х

на E h

такой, что <£, ц*> = (|, тр,

Е х .