Файл: Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли.pdf

а (б*)** (О, а) = а*

(0, — а) =

(т?, р) v* (з),

(И)

где у (о)

— элемент /о- Подставляя (9), (И ) в (6) и при­

меняя правило суммирования для матричных элемен­

тов (предложение 20.3), находим

образ Фурье z (а) —

в=

(0,

а)

элемента

(6):

z (а) =

(sp y) v* (а) и (а).

Полагая

в

этой формуле v (a) = f i ( o ) ,

и (a)

= f j ( o ) ,

где

fi (о),

i =

1, 2, . . ., Гь,— столбцы

Ф (ст), полу­

чаем элементы матрицы (7).

В результате

Z (о) = с0 Т (а), с0 = sp у.

Заметим,

что

элементы (7)

порождают Z (9^

(действи­

тельно, элементы (6) образуют линейный базис в Z (jh)).

Равенство с0 =

0 влечет Z (ст) н= 0,z £

Z (9j), что невоз­

можно. Следовательно, с0 Ф 0. Предложение доказано.

Следовательно,

модуль

Vx порождается

образами

Фурье центральных элементов z е

Е (дх)х Е (д^*.

З а м е ч а н и е

2. Из теоремы 7 и общего критерия

неприводимости

(§

18)

вытекает

следующее

свойство

матрицы

Z (a):

det Z (о)

ф 0 тогда

и только тогда,

когда модуль Ьоа неприводим.

IV.

П р и м е р н ы й

м о д у л ь .

Пусть 9с —

простая

алгебра Ли ранга I. Пусть

ш — старший

корень go (старший вес

присоединенного представле­

ния в 9с).

Заметим, что

3 iC l£ (9 i)“ .

Действительно,

включение

f a d Е (9Х)

следует

из

гармоничности

линейных форм над

9Х.

Соответствен­

но,

матрица Ф содержит столбец fx степени 1.

f\ Ф

П р е д л о ж е н и е

21.9. Элементы строки

являются

образующими

алгебры

/ 0.

ах (Еш) = 9Х

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Положим

(представление я“ самоконтрагредиентно). Поскольку

9i порождает U (дх), элементы (7) при i = 1 порож­

дают Z (9t).

Как мы видели

при доказательстве леммы

21.4, образ

Фурье Z (дх)

накрывает / 0. Следовательно,

С л е д с т в и е

21.10.

VM= I 0.

21.9 следует,

З а м е ч а н и е

3. Из

предложения

что

степенями образующих

Костанта в

Е (g j10я в л я ­

ю т с я

примерные экспоненты

алгебры дх.

Прямое дока­

зательство этого факта имеется в работе

Костанта [70].

В общем случае

пусть

Q — множество всех

стар­

ших корней алгебры дс,

— простой

идеал,

содер­

жащий со Er Q. Алгебра

дс — прямая сумма идеалов

дш. Следовательно,

где положено /0ш=

Р (M W(w)>

=

(>сП 9о>, W (со) — груп­

па Вейля алгебры ди.

VM=

/ оа1,

о> EE Й.

С л е д с т в и е

21.11.

Доказательство очевидно.

Модуль

/ “

назовем примарным

модулем

веса

со.

Соответствующая

фундаментальная матрица Фш назы­

вается примаркой

матрицей веса

со (см. [60]).

§

22.

Узловые алгебры

Следующим шагом в нашем построении является

исследование узловых

алгебр

F v Cl / v (§ 20).

В §

21

было показано (лемма 21.4), что F0 =

/ 0.

Покажем теперь, что имеет место

v e T .

Т е о р е м а

13.

F ч =

I v

для

всех

Отсюда, в силу леммы 21.1, непосредственно выте­

кает также

Т е о р е м а

14.

F* — I*

для

всех

К EH A,

v ее Г.

П л а н д о к а з а т е л ь с т в а

состоит в следую­

щем.

Ввиду

соотношений

Fwv =

wFv, w ЕЕ W, доста­

точно

рассматривать

доминантные

индексы

v £

Л.

Положим

Уо

■

Е

S\ (v, cl) =

0).

Пусть

g0 — полупростая

подалгебра в дс, порожден­

ная

системой

S0,

f)0 = Ос р) д0,

— ортогональное

дополнение

(>0в (jc, W 0 — группа

Вейля алгебры

д0.

Согласно

следствию

4.10,

имеем

/ v =

Х 0 X

Го,

Х 0=

Р ( П

У0= Р (*о)"\

значительно сложней.

Положим

9о = 0 Зои,

со (ЕЕ й 0,

Ы

где

Q0 — множество

всех

старших

корней

алгебры

д0,

9о“ — простой

идеал,

содержащий

со.

Алгебра

У0 изоморфна

алгебре /„ для д0.

Согласно следствию

21.11 , имеем

^0 =

0^00)5

w g Q0,

СО

где

положено

V0O1 =

/o’/о

(относительно д0).

Заме­

тим, что

V0a>СI / 0 (относительно естественного вложе­

ния). Теорема 13 будет доказана, если проверить вклю­

чения

(2) *.. Vo. С Л.

для всех

(о ЕЕ. Q0. При этом (для некоторых особых зна­

чений v,

м) придется рассматривать

отдельно простые

алгебры Ли над полем С.

Положим

4 *

1.

Л и н е й н ы е о б р а з у ю щ и е .

= Н о т е (Ях, UJ,

Cx =

Homt (£ \ U (Iе)).

Для

каждой

пары

элементов

у Е С 1

рассмотрим

свертку

вида

z =

2

a (OT(e),

е е [3 ,

(1)

е

Для

каждого | е

Е х (0)

пусть

а (£) — проекция

а (£) на

U ((^)

параллельно

%

с (|) — проекция

7 (|) на

U (^с)

параллельно

U (tG) Кс-

Поло­

Пусть е0 — нормированный вектор Еv+ (v).

жим v е

— А.

Образ

Фурье

z (а)

= ге^

(v,

а)

Л е м м а

22.1.

элемента (1) имеет вид

z(б) = 2

а(Г) С/2 (а + v) -

6) •с (|) (V),

|ЕЕР0,

(2)

£

где ро =

р П Е* (0),

б — полусумма положительных

корней.

Поскольку

z ее U0,

мы

Д о к а з а т е л ь с т в о .

3%+).

Для

вычисления

z (а)

положим

ф =

е0 0

е0

и вычислим гф (х)

при х

=

е. Заметим, что

nif/i<p(e) =

0,

U (fc) ПсФ =

0

(3)

(последнее

равенство вытекает

из v E — А).

Пусть

а (|*),

с (1) — проекции

сс (£*),

7 (Е),

соответственно,

на U (ас) 0

U (Iе)

параллельно

п+t/,

UnG *).

Тог­

да

из

(3) имеем

гф =

2

а ( П с Шф.

(4)

Если

| ЕЕ Е^ (р),

то а (£*)

= 0

при

р >

0,

с (I)

=

0

при р < 0.

Следовательно,

сумма

в

(4)

берется

по

£ ЕЕ р0. Остается заметить, что вф (е) =

a (V2 (а +

v) —

— б) ф (е) при S E P

(§х), сф =

с (v) ф при

с е

U ((>с).

Лемма доказана.

алгебра

F v содержит элементы ви­

Следовательно,

да (2).

22.2.

Равенство с (|) (v) = 0 ,

| ЕЕ Ех (0),

Л е м м а

имеет

место тогда и только тогда,

когда

у (Е*)

(Z

С

Кег лч+.

Заметим,

что

Е 0 =

=

Д о к а з а т е л ь с т в о .

7 (Ех) е0 инвариантно

относительно

6_,

откуда

сле­

дует,

ввиду теоремы Ли, что

е0 GE Е 0 при

Е 0 Ф (0).

*)

Заметим, что а (£*), у

(|) е U (йс ) ®

V

(£с) =

U (fjc) при

£ S Ех (0).

Равенство

с (| )(v)

— 0,

| G

Ех (0),

означает,

что

Y (£Л (0)) е0 — 0,

откуда

е0 ф Е 0,

т. е.

Е0 = (0).

Из

цикличности е0 и инвариантности

у (Ек)

относительно

присоединенного

представления

следует

теперь,

что

V (Ех) d

Ker nv+.

Обратное

утверждение

очевидно.

Лемма

доказана.

1, 2,

. . ., rx,—

базис С\ как модуля

Пусть ct, i

=

над Z (fc),

е}, j

— 1,

2,

. . ., гх,—

элементы

р0.

Поло­

жим

СЦ =

ci (о) (V)-

(5)

Для каждой пары векторов к, р. €Е А пусть Ех (0,

ц) —

множество всех векторов £ €Е

(0), удовлетворяющих

уравнениям

* x ( e « / i+1? =

°>

* =

1 , 2, . . . ,г.

(6)

Положим

га (X, р.)

=

dim Е ж(0,

ц).

v+).

Л е м м а 22.3.

Ранг матрицы (5)

равен

т (к,

Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно лемме 22.2,

ранг

матрицы (5) равняется

г =

d(L (Е'+) : Е*),

г = d (£ х (g) Е * <g> £ v+ : Е°) — d (tfx <g>

: Е *).

простой

идеал

в 9с, содержащий к.

Отождествляя

Е х с 9*,,

мы отождествляем Е х (0) с $х =

(»с П Йх,- Фор­

мула (2)

принимает вид

z (а) = 2

(Г. V* (а + v) - б) •с (|) (v),

Г е= Ь°,

z