Файл: Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли.pdf

ц =

v+, находим, что

dim 1)° =

т(Х, v*).

(7)

Действительно, el | = 0

для

всех

а Е А ,

| £Е fyc-

Поэтому условие (6) нетривиально

лишь

при v4 =

О

и сводится к условию ортогональности

(а*, |) = 0.

Число

линейно независимых

условий

совпадает

с

card

(So

П &х)> гДе положено

St =

(a d S :(v +,a) =

0}.

Это

число не

изменится,

если заменить

St

на S0 =

= {а е

S: (v,

а ) =

0}.

Отсюда

следует

(7). В ре­

зультате

находим,

согласно лемме 22.3,

что F v содер­

жит все линейные формы (£*,

а), £* е

§°.

Поскольку

это верно для всех ^ Е Й , мы имеем

С л е д с т в и е

22.4. Х 0 CZ F v для всех

v

e T.

С л е д с т в и е

22.5. Если

v — индекс

общего

по­

ложения (S0 — 0 ),

то F v = /

у.

результат

был

по­

З а м е ч а н и е

1. Последний

2.

В л о ж е н и я и д е а л ь н ы х м о д у л е й .

Пусть

30 = 9 (*50), Sо — произвольная подсистема S.

Опишем естественные вложения вида

где

Х0,

v0 — ортогональные

проекции

X,

v

на

&о(— Ь П

9о)>

1*1 — идеальный модуль, определенный

для

алгебры

9„.

дополнение

в

[).

Пусть

— ортогональное

[)0

2°. Стационарная подгруппа точки

v содержится

в W 0 = W (S0).

| 0 — старший

П р е д л о ж е н и е 22.6. Пусть

изоморфен Ех>, причем

У** К ) Ех (v).

(8)

£ — е-<ч,е-ч 2- ••e-«ifc £о>

(9)

где а и +

а и +

. . .

+ a lk =

X — v =

Х0

v0

(>о,

откуда a is е

f)0 для

всех s

=

l,

2,

. . .,

к,

т. е.

1 е

GEEVХо (v0).

В

то

же

время

векторы

|

порождают

FA° (v0). Предложение доказано.

Отождествим Е

(v0), Е х (v)

относительно (8). Для

каждого /0€=

положим

/(v , а) = / (v0,

н0).

(Ю)

где v0, а0 — проекции V, а на ф0.

Далее,

при v' =

цл>,

а' = wo, тЧ= w,

положим

/ (rai, v', а') =

ЬА(m, v, с) / (v, а) то-1.

(11)

Л е м м а

22.7.

Функция /

(т,

v',

а') полиномиальна

по о', не зависит от т (тга ЕЕ w, wv

= v')

и удовлетво­

ряет системе уравнений (6) § 20.

m Е

w\ =

v'.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

w,

Положим

о' =

wo =

wx и заметим,

что

w~lw

W 0

(условие 2°). Отсюда имеем

/ (v, з) =

bx {т~хт, V, т)/ (v, т) т~1т.

(12)

Действительно,

т~хт = m0fo,

т 0ё

М '

П

(&о —

= ехр з0),

fo ЕЕ М ,

и

т~хт можно заменить на

т0

включения /0 в /^°.

Подставляя (12) в (11), находим

/ (т, v', o') =

bx (m, v, б) Ьх (тггт, v, т) / (v, т) m_1 =

= Ъх (Ш, v, т) / (v, Т) m' 1 =

/ (т , v', б').

Покажем,

что

функция / (v\ o') = /

(лг, v', o')

Пусть v"

— индекс порядка

га + 1,

v" =

wtv', где

v' — индекс

порядка га. Тогда

имеем

/ (v", б") = bx (ти v', б') / (v\ б') mi1,

т{ е

wu

5 Д. П. Желобенко

129

где / (v\ ст') — полином

от а' = inpj". Положим v' =

= wv,

w е

W,

и пусть

wtw = wwa, а €= Д+.

Если

ша £Е ИД,,

то порядок

v" равен

порядку

v', поэтому

будем

считать,

что

а е А + \

Д<>>

где А0 — система

корней, порожденная

S0. Заметим, что

еаЕх (у) = (0)

при а е

А+\ А 0.

Действительно, v =

X — е, е — сумма простых корней

из S0.

Отсюда

заключаем,

что v + а = А, — е +

а,

а €= А+, является весом

только при а ЕЕ Д0. Соот­

ветственно,

из

равенства

е±рп =

теа

следует,

что

Ех (у') удовлетворяет

одному из уравнений

e±iEHv') = (0).

Согласно

предложению

14.5,

отсюда

следует,

что

(mt, v',

o') = иг,-,

т. е.

/

(v",

а") — полином

от

а".

Соотношения (6) § 20 вытекают из определения (11).

Лемма

доказана.

Если выполняются условия 1°,

С л е д с т в и е 22.8.

2°, то отображение /„

>-*■/, /

(v', o') =

/ (иг, v',

o'),

является

вложением

l\\ —> /^.

т е о р е м ы

13. Вос­

3.

Д о к а з а т е л ь с т в о

пользуемся обозначениями, введенными в начале параг­

рафа. В

частности,

положим

S0 =

{а е

S: (v,

а)

= 0}.

Пусть

/ “ — примерный

модуль

алгебры

д0 =

9 ($о)-

Положим

Л е м м а 22.9 (правило индукции). Если v +

П0с

CZ Л,

то включение (2)„ш выполняется для всех со ЕЕ Й0-

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Условие 1° будет

выпол­

нено,

если положим X = v -f-

© (в этом случае v 0 = 0,

Х0 =

со). Согласно следствию

22.8,

существует

вложе­

ние

собЕЙо-

В частности, I * содержит элемент

fx степени

1

(см.

предложение 21.9). Из равенства

= F^I4

(лем­

ма 21.1) следует, что Д е F*. Соответственно,

/,/, CZ

CZ F „

т. е. алебра F v содержит квадратичную образую­

щую

V o-