Файл: Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли.pdf

А н о м а л и я

BJAm. Образующие алгебры / 0име­

ют вид

i

s/t (з) =

S

,

з4 = (з,

е,),

i , k

=

1 ,2 ,..., I,

i—1

где

ег — ортонормированный базис

в

такой,

что

S

^i+i»

i

=

1 ,

2, . . . ,

I

1 , ^г}*

содержит

Согласно

лемме

21.4,

алгебра

F v

sk (а + v),

к =

1, 2,

. . .,

I.

Нетрудно видеть,

что

сужения

этих

полиномов

на

|j00)

=

f)0 f]

9ош поро­

ждают V0a). Предполагая,

что

образующие

V0w>,

со'

Ф (о,

степени

п содержатся

в F v,

находим отсюда,

мы

Соответственно видоизменяется доказательство лем­

22.9. В результате F 4 =

I v.

аналогично.

А н о м а л и я

Сг/Ст рассматривается

А н о м а л и и

FJA2,

FJB3. Образующие У0ш со­

держатся среди (2). Детали вычисления

опускаются.

ры

С л у ч а й

о>а = — 3

возможен

только для алгеб­

G2:

а

п

СО

Алгебра I v

при

vM= 0,

va

0

имеет

образующие

В качестве

этой

образующей можно взять z {о

+ v),

2 Ё /„•

Теорема доказана.

§

23.

Тензорные модули

Перейдем к изучению произвольных переходов типа

(X,

р,), X, р. ее Л .

23.1. Пусть

_

множество

О п р е д е л е н и е

всех элементов /

е

/ х^, удовлетворяющих уравнениям

ci (v,

з) / (V, б) =

/ (v — а сц, б + р*сц) ct(v, о),

Ci (V,

б) / (v,

б) -

/ (v + qtаи а -

а сц) с4(v, а),

* —

1 >2,

••., I,

где

с4(v, а),с4(v,

а) —

операторы

дискретнойсимметрии,

введенные в §

16. (Здесь,

соот­

ветственно,

A S

— N*, Qi £Е — N*.)

Согласно предложению 16.11, Fx^ CZ

О п р е д е л е н и е

23.2. Пусть

— множество

всех элементов /

ее

удовлетворяющих уравнениям

Сг (V,

б ) /( у ,

а)

= 0,

(2)

Cj (V, а) / (v,

i = 1, 2,.. ., Z,

а) = О,

где одновременно р г, qt е

— N*, т. е. ст, = —

|v* |—

— 2/, / G= N* (см. сноску на стр. 95).

Очевидно,

щ /

х^.

Г пусть

О п р е д е л е н и е

23.3. Для каждого v е

но независимое уравнение.

З а м е ч а н и е 2. Множество

состоит из по­

О п р е д е л е н и е

23.4.

Пусть v+ <; X,

v+

р.

Положим

= pW pfv- =

Пространство

называется

тензорным

модулем

типа (X, р) над алгеброй

F„ =

/„* ).

Т е о р е м а

15.

Т Г =

K f .

Fl'J+c i

K Aj+

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Включение

вытекает

из

равенства

сг (v,

ст) Е*+ (v)

= (0),

i =

= 1 , 2 , . . . ,

Z, поскольку с< (v,

ст) — сплетающий опе­

ратор. Отсюда также следует включение

Докажем обратное включение. Пусть

Ф (v,

сг) —

квадратная матрица из столбцов фг ЕЕ F),

i — 1 ,

2, . . .

. .., г*,,

Т

(v, ст) —

квадратная матриц

из

строк фг ее

ЕЕ Fv, г =-

1,

2,

. . ., Гц.

Предположим,

что

детер­

минанты

этих

матриц

не1 равны

тождественно

ну­

лю, тогда] произвольный

элемент

/ ЕЕ

может быть

*) Мы рассматриваем Fx

как двусторонний модуль над F •

представлен

в

виде

/(v ,

сг) =

Ф (v, 0) r(v ,6)'T

(v,

cr),

(3)

где г (v,

и) — рациональная матричная функция r%X Гц

со

знаменателем

d (v,

cr) =

[d*, (v, 0)Fx [dil(v,

0)]rt\

где

положено

dx (v,

cr) =

det Ф (v,

0),

d^.(v,

cr) =

= det Y (v, а).

Из предложения 16.12 имеем:

dx (v, d) — лл (v,

d) rp (v, a),

где

для

краткости

положено

n x (v, 0) =

я* (А+,

—сг),

ф (v, 0) — числовой

полином от а

такой, что ф (v, cr) =

= ф (wv,

wo), w <= W . Применяя инволюцию F?

F „,

находим также,

что

^ (v ,

a) =

a) ф (v, a),

где

я,Л(v, о) — Я(х (v, —a) =

я;х (v, —a), a|r"(v, 0) — чи­

словой полином от о такой,

что ф (v,

0) = ф (wv, wo),

w f= W . Записывая

уравнения"-(3)' §

20

в

матричной

форме

(относительно согласованных

базисов Ех (wv),

Е\х (wv),

w (Ег 'W) и подставляя (3) в этиуравнения, нахо­

дим

г (v,

— г (wv,

wo),

w ЕЕ W .

(4)

о)

Положим

г (v,

о) = р (v, o)!d (v,

о),

где

р (v,

о) —

ношений симметрии

для

функций

ф (v, 0), ф (v,

0),

уравнения (4)

переписываются в виде!

,р (v, о)/п (v,

о) = р (wv, wo)/tc (wv, wo),'

(5)

где положено для краткости я (v, 0)

=

[я^, (v, 0)ГХх

X [% (v, 0)ft\

Л е м м а

23.5.

Если

/ ЕЕ К ^ ,

то

функция

(5)

является полиномом от о.

Д о к а з а т е л ь с т в о

л е м м ы . Пусть Е\ ( v )

—

градуировка

El (v)

относительно простой! подалгеб­

ры д;, порожденной’

корнем а г, а г ее S. Выберем базис

п

/(V, с) =

21

«)«*•

к=1

Применяя "оператор

сг (v, а),

положим

сг (v, а)

ек =

= е'л. Согласно лемме 15.2,

е'к =

О

при

е (к)

<;|

at

и векторы е,[- линейно независимы

при

е (к)

|о г

|.

Напомним, что о г =

— |v*| — 2/,

/ GE N*.

Уравнения

(2) принимают вид

/* (v- б) =

0

при

Oi = — |Vi |— 2],

|Vj |>

2/ <

e(A).

Следовательно,

fk (v,

а)

делится

нао г +

ra.

и =

= |vj

|+

2;

^

e (&),

т.

e.

делится

на

произведение

т* (v,

а)

этих

биномов.

Положим

тЛ(v,

a)

=

1

при

е (к)

<

|о г |,

и

пусть

т (v, a)

— диагональная

матри­

ца в базисе ек с

собственными числами тк (v, о),

к =

= 1,

2, . . .,

г*,. В результате имеем

/(v,

a) =

t(v,

a)f(v, а),

где

/

(v,

а ) —‘ полином от

а.

Соответственно,

фунда­

ментальная матрица Ф (v, о) в (3) представляется в виде

Ф (v,

a) =

х (v, а) Ф (v, a),

где

Ф (v, сг) — квадратная

матрица

из

столбцов

U (у, о),

г =

1,

2,

. . ., Г),.

Вычисляя

детерминант

т (v,

а),

находим,

что

он

имеет вид

Лк («г, V,

6) =

П (6j +

n f la* ,

т (сц) = -у- 2

(е),

£

t

4

где nit (е)

— кратность,

с

которой

представление

яЕ

алгебры

дг

содержится

в

U (g*)

(v).

При

этом

xij, (a*,

v,

а)

является делителем

(v, о),

содержащим

все линейные множители л;*, (v, а) вида aj -f- «.

Поло­

жим

-

d (v, б) = d (v, б)/ [ях(a,, v, s)]rx.

ках

<хг =

—

|Vj |— 2/, / е

N*. Поскольку эта функ­

ция симметрична относительно W , мы находим также,

что

она

не

имеет полюсов

в точках аа = — |va |—

ку я (v, а)

содержит множители я (a,

v, о)

для всех

(не только

положительных) а ее А.

Дальнейшее доказательство теоремы следует схеме

доказательства

леммы

21.1.

Положим

z (v, a)

=

= р (v, а)/я (v,

а), тогда

r (v,

a) =

z(v,

a)/to(v,

a),

где обозначено

ция

со (v, a) €= I v.

Равенство (3)

перепишем

в виде

(о (v, о) f (v, a)

— Ф (v,

a) z (v,

a) Y (v, a).

(6)

Пусть fiv — идеал

в / v,

порожденный элементами

to (v,

a), которые соответствуют всевозможным

фунда­