Файл: Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли.pdf

Спр = Спр (я) = max |znx (g) |,

z „ e 2 Ы ,

g

— непрерывная

полунорма в Х г.

Остается заменить

х ЕЕ X на 8n,x&nt ЕЕ X .

Предложение доказано.

Введем обозначение Л = Л0 (S).

что

З а м е ч а н и е

1. Из дальнейшего будет ясно,

0(©)<8>Z

(алгебраический

и

топологический

изоморфизм).

реа­

2°. А л г е б р a

SB. Опишем функциональную

лизацию алгебры Л. Отметим вначале

П р е д л о ж е н и е

30.3. Элементы а Е ® (Щ яв­

q (а) = 18п‘а8п*|н,

пъ n , e N ,

(4)

где |а |н = {sp (а*а)}'’2— норма

Гильберта — Шмид­

та оператора а. След sp а является

линейным

непре­

рывным функционалом в © (©).

ег, i = 1, 2,..., —

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

ортонормированный базис в

JD, составленный из мат­

ричных элементов группы К ,

6г — собственное

значе­

ние оператора б на векторе е*. Нормы

г (а) = sup |a{j |бГ'б"1,

щ, п2е N,

(5)

и

с »

(к х А).

Интегральный

оператор

Д о к а з а т е л ь с т в о .

6п,абПг е

© (©) имеет

ядро

б?*б£’а (ки к2),

где

6Ь

62 — действие б по переменным kt, к2. Нормы (4)

при­

нимают вид

q (а)2=

J |б?‘б2*а (къ к2) |2dkxdк2.

Заметим, что 6i +

б2 — 2 — оператор Лапласа — Бель-

трами на К X К . Согласно

предложению

7.7,

нормы

<7(а) определяют топологию в С°° (К

X К).

Предложе­

ние доказано.

©0 (©) при

указанном отоб­

Пусть

©о (А) — образ

ражении. Заметим, что С°° ( К X К) — замкнутая пря­

мая сумма подпространств ©^„,

(i, v e T , где ©jxv выде­

ляется условием

/ (&i> &г) —

{k-jn, к2) = т -7 (къ к2т~г),

т ^ М .

Легко проверить, что ©0 (А)

— диагональ в этой сум­

ме,

т. е.

сумма

©vv,

v €Е Г.

Следовательно,

©0 (А)

замкнуто в

С00(К X К).

Мы наделяем ©0 (К )

тополо­

гией С°° (К X

К).

30.5.

Пусть

93 — множество

О п р е д е л е н и е

всех функций Ь(а) со значениями в ©0 (А), класса Z

по а, удовлетворяющих оценкам (2),

где

р0 — произ­

вольная

базисная

норма ©0 (А).

ум­

Множество

93 является алгеброй относительно

ножения

(6iб2) (fei, к2, о) = ^ bi (А'|, к2, о) Ъ2 (kg, к2, о) dk$,

где

b (kt, к2, а) — значение

функции

b (о)

в

точке

(*i,

*«)■

93 — объединение подпространств 93,., удов­

Алгебра

летворяющих

(2)

при

фиксированном г £Е Ь+-

Нормы

(3)

определяют топологию

в 93Т. Алгебра 93 наделяется

топологией

индуктивного

предела подпространств

93г.

мом алгебры Л на алгебру 33,

причем

Лг

33г.

Доказательство

очевидно.

З а м е ч а н и е

2.

53 ~

(£0 (К)

®

Z.

(Действи­

тельно,

(£0 (К ) — ядерное

пространство.)

позволяет

3е.

А л г е б р а

Предложение

30.6

гебры Л.

33 в виде

Запишем каждую функцию b

(6)

и пусть с (ки к2, а) — значение

функции с (а) в точке

в б 4 .

30.7.

Пусть

% — множество

О п р е д е л е н и е

всех

функций

с (kt, к2, а) из

(Р ),

Р = К X К X

X А ,

принадлежащих

(£„ (К)

при каждом а ЕЕ А .

Множество % является алгеброй относительно ум­

ножения

(С1 С2) (k i, к%, а ) —- ^ Cj (к\, к$, аЪ

) с%(к$, к%, b) clk^db .

Алгебра % является замкнутым подпространством

в С~(Р). Мы

наделяем <§ топологией

(Р).

f~] Gr.

Положим

Р г = К

х К х А

г,

где

A r = A

Положим Сг = {с ЕЕ С: supp с CZ Р г}.

с (а)

П р е д л о ж е н и е

30.8. Отображение Ь(а) >

З а м е ч а н и е

3.

$ =

(£„ (К) (g)

(А).

4е. А л г е б р а

Л

к а к

G-м о д у л ь. Положим

еа (g) == ф eva (g),

g e G .

Определим

операции

ga и

V

ag при а Е= Л следующим образом:

(ga) (а) = еа(g) a (a),

(ag) (а) =

а (а) еа (g).

(7)

умножений (7).

Ввиду симметричности А

Д о к а з а т е л ь с т в о .

относительно

инволюции

а*(о) = а (— а)*,

доста­

точно рассмотреть

умножение

ga.

Операция

ga

в

терминах

функций

b (к1у k2, а)

имеет

вид

(gb) (kx, k2, а) = a ^ b

(kQ, k2, а),

где к0 =

к (g^ki), а0 = a (g-1^ ) определяются из раз­

ложения

Ивасавы

g~lkx =

к0а0п0. Соответствующая

операция в алгебре

имеет вид

(gc) (ки к2, а) =

с (А0>к2, а0а).

Заметим,

что

|а0 |г = а1г < |g - 1 |г,

г = 1, 2, . ..,

/

вектор г (g) ЕЕ ()+ с

координатами In |g -1 |г в ба­

зисе, дуальном к ег,

находим отсюда

(иа) (а) = и (а) а (а),

(аи) (а) — а (о) и (о),

где и (а) = ® и (v,

о),

и е

U.

V

4.

Отображение

Ф: X —;►Л

яв­

З а м е ч а н и е

ляется гомоморфизмом G-модулей X, А-

[9]

5°. Ф о р м у л а

о б р а щ е н и я .

В работах

[40], [99] установлена

формула обращения для интег­

рала Фурье на G, справедливая, властности, для функ­

ций класса X . Эта формула имеет вид *)

*(?) = $ SP ix (v, б) еча (g)*j dp (v, a),

(8)

*) Краткое доказательство

этой формулы найдено в рабо­

те [46J.