Файл: Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли.pdf

П р е д л о ж е н и е

28.3.

Сферическое

преобразо­

вание

Фурье

является

изоморфизмом Х° =

Х° f"|

Х г

на Уо? — Уо П Z r.

Из следствия

26.12

вы­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

текает,

что

Х° —> Уor-

Из

классической

теоремы

Ф„: X ^

У ^ -> Уч,

индуцированное

преобразованием

Фурье X v+ —»

где Уv+ — *

Уч — сужение на индекс V. Положим

КегФ*.

Л е м м а 28.4. Отображение Ф г является тополо­

гическим

изоморфизмом

на Уv.

и за­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Фиксируем х 0 Е Х°

метим, что функция

* (g) = Zo(g)(5.Pi).

(10)

является

элементом

X v+.

(Здесь

Ел — пространство

голоморфного представления ях.)

2,. . .

Фиксируем ортонормированный б а з и с i — 1,

.. . , nv+ в Еv+

и положим

еИ(v, б, g) =

(evo (g) (ej 0 e0), (e{ 0 e0)),

(11)

где e0 — нормированный

вектор Ev+ (v). Для

каждой

пары индексов i, / функция

хи (у,о) = §x(g)eij(v,a,g)dg

(12)

является элементом f v.

Заметим, что ® VX V+ =

по определению $ГУ.

Ввиду соотношений симметрии ( f ttV =

v)> доста­

точно рассматривать

индекс v =

w0v+.

Положим

в

(10) | =

т) = еи где

— базисный

вектор лЛ, X =

v+.

Полагая

в (12) г =

/ = 1, получаем функцию

f(o) = ^x0(g)JTien(v,a,g)dg,

(13)

где f>ij =

(gej, et) — матричный элемент представления

лЛ Заметим, что при к

К

/ (а) = ^х0(а) 5 (а) у (а)а da,

(15)

= S 2

5uuaiivnuipepq(v, G>a) yi? du dv = 2 е д (V, <3, a).

i,3P,q

it)

ричных

элементов

в L2 (# ).) Полагая

в (11) g =

а,

заметим,

что

(ег ®

е0)

(fe) = (е*, fee0) =

(к~х)ы , где

ин­

декс

г0

соответствует

младшему

вектору е0 =

ег„ еЕ

G; i?v+ (v). Отсюда имеем

S (а) =

Р(ко)цс (к \ ^ к =

=

^<Zo°"P (fe_1afe0)i0i0dfe =

^aoЯ_Р (« Д о Ч . e0) dfe,

где

a0 EH A,

k0 £= К определяются разложением

Ива-

савы: a-1A =

fe0a0n0.

Заметим теперь, что (иоЧЧ *

е0) =

Д о к а з а т е л ь с т в о . (1) Положим

= ; f Xv

f) = Flf, = lift = /v Jv = Jv •

(2)

Следовательно, также

^ x = #-x = $-Xv+

(поскольку

J x). (Равенство (2) — аналог теоремы 14.)

(2) . Положим fv =

Применяя инволюцию к

(2), находим <^х =

Из леммы 27.6

находим

ar^ = i*fj* = T№-

(3)

Теорема доказана.

29.1.

для всех 1,

ц е

А,

С л е д с т в и е

С л е д с т в и е

29.2. Положим Ж х^ =

Ж 1*1(е), е =

= min (К, ц). Тогда

ж** =

2 j xbf ^ .

6<е

С л е д с т в и е

29.3. Положим Ж х =

Ж**.

Тогда

Ж х =

2 / X5f 8Х-

8<К

II.

Т е о р е м а

п о л н о т ы .

Пусть

Л х** — мно­

жество всех операторных функций класса Z со значе­

ниями в Н от

<3?v)j

удовлетворяющих условиям

симметрии § 16:

Лх!" =

Jtx* ®

где Мщ =

Н о т (Е?, £’х). Пусть Л *

— прямая сумма

всех ЛХ|А,

[I е

Л. Определим преобразование Фурье

Ф: X * —> А * как прямую сумму преобразований

Ф:

Т е о р е м а

24.

П реобразование Ф урье является

алгебраическим

изоморфизмом Х * н а А * , В частности,

Ф Х ^ =

для всех X, р ё ЕЛ.

са Zr,

г ее ()+, Л г1*

=

П A f.

Введем

топологию

в А ?

при помощи системы полунорм

Рп (/)

=

sup II а Г I / (v, о) I е-Re <г,•>,

« = 0

,1 ,2 ,...

О

Введем

топологию

в

П Х1А как

индуктивный предел

топологий

г 6Е (>+.

Заметим,

что

И?* — простран­

Т е о р е м а

25. Преобразование Фурье

является

топологическим

изоморфизмом X * на А *, X * на A f -

Д о к а з а т е л ь с т в о . Непрерывность

преобра­

зательстве

теоремы

23 можно заменить

tyW на

(функции

класса

ZT), X х^ на X ? 1 = X х1*

П Х г. Соот­

ветственно, Ф Х *

=

A f . Теорема доказана.

Равенство Ф Х ?

— A f устанавливает

связь меж­

/ =

Фх Ё А #.

III.

П о д п р о с т р а н с т в о УХ(А. Рассмотрим

Х х,х

подпространство

У*Iх = 2 и к&Х &Р,

е = min (К, р).

8<е

Напомним,

что Ф ХХ^ =

(g) #-х^ (теорема 24).