Файл: Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли.pdf

§ 31. Групповые алгебры

X и Ж

В этом параграфе будут доказаны теоремы двойствен­

ности для групповых алгебр X =

(G),

Ж=

3) (G).

Заметим, что X является двусторонним идеалом, всю­

ду плотным в Ж.

д в о й с т в е н н о с т и

д л я

I. Т е о р е м а

X. Пусть А — алгебра всех элементов

а Ег A q (2),

сительно W и W).

Положим А г =

А П Л , г £= &+•

Фурье

Т е о р е м а 28.

Преобразование

X >-+ х (о) — ® х (v,

сг)

V

х (g) содержится в

(G)

(предложение

30.11).

Следо­

вательно, х (g) является суммой

ряда,

составленного

из

элементов

хх!х (g) = {ey'xeV-) (g),

Я,, р е Л.

Функция xX(1 (g) является

прообразом Фурье элемента

хХ!А=

еххе^ G

где

положено

= егА ге^ d

С

А г.

Согласно теореме 25, х ^

(g)

содержится

в Х г

для всех 1, (I Е А. Следовательно,

х (g) содержится

в

Х г.

Обратно,

Ф : Х Г- ^ Л Г

(предложение

30.2).

Непрерывность Ф,

Ф- 1 доказана в предложениях 30.2,

30.11.

Теорема доказана.

Эта теорема является аналогом классической теоре­

мы Пэли — Винера для алгебры

С“

(R).

З а м е ч а н и е

1. При доказательстве мы не поль­

II. П р е о б р а з о в а н и е

Ф у р ь е

о б о б ­

щ е н н ы х

ф у н к ц и й .

Пусть А ’ — линейное про­

странство,

сопряженное к

А =

(2)w,

О п р е д е л е н и е

31.1

Преобразованием

Фурье

обобщенной

функции

у ЕЕ X '

называется

функционал

/ G

i ' ,

определяемый

по

правилу

(а,Ьу — (х,уУ,

а ^ А ,

х = Ф- 1а,

где скобка в левой (правой) части означает канони­

ческую

билинейную

форму на

паре

А,

А '

(на

паре

X,

X').

Согласно теореме 28, это определение корректно.

Определим вложение X

-> X ', сопоставляя каждой

функции

у €= X

функционал

<х,у) = \x(g)y(g)dg.

(1)

Определим

вложение

А

А ' ,

сопоставляя

каждой

функции

Ь ЕЕ А

функционал

<а, Ь} =

^ sp (а (v, а) Ъ(v, а)) d\i (v, б),

(2)

где

b (v, а)

=

b (— v, — а)',

Ь <->- Ъ' — транспониро­

вание в © (©)

относительно формы

<ф, ф >, ф, ip е

0 .

П р е д л о ж е н и е

31.2.

Преобразование

Фурье

X ' —> А '

является продолжением преобразования Фурье

Х - > А .

Заметим,

что

(ху)

(е) =

Д о к а з а т е л ь с т в о .

= <х, у >

для элементов

х,

у ЕЕ X , где

i

(g)

=

х

(g_1).

Заменяя в формуле обращения х на ху, получаем тож­

дество

[ x ( g ) y (g) dg = $ sp {x (v, a) у (v, a)) d\i (v, a),

(3)

т. e. (1) совпадает c (2) при a = Фх, b = Фу.

Иначе

говоря, образ Фурье b — Фу элемента у Е X совпадает

с образом Фурье элемента у е

X ' .

Предложение до­

казано.

мы

также

будем

Преобразование Фурье

X ' —> А'

обозначать символом Ф.

2) (G).

В

частности, пусть

III.

А л г е б р а

X =

X =

2 ( G ) — подпространство

всех

обобщенных функ­

ций из А ' с компактными носителями вС. Как извест­

но,

X является

алгеброй

относительно

свертки

обоб­

щенных функций (§ 6),

X является идеалом в X.

х = lim Ьпх — lim 8пх8п,

/^ч

Ц П

' '

(ху)(е) = (х, у), i £ X , s e i '

(5)

y(v,a)=- em(y),

у<= Ж.

(6)

П р е д л о ж е н и е

31.3.

Для

элементов у ЕЕ Ж

преобразование Фурье

определяется

по

формуле

<х,У> =$ sp(x(v, a) y(v, o))d\i(v, а),

г е Х .

(7)

Действительно, это равенство, согласно (5), совпа­

дает с

формулой

обращения

для

элемента ху ЕЕ X.

Операторную функцию (6)

мы будем называть пре­

образованием Фурье элемента у ЕЕ Ж.

Положим также

у (с)

= 0 у (v,

а).

IV.

А л г е б р а

® =

V

Для

описания

ал­

Ш0 (2).

гебры,

двойственной

к Ж, опишем вначале более ши­

вкладывается

в

Л'.

Пусть

g (©) — множе­

О п р е д е л е н и е 31.4.

ство всех эндоморфизмов

пространства ©, для которых

ограничена хотя

бы одна из норм

я (а) = 18~пщ8~пг|,

Ri,n2E N .

(8)

Пусть g0(©) — подпространство

всех

элементов

а ЕЕ g (©),

диагональных

в сумме

©

= 0

© v (т. е.

a©v СЕ ©v.

v е

Г).

V

для

всех

а ЕЕ © (©),

Заметим,

что

aba ЕЕ & (©)

П р е д л о ж е н и е 31.5.

© (©)— двусторонний

идеал в

Ъ{Щ-

Полагая х — ab, а ЕЕ

Д о к а з а т е л ь с т в о .

ЕЕ © (Э),

(S), заметим,

что хх* — abb*а* ЕЕ

ЕЕ © (S),

откуда

эрет*

оо,

и то же верно для б'Чсб” *.

Аналогично рассматривает

ся у = 6а.

Предложение

доказано.

Соответственно, билинейная форма

<а, Ь) = sp ab’,

а ЕЕ ©(S),

f c e S ( S )

определяет

двойственность между

© (£)) и

$

(©).

О п р е д е л е н и е

31.6. Пусть 3 =

3

((>с) —

| / ( a ) K C ( l +

|eD»e*e<r..>f

n e N ,

Г Е ^ ,

(9)

при фиксированных С,

п, г (зависящих от /).

Пусть

3г, — подпространство

всех

элементов

/ ЕЕ 3,

удов­

летворяющих (9)

при

г --

7*0

е, с

произвольным

рье устанавливает

двойственность

между

3) ((щ),

3 (см. [15]).

говорить,

что

операторная

функция

Условимся

а (а) со

значениями в Н от (Е,

F) является функцией

класса

3 (класса

Зг), если <а (а)|,

т)> содержится в

3 (в Зг) для всех

^ е £ ,

Т1 е

F'.

О п р е д е л е н и е

31.7. Пусть <Щ— алгебра всех

операторных функций а (а) со

значениями в g0(©),

класса

3 по а,

для которых ограничена хотя бы одна