Файл: Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли.pdf

Т е о р е м а 26.

П реобразование Ф урье индуцирует

изоморфизм F X|J’

на подпрост ранст во

где Ж х1* = Ж Н Д т т ^ , р))

в формуле (10).

Доказательство непосредственно вытекает из след­

ствия 29.2.

С л е д с т в и е

29.4.

X W M * ~

Л ч>. <g> № .

при

Действительно,

Ж х^ =

{/

ее

/

(v,

е) = 0

v+ =

6, е =

min (X, р)},

откуда находим

^ Р /Ж ^

=

gW

И\\=

Уу. при X >

р,

3 t =

f t

при X<

р.

В

частности,

F x =

Ухх — двусторонний идеал

в

X х. Частным случаем теоремы 26

является

С л е д с т в и е

29.5. Преобразование Фурье инду-

цирхует изоморфизм

F x на идеал

33х = Ж х ® Ж \

гдеЯ х =

Н от (Е \ Ех), Ж х =

Ж хх =

{ / S .7х: /(v, а) =

0

wjw v+ =

X}.

29.6. Х х/У х ~ Л х ® Jx.

С л е д с т в и е

Послед­

IV.

П о д а л г е б р ы

Н а й м а р к а .

ние результаты удобно сформулировать в терминах

подалгебр Наймарка

Х„х = x£u = e l X e t

(см. § 26). Пусть щ — элемент U (f°)

такой,

что щЕ* =

= ех„Ех.

Положим

С/0Х,А =

u0UXli

и

рассмотрим

в

X х

двусторонний

идеал

F x = S с/о8х„8Х/

Заметим,

что

8<Х

ФХх - С

где положено f

x =

$-хх.

Т е о р е м а

27.

Преобразование Фурье индуцирует

изоморфизм

Yо

на

Ж х>

{ / 'е f x- / (v, б) = 0

ири

v+ = Х } .

С л е д с т в и е

29.7.

Факторалгебра

X\lY\

изо­

морфна

узловой

алгебре

^ = Z(bc)wK

С л е д с т в и е

29.8.

Факторалгебра

X\lYо

ком­

мутативна.

V.

В заключение этой главы приведем описание мно­

жества

всех

характеров

алгебры С/\ (ненулевых гомо­

морфизмов

—> С).

29.9.

П р е д л о ж е н и е

Всякий

характер

ал­

гебры

определяется

значением

функции в

точке:

м- (/) — / (6o)i

<з0е ()с-

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Фиксируем функцию /0 ЕЕ

е

h -к,

ДЛЯ

которой

р (/о)

=

1, и

для

каждого

р е

е

/х =

Р (Hc)Wx положим

р (р)

=

р (p/о).

Тогда

имеем

^ (ру)

=

р (pgfo) = р (pqfl) =

И- (Р) F (?)>

т. е. р >-> р (р)

— характер

алгебры

/х .

Поскольку

/х — свободная алгебра полиномов,

мы имеем

М- (pf) — Н-

(р / / о) = р (р)

Н- (/) =

Р (ог0) р (/)•

Пусть

zi,z2,

..., гг — образующие

алгебры

/ х.

Положим x t — Zi — Zi (ао), i =

1, 2, ...,

Z. Каждая фун­

кция / S . j x

является целой

функцией от х ь i =

1,

где /о (а)

не зависит от x t (в

переменных хг,

i =

1,

2 . . . .. /) .

Заметим,

что /0 ее (У^. (Действительно,

если

|/0 (а) |е-Ее<г>а> неограниченно

растет на

последо­

вательности точек

оп ЕЕ (>С) то

это же верно для то­

чек "ой,

получаемых из оп проектированием

на плос­

кость

xi

= 0 в пространстве

переменных х и

i =

1,

2.. . .,

I,

что невозможно при /

£Е Zr.) Отсюда имеем

/о €= (Ух

^1/ г

ных ж2,

х а,. . .

, xh находим, что всякая функция / £Е

е

С/х, /

(о0) =

0,

имеет

вид

i

/ ( 3) = 2 *<Л(в). A e J x ,

i = 1» 2 , . . . , Z.

i= l

Отсюда р, (/) =

0, т. е. р =

0 на гиперплоскости /

(0О) =

=

0.

Так как

р — линейный функционал, отсюда сле­

дует, что р (/) =

с/ (<з0), с

— const. Поскольку р (1)

= 1,

мы находим, что с =

1.

Предложение доказано.

С л е д с т в и е

29.10.

Всякий характер

алгебры

Cfx непрерывен.

Результаты, полученные в этой главе, можно непо­

средственно применить к

решению задачи о классифи­

кации

неприводимых

представлений группы

G.

Мы

отложим рассмотрение этого вопроса до гл. 9.

Изложение в этой главе следует работе [61].

Для G

= SL

(2, С) результаты этой главы были получены

в [48],

[49]

(подробное изложение см.

в [54]).

Г л а в а

8. ГЛОБАЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ

Теорема двойственности, доказанная в § 29 для алгебры Х # ,

всюду

плотной в

X ,

обобщается на

X стандартным процессом

шем вначале

более широкую] операторную алгебру,

к элементам

которой применима формула обра­

щения.

метрики L2 (К).

в (©)

для

алгебры всех

эндо­

Введем

обозначение

морфизмов

пространства

© с ограниченными нормами

р (а) = 16п,аб,1*||1

щ, Bs e N ,

(1)

где

I а I — норма оператора

а

в пространстве ©,

б =

=

1 + р, р — оператор Лапласа — Бельтрами (§ 7) *).

Пусть

S0(®) — подалгебра

всех элементов

а £=

€Е S (©),

диагональных

в

сумме

© = 0 ©„ (а©„ =

операторных функций

а

(о),

о €Е Ьс, со значениями в

S 0(SO), класса Z

по

о,

удовлетворяющих

оценкам

la Inp (a (a ))< C npeRe<r,0>,

и е

N,

(2)

где ^о — система

норм

(1)

в S0 (©). Пусть

Лт—

щих (2) при

фиксированном г €Е (>+.

Мы

будем

рассматривать S (©) как топологическую

алгебру

относительно норм (1). Введем топологию в

.Лтпосредством системы норм

подпространств Лг.

положим

х (a)

=

© х (v, а),

Для

каждого

i £ X

где х (v, а) =

V

eva (х) — образ Фурье элемента х.

П р е д л о ж е н и е

30.2.

Отображение х н-»- х (о)

является

топологическим

гомоморфизмом

алгебры X

в алгебру Л,

причем Х г —> Лг.

х (о)

может

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Оператор

быть

записан

в

виде

] х (g) g (о)

dg,

где

положено

g (a) ф(k) = aoa-p ф (к0),

a0=

a (g_1fc),

к0 =

к (g_1&).

*) Заметим, что операторы

a e S (©)

непрерывны

в топо­

логии

С °°

( К ) (см. предложение 7.7).