Файл: Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли.pdf

(Достаточно'

рассматривать c e N и заменить я (а) на

I о-р, к О,

1, 2, . . .) Положим

Я = Яо(2) = ® о (© )0 Я ($ с).

но IT и W).

Фурье

устанавли­

Т е о р е м а 32. Преобразование

вает топологический изоморфизм

между

алгебрами

при достаточно большом

n E N ,

и

то же

верно

для

6п'х8п> Е

37, пх,

п2, Е N,

т. е.

х (а) принимает зна­

чения в

(£0 (©).

Кроме

того,

при

ф Е

ф Е

ЗУ

функция

=

Е \

К, \i <= Л,

где ,27х'1 =

е ^ е 1",

=

еХЛ

\

Л,, р G

Л.

(3) Повторяя рассуждения, проведенные при дока­

зательстве

теоремы

28,

находим,

что

ФЗЗ = Ew

(топологический изоморфизм).

Теорема доказана *).

3.

А л г е б р а

& =

33 (G,

К).

Пусть

5? — алгеб­

ра всех обобщенных функций с носителями в подгруп­

пе

К.

стороны,

пусть П — алгебра

всех поли­

С другой

номиальных

функций

из

Т е о р е м а 33. Преобразование

Фурье

определяет

взаимно

однозначное

соответствие

между

алгебрами

Я,

П.

(схема).

Из

разложения

Д о к а з а т е л ь с т в о

G — КЛ+К и равенства

|kxak2 fl

= 1 а |

находим, что

& = Х0( —

%г при г =

0).

Согласно

теореме

8,

ФЯ =

ФХо =

Э1„.

Г:

% -*&<^33{Р), Р =

К х К х А .

При этом у:

3tr

(£г =

{/ £= (£:

supp / d

£>>}• В част­

ности, &0 =

U (р),

где

р — алгебра Ли

группы Р, от­

где

— весовая

категория

алгебры U (§ 3). Отсю­

да,

ввиду теоремы

полноты §

24,

находим

С л е д с т в и е

32.2. ф й ^

=

ф £/Х!\

Полученный

результат

можно

сформулировать

следующим

образом.

Пусть

,

U#, П* — прямые

суммы

подяространств

&xw, £/х,1е,х,

Пх5\

С л е д с т в и е

32.3.

Ф й # =

Ф и*

=

П*.

в

В

этих

терминах

(Ф и # =

П#)

формулируется

[60] теорема полноты операционного исчисления.

4. П р о с т р а н с т в о

X'.

Теорема

двойственно­

сти для алгебры X позволяет также описать простран­

ство

X',

сопряженное

к

X.

элемент /

ЕЕ X'

П р е д л о ж е н и е

32.4.

Каждый,

может

быть

представлен

в виде

/

=

шр,

U £

U,

ф £ : С (G).

Доказательство

опускается

(см. [61]).

5.

Ц е н т р

а л г е б р ы

25 (G). Теорема двойствен­

ности для алгебры Ж =

3) {G)

позволяет также

опи­

сать центр 8 = 8 (G) алгебры

25 (G).

J

Заметим, что 8 — множество

всех элементов i

e

таких, что xg — gx для всех

g E G .

функций

Пусть

© — алгебра

всех

скалярных

a (v,

а)

=

s (v,

сг) 1 v, где s

(v,

or) — числовая

функция

класса

3

по

а

такая,

что

s (v,

а)

=

/

(р,

q)

=

/

(wp,

w'q),

w,

IV е

И',

при

р =

V2 (от +

v), q =

V2 (о

— v).

Из теоремы

29

вытекает

Фурье

явля­

С л е д с т в и е

32.5.

Преобразование

ется изоморфизмом 8 на ©.

Действительно,

из теоремы о неприводимости (§ 18)

вытекает скалярность а (%) =

a (v,

а)

при

%6Е 2 °,

но тогда,

по

непрерывности,

и

для

всех

х е

2 .

6. П р о с т р а н с т в о

ЖХ|А.

Рассмотрим

ЖХ[А как

модуль

над 8-

Т е о р е м а 34. Жх>х — модуль конечного типа над 8.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Достаточно

проверить,

что $tx^ — модуль

конечного типа над ©.

©, =■

(1)

Заметим,

что

©

содержит

подалгебру

= (/

(п +

v):

/

что

Г„}

~

Г 0.

По

аналогии

с

леммой

27.7,

находим,

T v — модуль

конечного

типа над

I. T v — модуль конечного типа

над @.

Повторяя дословно (с заменой Z

на 3) доказатель­

ство леммы 27.3, находим, что 3*

= /JTV.

Согласно

предложению 21.3, I * — модуль конечного

типа над

/„ (Z T v. Отсюда находим

откуда заключаем,

что Зх,х — модуль

конечного типа

над @.

Следовательно,

31Х(А = .//цл (g) 3ХР — модуль

конечного типа

над

@.

Теорема

доказана.

за­

З а м е ч а н и е

2.

В условиях

теоремы можно

менить

<3 на

(см.

доказательство).

Теорема 34 будет использована

в гл. 9.

* * *

Изложение в этой главе следует работе [61].

ра­

Финитные функции на G = SL (2, С)

рассматривались

ции

класса

C"(G) рассматривались в

работе Гельфанда [37]

(см.

также

[8]). Результат этой работы

является частным слу­