Файл: Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 125

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Определение битранзитивности естественно включа­

ется

в

серию

определений

/с-транзитивности, к

=

= 1,

2,

. . . *).

 

 

 

 

 

 

 

6°. П о л н а я т р а н з и т и в н о с т ь . Пусть Е —

G-модуль, F — локально выпуклое векторное простран­

ство.

Пространство Е (g)

F наделяется

структурой

G-

модуля по правилу g (£ 0

/) =

g% (g) f,

5 e £ ,

/ GE F.

Эта

структура

продолжается

на

пополнение

E ® F .

G-модуль Е называется F-транзитивным, если вся­

кий

замкнутый подмодуль в Е 0

F имеет вид Е @

F0,

где F0 — подпространство в F. G-модуль Е называется вполне транзитивным, если он /'’-транзитивен для всякого ядерного пространства F.

Это определение (под другим названием) вводится в [76J по аналогии с понятием «истинной неприводимо­ сти» [8].

7°. П р о с т ы е G-м о д у л и. Пусть Е — раздель­ но непрерывный .М (С)-модуль относительно представ­ ления л, .Me = Кег л — ядро гомоморфизма л.

Модуль Е называется простым, если идеал J fв максимален среди двусторонних замкнутых идеалов

алгебры

.М (G).

Ли, то

эквивалентное определе­

Если

G — группа

ние получается при

замене

М (G) на

25(G) (см.

за­

мечание

3).

 

G- модул и. Пусть G — локаль­

8°. ff- п р о с т ы е

 

но компактная группа,

К — ее компактная подгруппа,

Е — раздельно непрерывный

Jf- (С)-модуль.

 

О п р е д е л е н и е

33.13.

Модуль

Е называется

К-простым, если он

топологически

неприводим

и

/С-финитен (т. е. dim

<

оо

для всех К Л).

Мы рассматриваем

Е

как

G-модуль.

П р о д л о ж е н и е 33.14.

Всякий К-простой G-мо­

дуль Е содержит однозначно определенное вариацион­

но неприводимое

уплотнение

Vп.

V0 = Ж (G)e0,

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Положим

О Ф е„ €~ Е*, где

Е* — множество всех

/^-финитных

векторов Е.

 

 

 

(1)Ввиду топологической неприводимости, V0 всю­

ду плотно в Е. Ввиду непрерывности проекторов ех

*) При атом 1-транзитивность совпадает с топологической неприводимостью,

100

(§ 7),

Fo =

F0 П ^x всюду

плотно в

F\

откуда

Fo =

Vх (ввиду

конечномерности Fx) для всех к GE Л.

Следовательно,

Е* CZ ^о-

Fx =

Ж (G) ev

О Ф ех GE F0,

(2)

Заменяя

F0

на

получаем также, что Е* СИ Vv

откуда

е0 €Е Flf т. е.

F0 —. Vv Следовательно,

,М (С)-модуль

F0

алгебраи­

чески

неприводим.

 

 

 

 

 

 

(3) Наделяя F0 естественной топологией, получаем

вариационно

неприводимое уплотнение

в

Е.

Если

\\ — другое

такое уплотнение, то его

пересечение с

Е * непусто,

откуда,

как

и выше, заключаем, что F0 =

=Ft. Предложение доказано.

Подмодуль F0, наделенный естественной топологией,

назовем

экстремальным

уплотнением

модуля

Е.

З а м е ч а н и е 4.

Ниже будет показано

(§ 34),

что всякий ЛГ-простой

G-модуль является

простым.

 

§ 34. Критерий эквивалентности

 

 

Под

эквивалентностью G-модулей

мы

понимаем

обычную эквивалентность (топологический изоморфизм).

Отметим также

другие понятия эквивалентности.

G-

1. С л а б а я

э к в и в а л е н т н о с т ь . Два

модуля Е, F называются слабо эквивалентными (см.

[62]), если они

содержат эквивалентные уплотнения:

 

E Z )E 0~ F 0<^F.

(1)

Отношение слабой эквивалентности не обладает, вообще говоря, свойством транзитивности. Однако име­ ет место

П р е д л о ж е н и е 34.1. В классе К-простых G- модулей слабая эквивалентность транзитивна.

Действительно, в качестве Е0, F0 ионию рассмат­ ривать экстремальные уплотнения модулей Е, F (§ 33).

З а м е ч а н и е 1. Легко построить примеры G- модулей, которые слабо эквивалентны, но не эквива­ лентны (регулярные представления в С (R) и Z,2 (R)).

2. Э к в и в а л е н т н о с т ь п о Н а й м а р к у . Модули Е, F называются подобными, если существует

на

алгебраический изоморфизм а■ Е0 —*■ F0, где Е0, F„ — всюду плотные подмодули Е, F.

197

Модули Е, F называются эквивалентными по Наймарку [19], [66], если они подобны и их сопряжен­ ные модули Е\ F' подобны, причем

<«!, т|>= <£,

a'ri>, 1&Е0, i\^F0,

 

(2)

где а, а'

— операторы

подобия в Et F' с областями

определения

Е0 CZ Е,

F0 CZ F'. Операторы а,

а'

на­

зываются

сопряженными операторами подобия.

 

П р е д л о ж е н и е

34.2.

Для унитарных

пред­

ставлений

в

гильбертовых

пространствах

Е,

F

эквивалентность по Наймарку равносильна унитарной эквивалентности.

До к а з а т е л ь с т в о . Заметим вначале, что Е си Е’, F ~ F' (изоморфизм G-модулей). Из условия (2)

следует, что оператор а допускает замыкание, которое обозначим прежним символом а. Сопряженный опе­ ратор обозначается а*.

По известной теореме Неймана (см., например, [19],

стр. 129) оператор

е2 = а*а самосопряжен,

а =

не,

где и — изометрия

Е на F. При этом имеем:

 

(ug — gu) е = mg — gm —- ag — ga = 0,

g e

G,

поскольку оператор

e = (а*а)'/г перестановочен с дей­

ствием группы G. Оператор е = и~га имеет плотную область значений в Е. Поэтому ug — gu — 0 всюду на Е.

Следовательно, оператор и является оператором унитарной эквивалентности для модулей Е, F. Пред­

ложение

доказано.

 

F эквивалентны

З а м е ч а н и е 2. Если модули Е,

но Наймарку, то пары (Е, F), (Е',

F’) слабо эквивалент­

ны. (Доказательство опускается.)

п о

Феллу . Напом­

3.

Э к в и в а л е н т н о с т ь

ним, что

— ядро представления л, определенного

в Е (двусторонний идеал в М (G)).

 

Модули Ё,

F называются эквивалентными по Феллу

(см. [76],

[92]),

если M e — J&F-

 

 

(В статье [92] соответствующие представления груп­ пы G в модулях Е, F называются функционально экви­

валентными.)

Ясно, что эквивалентность по Наймарку влечет эквивалентность по Феллу. Ниже будет доказано, что в классе Аг-простых G-модулей верно и обратное ут­ верждение (см. также 192]).

198

З а м е ч а н и е 3.

Если G — группа Ли, то

экви

валентность но Феллу определяется равносильным

образом

в терминах 3) (G) (см. замечание 3

§ 33).

4.

К р и т е р и й

э к в и в а л е н т н о с т и .

Пусть

G — локально компактная группа, К — ее компактная подгрунпа.

Пусть А — одна из групповых алгебр ,М (G), С0 (G). Если G — груипа Ли, то также можно положить А =

= Со (G), 2) (G).

Положим Дх1* = еМе^, X, р е А, где А — мно­ жество всех классов эквивалентности неприводимых

представлений

группы К.

В частности,

.4Л=

Дхх —

подалгебра

в

А.

 

 

 

 

ля

Для

каждого непрерывного квазиполного G-моду­

Е

положим

VK= ех Е

и заметим,

что

CI

С

Кх. В частности, Кх является Дх-модулем.

 

 

Скажем,

что Е — G-модуль класса X, если Vх ф (0).

 

Скажем,

что

Е — тонкий G-модуль,

если

Е сов­

падает

со своим экстремальным уплотнением.

 

 

Следующая лемма является основным критерием

эквивалентности для тонких G-модулей.

 

 

 

Л е м м а

34.3. Отображение Е >-*- Vх устанавли­

вает взаимно однозначное соответствие между классами эквивалентности тонких модулей, класса X и классами

эквивалентности неприводимых

конечномерных А х-мо-

дулей.

 

(1)

Пусть Е — тонкий G-

Д о к а з а т е л ь с т в о .

модуль класса

е. Согласно предложению

33.2,

Е —

алгебраически

неприводимый

А '-модуль.

Если

0 Ф

ф е0 £Е Vе, то

Ае0 — Е. (Равенство Ае0 =

(0) влечет

е0 — 0.) В частности, Д'е0 =

V*,

т. е. е0 — цикличе­

ский вектор Vs. Следовательно,

Vs — неприводимый

А'-модуль.

(2)Пусть I — максимальный левый идеал в Д*, фактор по которому конечномерен, М — максимальный среди замкнутых левых идеалов Д, содержащих / и

содержащих Дх^ при р ф е. Положим М х^ = М f) Дх^

и заметим,

что

■-

/с Г с Д '.

Равенство Мгг — Д£ влечет AXt = ДХеД£ = Д ХеАГ" = M Xt для всех 1 е Л , откуда Дх^ = ДЛя всех X, ц е А , т. е. А = М (ввиду замкнутости М). Следовательно,

199

Смотрите также файлы