Файл: Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 127

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

удается вывести аналог леммы Шура, даже для абелевых групп, однако, этот результат имеет место для унитарных О-модулей.) Результаты гармонического анализа, полученные выше, позво­ ляют классифицировать все неприводимые if -финитные модули.

Основные результаты собраны в § 35. Теоремы 35 и 38 ос­ нованы на локальных теоремах для алгебры X = 0 “ (О) (гл. 7).

Теоремы 36, 37, 39, 40 основаны на локальных теоремах для ал­ гебры $ = 3) (G) (гл. 8). В конце § 35 исследуются также уни­ тарные и псевдоунитарные G-модули.

В § 36 приводится аналог классической теории старших весов Картана — Вейля для модулей Хариш-Чандры и тополо­ гических G-модулей.

§33. Вариации на тему неприводимости

Вгл. 2 мы уже встречались с тремя определениями неприводимости (алгебраическая, топологическая, пол­ ная). В конечномерном случае все эти определения эквивалентны и сводятся к обычному определению

неприводимости.

В бесконечномерном случае естественно рассмат­

ривать также и другие

определения неприводимости.

Приведем некоторые из

них.

 

1° . В а р и а ц и о н н а я н е п р и в о д и м о с т ь .

Пусть G — локально компактная

группа, Е — ква­

зиполный непрерывный G-модуль.

Подмодуль Е 0 CZ Е

назовем существенным, если он является квазиполным непрерывным G-модулем относительно (отделимой, ло­

кально выпуклой) топологии

т0, мажорирующей топо­

логию т, индуцированную пространством Е.

О п р е д е л е н и е 33.1.

Модуль Е называется

вариационно неприводимым [62], если множество его существенных подмодулей состоит из (0) и Е.

Напомним (предложение 6.1), что Е является так­

же Ж (G)-модулем, где

Ж (G) — групповая^ алгебра

группы G.

 

 

П р е д л о ж е н и е

33.2. Модуль Е

вариационно

неприводим тогда и только тогда, когда

Ж (С)-модулъ

Еалгебраически неприводим.

До к а з а т е л ь с т в о . (1) Согласно предложению

6.1, всякий существенный подмодуль G-модуля Е яв­ ляется также Ж (С)-подмодулем. Поэтому из алгебраи­ ческой неприводимости Ж (О-модуля Е следует его вариационная неприводимость.

191

(2) Заметим, что Л- (Q) — наследственно полное пространство, т. е. Jf (G)lJf — полное пространство для всякого замкнутого подпространства J f а Jf (G). Дей­ ствительно, Л (С) — индуктивный предел подпрост­ ранств Фреше

J fr (G) = {ц е

Л (G): supp р С Gr], г =

1 ,2 ,...,

где Л т(G) наделяется полунормами |р ||„ =

sup |</, р>|,

при

 

Сп

 

 

Cn =

{ / e C( f i ) : max | /(g )| < l}.

 

 

Gг4,—1

 

 

71

 

Легко проверить (используя функции Урысона, от­ деляющие Gr от Gr+t, е е= (>+), что топология Л т(G) совпадает с топологией Л-г (G) d «#г+, (G), т. е.

(G)— строгий индуктивный предел подпространств

Лт(G). Аналогично,

Jt(G )/jf = {) Л r(G)/jrrf

Г

где положено J fг ~ J f р| ,МТ(G),— строгий индук­ тивный предел подпространств Фреше Ег = Л-т(G)lJfT. Отсюда следует полнота Л (G)t-Jf (см. [261, стр. 79).

(3) Пусть

V =

Л (G) е0 — раздельно непрерывный

циклический

Л (С)-модуль,

порожденный

вектором

е0 ЕЕ V. Наделяя

V ~

Л (G)/uf, где

J f — аннулятор

е0, фактортопологией р пространства Л (G)tJf,

за­

метим, что

Р

мажорирует топологию

V и V

— непре­

рывный G-модуль в топологии р.

 

неприво­

(4) В частности, пусть Е — вариационно

димый G-модуль,

Ео — его

Л' (С)-подмодуль. Подмо­

дуль V = Л (G) е0, О Ф е0 ЕЕ Е 0, является существен­

ным подмодулем Е в топологии р. Отсюда

V =

Е

=$■ Е0 = Е,

т. е.

Jf- (G)-модуль Е алгебраически

не­

приводим. Предложение доказано.

Е — топологиче­

О п р е д е л е н и е

33.3. Пусть

ский G-модуль. Всякий существенный подмодуль Е0 d d Е, всюду плотный в Е, называется уплотнением модуля Е.

Если Е — вариационно неприводимый G-модуль, то всякое его уплотнение = (0) или Е (однако топология этого уплотнения может быть отлична от топологии Е).

192

2*. Е с т е с т в е н н а я

т о п о л о г и я .

Для к аж ­

дого G-модуля Е пусть £ (Е) — множество

всех от­

делимых локально выпуклых

топологий, относительно

которых Е квазиполно и представление в Е непрерывно. В частности, пусть Е — вариационно неприводимый

G-модуль,

Е cs; .М (С)1Ж,

где

Ж — аняулятор

фикси­

рованного

вектора

е0 6= Е.

Фактортопология

р

про­

странства

.М (G)1Ж

является

элементом £ (Е).

Мы

называем

р естественной

топологией модуля

Е.

 

П р е д л о ж е н и е

33.4.

Естественная

тополо­

гия р является сильнейшей среди топологий £ (Е) и единственной среди топологией £ (Е), относительно ко­ торых Е является индуктивным пределом пространств Фреше.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Первое свойство отме­ чено при доказательстве предложения 33.2, где пока­ зано также, что р — топология индуктивного предела пространств Фреше. Единственность этой топологии является следствием теоремы Гротендика об обратном

операторе ([221, стр. 230). Предложение

доказано.

(В частности, Р не зависит от выбора

е0 €Е Е.)

Доказательство предложения 33.2 остается в силе

при замене М (G) двусторонним идеалом J а

-М (G) со

следующими свойствами:

 

1)/ — наследственно полное (квазиполное) про­ странство с топологией р0,

2)/ — непрерывный (левый) G-модуль,

3)/ всюду плотно в М (G), и топология р# мажори­ рует топологию Л (G).

(Из условия 3) вытекает, что всякий раздельно непрерывный М (G)-модуль является также нетри­

виальным

раздельно

непрерывным /-модулем.)

В частности, эти условия выполняются для идеала

/ = С0 (G),

откуда

вытекает также

топология Р

С л е д с т в и е

33.5. Естественная

совпадает с

фактортопологией J/N, где

N — аннуля-

тор е0 в J =

С0 (G).

Отображение Ж -> / П •#' опре­

З а м е ч а н и е

1.

деляет (при

условиях

1) — 3))

взаимно однозначное

соответствие

между замкнутыми максимальными (ле­

выми) идеалами в алгебрах /

и 1

(G).

 

Если G — группа

Ли, то вместо алгебры М (G)

естественно

 

рассматривать

3) (G).

 

7 Д. П. Желобенко

193

П р е д л о ж е н и е

33.6. Всякий вариационно не­

приводимый G-модулъ дифференцируем.

Действительно,

Е°°

— существенный подмодуль Е,

откуда Е = Е°°.

2.

Аналогично

можно показать,

З а м е ч а н и е

что модуль Е слабо аналитичен.

квазиполный G-мо­

Пусть Е — дифференцируемый

дуль. Согласно предложению 6.4, Е является также

раздельно непрерывным

3) (G)-модулем. Повторяя до­

казательство предложения

33.2, с

заменой М (G)

на

3) (G), получаем *)

 

33.7. Модуль Е

вариационно

 

П р е д л о ж е н и е

неприводим тогда и только тогда,

когда 3) (С)-модуль

Е

алгебраически

неприводим.

 

 

 

 

ал

Можно также заменить 3b (G) на двусторонний иде­

J CZ 3) (G),

удовлетворяющий

условиям

1) — 3)

(с заменой М (G)

па 3) (G)).

 

 

 

 

 

В частности, эти условия выполняются для алгебры

X

= С“ (G), откуда

получаем

 

топология

Р

 

С л е д с т в и е

33.8.

Естественная

совпадает с фактортопологией X/N, где N — аннуля-

тор е0 в алгебре X =

Q°(G).

 

 

 

 

 

З а м е ч а н и е

3.

Используя существование сла­

бых аппроксимативных

единиц в идеале

X =

G" (G),

легко показать, что существует взаимно однозначное соответствие между замкнутыми (левыми, правыми,

двусторонними) идеалами в

алгебрах С” (G), С0 (G),

,М (G),

3) (G). См. [761, стр.

303.

3°.

Э к с т р е м а л ь н а я

н е п р и в о д и м о с т ь .

Из вариационной неприводимости, как и из топологи­ ческой неприводимости, не удается вывести аналог леммы Шура о коммутанте представления. Исходя из этого, введем

О п р е д е л е н и е 33.9. G-модуль

Е называется

экстремально неприводимым (см. [62)),

если 1) он ва­

риационно неприводим и наделен естественной топо­ логией Р, 2) его коммутант в С (Е) равен С-1.

П р е д л о ж е н и е 33.10.

Всякий экстремально

неприводимый G-модуль вполне

неприводим.

*) Наследственная полнота Ю (G)

вытекает из того! факта,

тто Ж) (G) — сильное сопряженное к

рефлексивному простран­

ству Фреше ([22],стр. 180),

 

194

Д о к а з а т е л ь с т в о . Согласно теореме Джекобсона о плотности (1171, стр. 494), для всякого набора

линейно

независимых

векторов

ЕЕ Е, i —

1,

2, . . .

. . .,

п,

и

всякого

набора

векторов

е

£,

i =

= 1,

2, . . . »

л,

существует оператор

р, ЕЕ

 

(G)

та­

кой,

что

рег =

l t, i

=

1 , 2 , . . . , н,

откуда

следует

полная

неприводимость

.М ^-м одуля

Е.

Но тогда

и G-модуль Е вполне неприводим. Предложение до­

казано.

н е п р и в о д и м о с т ь .

4°. Н о р м а л ь н а я

Предыдущие построения имели целью сужение класса вполне неприводимых представлений. Рассмотрим те­ перь класс представлений, содержащий все вполне неприводимые представления.

О п р е д е л е н и е 33.11. Непрерывный квазипол­ ный G-модуль Е называется нормально неприводимым

(см. [62]), если он топологически неприводим и его коммутант в С (Е°°) равен С-1.

В частности, дифференцируемый G-модуль Е на­ зывается нормально неприводимым, если он топологи­ чески неприводим и его коммутант в С (Е) равен С-1.

Условимся рассматривать только непрерывные ква­

зиполные G-модули.

 

33.12.

Если

модуль

Е вполне

П р е д л о ж е н и е

неприводим, то он нормально неприводим.

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если оператор а Е С (Е°°)

коммутирует со всеми операторами группы G, то он

коммутирует

со всеми

элементами

алгебры © (Е°°) —

= С (Е°°) Р|

S (Е). Расоуждая

как

при доказательст­

ве предложения 8.3,

находим,

что

коммутант © (Е°°)

равен С-1.

Предложение доказано.

Пусть

Е — G-мо­

5°. Б и т р а н з и т и в н о с т ь .

дуль. Пространство

Е ® Е наделяется структурой G-

модуля по правилу

g (£ 0

г)) = gl ф gip

Модуль Е

называется битранзитивнъш, если всякий замкнутый

подмодуль Е ф Е имеет

 

вид

= ( 5 0 тр 0.1

+

рт| = 0}, а , Р е С .

Это определение равносильно следующему! модуль Е топологически неприводим и всякий замкнутый опе­ ратор Е -*■ Е с областью определения, инвариантной относительно G, перестановочный со всеми операторами g E G , кратен единице.

7* 195

Смотрите также файлы