Файл: Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли.pdf

если

М — собственный

идеал,

то

Мы = 1. С другой

стороны, положим

M0= { i E i :

{ух)1£Е I для

всех у ЕЕ А},

где

жх = exjex, i E

i .

Ясно,

что М 0 — замкнутый

куда М — М 0.

Следовательно,

М однозначно

опре­

деляется по I.

Остается заметить, что Я*// ~ (А1М)г.

Согласно предложению 33.2,

AIM — тонкий

G-мо­

лами / и М. Лемма доказана *).

Вместо алгебры

Лх удобно

рассматривать подал­

гебру Наймарка 5 х — е£Ае%,

где е\ — минимальный

проектор в .М (К),

подчиненный ех:

е\ = «х (i, к%) dk.

С л е д с т в и е

34.4. Отображение Е

V\ — е\Е

Действительно,

А х ~

^х <8> В\

где

*1\

= Н от (Ех, Ех).

(Можно также непосредственно пе­

рефразировать доказательство леммы 34.3.)

С л е д с т в и е

34.5.

Отображение

Е >-*■ V\ =

конечномерных

модулей.

Действительно,

согласно предложению 33.14, классы

слабой

эквивалентности

однозначно характеризуются

своими

экстремальными

уплотнениями.

3

а м е ч а н и е 4. В дальнейшем мы будем исполь

зовать следствие 34.4 в следующей ослабленной форме:

если модули е\Е,

е\р эквивалентны, то модули Е,

F

слабо эквивалентны.

G-м о д у л и. Отметим еще

не­

5.

К-п р о с т ы е

которые следствия леммы 34.3.

вивалентность модулей Е, F.

Предложение доказано.

Отметим также

П р е д л о ж е н и е 34.7.

Всякий

К-простой

G-

модуль является

простым.

Всякий

замкнутый дву­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

сторонний идеал J в алгебре А — М (G) является за­

мыканием У* =

J (~| А *, где А * — прямая сумма под­

пространств

X, ц е Л .

В свою

очередь, J*

яв­

ляется обьединением

подалгебр Jt — J f] A t, где

положено

At =

®

АХ1\ е е Л.

В частности,

пусть M e С

J• Если модуль Е является

./^-простым,

то Ег — ®

ехЕ — неприводимый .4е-мо-

вательно,

(M e)i — максимальный идеал в Аг, отку­

да (М е)с =

Л для всех е Е Л . В результате М Е =* J.

Предложение доказано **).

6.

О с н о в н а я к о н с т р у к ц и я .

Начиная

с этого момента, G — полупростая связная комплексная

группа

Ли.

Пусть

D ? n — минимальный

G-модуль

с

сигнату­

рой х (§ 19). Ясно, что этот модуль является /f-npo-

стым. Опишем класс ^модулей,

слабо эквивалент-

Dmtn

х

•

уплотнение

/)™1п *).

Пусть

Д“ 1п — экстремальное

Пусть Д“ ах — G-модуль, контрагредиентный Д?1п, %'=

= —X-

Заметим, что

д т 1 п — Г)т1 п .—

п т а х <—

а шах

,

и % С_ и х

(_

Ах

где D T " — G-модуль,

контрагредиентный

D™ln. Ус­

ловимся,

что

модули Dx*x,

Д Г Х

наделяются

слабыми

топологиями.

писать

Е <] F, если

Е — подмодуль F

Условимся

и топология

Е мажорирует

топологию F.

Положим

® х = { Е\ Д“ 1п < Е < Д™ах}.

П р е д л о ж е н и е

34.8. Если Д“ 1п — уплотнение

G-модуля

Е,

то Е €Е 9КХ-

Заметим,

что

Е <] F

Д о к а з а т е л ь с т в о .

F' <] Е' (относительно слабых топологий).

В част­

ности,

имеем

Е < Д™х,

где Е — с топологией а (Е, Е').

Но тогда это верно

и

для сильной топологии

в Е.

Предложение

доказано.

' С л е д с т в но 34.9.

Всякий

К-простой

G-модулъ,

слабо эквивалентный Д“ 1п,

эквивалентен

одному

из

модужй класса 93JX.

З а м е ч а н и е 6. Ясно также,

что

всякий раз­

дельно непрерывный М (С)-модуль,

слабо

эквивалент­

сти эти условия

можно

ослабить

(см. замечание 4).

I.

К л а с с и ф и к а ц и я т о н к и х G- м о д у ­

л е й .

Напомним, что модуль Е называется тонким,

если он АГ-финитен и совпадает со

своим экстремаль­

ным

уплотнением.

играет

принципиальную

Следующий

результат

роль в дальнейших построениях.

Т е о р е м а 35. Всякий тонкий G-модуль эквивален­

тен одному из модулей Д™1п.

Е — тонкий

G-мо­

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть

дуль,

Я0 — минимальный из старших весов Я ЕЕ А,

для

которых е*Е Ф (0).

Положим

Е0 = е^Е,

Х 0 = e^Xe}^,

где

X — С“ (G) (Х 0 — подалгебра

Наймарка

в

X).

Согласно

следствию

34.4,

Е0 — неприводимый

Л„-мо­

дуль, dim

Е0 <

оо.

Положим

г 0 =

2

и1*х1к

(следствие

29.7).

Из коммутативности

этой

алгебры

и

конечномерности

Е0

заключаем,

что

dim Е0 = 1.

В

результате

z<p =

Ц. (z) ф,

ф S

Е0,

г е Z0,

где р. — характер

алгебры Z„. Согласно

предложению

29.9,

р (г) — / (0О),

о 0 €= (>с>

где

/

— образ

z при

изоморфизл1е Z0 -у

Согласно теореме 27 (§ 29),

этот

изоморфизм

индуцируется

преобразованием Фу­

рье.

При

этом

модуль

Д Г ,

Хо = (Хо, бо).

порождает (при сужении

на eg°A“ ln)

тот

же

характер

р (г) алгебры Z0.

Согласно критерию

эквивалентности

(следствие 34.4), отсюда вытекает,

что

Е

Д“ 1а.

Теорема доказана.

35.1.

Всякий К-простой G-модуль

С л е д с т в и е

слабо

эквивалентен

одному из модулей A”lln.

С л е д с т в и е

35.2.

Всякий К-простой G-модуль

эквивалентен одному из модулей класса 33?г

Условие /ST-финитности является

априори сильным

определений неприводимости.

мо ­

II. Э к с т р е м а л ь н о н е п р и в о д и м ы е

д у л и . Напомним, что модуль Е называется

эк­

приводим,

наделен естественной

топологией и имеет

одномерный коммутант

в С (Е).

Т е о р е ы а 36. Всякий экстремально неприводимый

G-модуль эквивалентен одному из

модулей

А“ 1п.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть Е — экстремаль­

но неприводимый G-модуль,

Гх =

ьхЕ.

Из алгебраи­

ческой неприводимости

Е

относительно

X =■

3) (G)

следует алгебраическая

неприводимость I х относитель­

но

Xх — Ххх.

Согласно

теореме

34

(§ 32),

Жх —

конечный модуль над центром S алгебры X, который

скалярно действует в Е.

Следовательно, Xх действует

в Fx как конечномерная матричная

алгебра,

т. е.

dim

Fx <

оо,

X 6Е А.

Следовательно,

модуль

Е яв­