Файл: Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли.pdf

/| b (X )F = 0,

(2)

Ь { х ) У ф V.

F — UV0,

где

F0 — f-подмодуль

F, то

2°.

Если

каждый функционал / 6= F j

однозначно определяется

своими

значениями на

F0 (/|F0 = 0= Ф/

= 0).

Дей­

ствительно,

из

разложения

g = f ® a ® B = f + b

следует

U =

U (fG) +

b (х)

£7, откуда

F =

F0 -f-

+ Ь (х)

F. В частности,

имеем

3°. Для

каждого f-модуля F пусть F (v) — весовое

подпространство веса

v

относительно

подалгебры

mG = Ьа П

Заметим,

что

<F (р), V

(v)> = 0 при

р ф —V, (F (—v))' =

F' (v).

Оценка

2°

уточняется

следующим

образом:

d i m F x ^ d i m F q ( v ) ,

v = р — q.

Ass F

c

{ wp\w’q - j- p :

w, w' e = W }

для

каждого

% =

p |q

Ass F.

При

этом

у (z) =*

=

у (%, z) в обозначениях § 2.

Действительно,

это следует из теоремы Хариш-Чан-

ДРЫ (§ 2).

d

5°. Заметим также, что для всякого подмодуля F0 d

V выполняется включение *)

Ass F/F0 d Ass V.

/ I

*)

Функционал /

e {VIVaY

продолжается

на V

условием

F,

= 0.

Сопряженный

старший

вектор /

е

V'

называется

эффективным (см. [74]),

если

он

отличен

от

нуля на

каждом подмодуле F0 с ; F.

Если

V —

II. М о д у л и

Х а р

и ш-Ч а н д р ы.

модуль Хариш-Чандры,

то,

согласно

3°,

всякий вес

X ЕЕ Ass V является

сигнатурой.

В частности, положим V =

Lx. Согласно предложе­

нию

10.8, —х

— P G

Ass Lx. Соответствующий

стар­

ший

вектор

/х =

S |Lx

является

эффективным.

Дей­

ствительно,

<ж-1 ф, /х > = ф (я ),

ф £ Е £ х,

г е С .

Если /х |F0 =

0

для

некоторого

подмодуля

F0 CZ Lx

то /х |Р0 =

0,

где

F0 — замыкание

F0 в Dx, откуда

Ф (х)

== 0 для

всех

ф е

F0, т. е.

F0

=

(0).

=

Согласно

4°,

Ass Lx с

О (х)

+

р,

где

О (х) =

{wp\w'q:

w,w' ЕЕ W )

при X — Р I ?•

Согласно

2°

(или 3°),

каждый вес ф £Е Ass Lx встречается с ко­

нечной кратностью.

=

Для каждой сигнатуры х — Р

I Я положим v (х) =

Р — Я-

36.2.

Пусть

F — модуль

Ха­

О п р е д е л е н и е

риш-Чандры,

А0 — минимальный

из

старших весов

X ЕЕ Л, для которых

Fx Ф (0). Сигнатура % называется

характеристическим весом модуля V (см. [63]), если—х —

— р е Ass F и v (х )+ =

Х0.

неприводимый

модуль

Т е о р е м а

43.

Каждый

Хариш-Чандры V обладает характеристическим весом

X,

который содержится в Ass F однократно и опреде

ляет модуль V однозначно, с точностью до эквивалент­

ности.

Существование веса х сле­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

дует из эквивалентности F ~

L“ in d

Lx (теорема

21),

при

некотором

х GE 2~,

и

эффективности

f x

(откуда

/х

|Lx ln Ф 0). Однократность веса х вытекает из оцен­

ки

3°:

d im (L fn)!x_P< d i m ^ + (v) = 1,

вес

L®

,

Z,® п. Покажем,

что Xi ~ Хг>

T- e- Xz = »Xi>

к; e

W.

Согласно определению характеристического веса,

имеем v (%i)+ =

v (%2) + =

v (х)+- Используя эквивалент­

ность

между

модулями

L®ln, мы

можем

считать, не

ограничивая общности, что v (%i) — v (%2)

= v ЕЕ— Л.

При

этом

имеем

«

(Xi) /1 =

X (и) / х,

и (Ха) /а =

X (м) /2

для

сопряженных

старших векторов

/ 1?

/ 2 ЕЕ (igv)',

где

н (х)

— оператор С/-модуля,

контрагредиентного

Lx,

отвечающий элементу

и ЕЕ U. Рассмотрим теперь

элементы

вида

(1)

§ 22:

Согласно теореме

19, полином z (а) пробегает Zv =

= Р (bG)w'. Следовательно, о2 =

при некотором

w ЕЕ И7У, т. е. Х2 = w%i- Теорема

доказана.

З а м е ч а н и е

2. Естественно

предположить, что

вес х в условиях

теоремы 43 определяется однозначно

с точностью до эквивалентности

(х ~ ф ). Однако ав­

тору неизвестно доказательство этого утверждения.

III.

Э к с т р е м а л ь н о

н е п р и в о д и м ы е

м о д у л и .

Пусть Е — непрерывный G-модуль, р+ (Е) —

множество всех ^ 6 ^ таких,

что Ъх является весом

борелевской

подгруппы

В =

В+ в пространстве Е.

Множество

р+ (Е) называется борелевским спектром

G-модуля Е.

36.3.

Множество

Ass Е =

О п р е д е л е н и е

= Р+ ((Е°°)')

называется

ассоциированным

спектром

G-модуля Е.

О п р е д е л е н и е

36.4. Пусть Я0 — минимальный

из весов подгруппы К,

для которых F* =f= (0). Сигна­

му каждому весу — % — р е

Ass Е соответствует

изо­

морфное вложение

Е —> Z>x-

Из нормировки v (х )+ =

= Х0 следует при

этом, что

Е

D™in CZ D х. Следо­

вательно, в

нашем случае Z)™in ~

=» х

~Ф -

Тео­

рема

доказана.

3. Естественно

предположить,

что

З а м е ч а н и е

для

экстремально

неприводимых

модулей

Ass Е =

= Ass Е*.

(Отсюда, в частности,

следует справедли­

Заметим также, что

Ass А™1" = Ass Z)*in. (Дей­

ствительно, всякому — ф

— р Ass А™1" соответствует