Файл: Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли.pdf

та

З а м е ч а н и е

1. Вместо одномерности коммутан­

достаточно требовать

скалярность

центра

§

хотя

бы в одном из подпространств Ух. (Тогда dim

У* <; <х>

и

dim У1* = dim

<С оо для всех

f i e i )

мо ­

III. Н о р м а л ь н о

н е п р и в о д и м ы е

д у л и . Напомним,

что модуль Е называется нормаль­

Т е о р е м а

37.

Всякий

нормально неприводимый

G-модуль слабо эквивалентен одному из модулей

Д™1п.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть Е — нормально не­

приводимый G-модуль,

Vх =

ех/Г. Из топологической

неприводимости

Е

относительно

X — 3) (G) следует

топологическая

неприводимость

Ух относительно Xх =

= Жхх

Отсюда,

как и выше (см.

доказательство теоре­

мы 36),

заключаем,

что dim

У* <; оо для всех

А,

т. е. модуль Е является

/("-простым. Согласно

след­

ствию 35.1, модуль Е слабо эквивалентен

Д“ 1п. Теоре­

ма доказана.

35.3. Всякий нормально неприводи­

С л е д с т в и е

мый G-модуль эквивалентен одному

из модулей

клас­

са 9Rr

2. См. замечание 1.

З а м е ч а н и е

м о д у л и .

IV.

В п о л н е

н е п р и в о д и м ы е

всех вполне неприводимых G-модулей.

Однако

этот

результат можно получить и независимо.

Т е о р е м а 38.

Всякий вполне неприводимый G-мо­

дуль слабо эквивалентен

одному

из модулей

Д™1п-

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Напомним,

что

семейст­

во модулей D x образует

полную систему для алгебры

X —

(G) (предложение

26.1).

Отсюда

следует

так­

же, что

семейство

Lx образует

полную

систему

для

алгебры

X х = Х хх.

Заметим,

что dim Lх

и*. Сле­

довательно, X х обладает

полной системой представле­

(101) существование полилинейной функции p (tv

t2, .. .

. . ., <„)

такой,

что

Р (*ц 2-2*

•••»

=

0

(*)

тождественно

для

всех

rt ЕЕ Xх,

1 =

1,

2, .

.

.,

п,

причем

существуют

матрицы

at,

i =

1,

2, .

.

.,

п.

метим теперь,

что (*) сохраняется для любого представ­

ления алгебры X х.

В частности,

если

Е — вполне

неприводимый

G-модуль,

то Vх =

е\Е — вполне не­

приводимый

X х-модуль

(предложение

8.8), откуда

имеем

р (^х*

Й2»

•••> ®п) == 0

слабо эквивалентен

А“ |п.

Теорема доказана *).

С л е д с т в и е

35.4.

Всякий неприводимый уни­

унитарных модулей в системе $01х. (См.

также IX.)

V. Т р а н з и т и в н ы е м о д у л и .

По аналогии

О п р е д е л е н и е 35.7.

Простой модуль Е назы­

вается S-простым, если он топологически неприводим>.

и действие & =

$ (G) скалярно в Е.

Т е о р е м а

40. Всякий §

-простой G-модуль слабо

эквивалентен одному из модулей Д™1п.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Согласно замечанию 3

2)е = 3)в П

максимален

среди

замкнутых

идеалов

Жх. Ввиду скалярности §,

факторалгебра Ж*/3)е ко­

нечномерна (теорема 34) и потому является полной мат­

ричной алгеброй. Соответственно, Fx

=

е^Е — непри­

водимый модуль над этой алгеброй, откуда dim Fx<

оо.

Остается применить следствие 35.1. Теорема доказана.

VII.

Э к в и в а л е н т н о с т ь

м о д у л е й

Д“ 1п.

Для завершения классификации остается описать

все

соотношения эквивалентности

между

модулями

Д™1п.

Т е о р е м а

41. Модули

Д“ 1п,

Д™1п

эквивалентны

тогда

и

только

тогда,

когда

Xi

~

Хг (Хг =

wXu

w <= W).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Модули Д™1п, Д™1п экви­

валентны тогда и только тогда, когда им отвечают оди­

наковые

характеры р (z) в доказательстве теоремы 35,

т. е. когда %2 =

w%х, w б= W (см. доказательство теоре­

мы 20). Теорема доказана.

Условимся

писать

Xi ~

Хг>

если сигнатуры

%х, х2

лежат на одной орбите относительно группы W X W.

Соотношение Xi

~

Хг равносильно тому, что модули

D Xl, Dx, принадлежат

одному

и тому же характеру у

алгебры

Z = Z (дс) (центр

U (0е)).

С л е д с т в и е

35.8. Число классов эквивалентности

модулей Д™1п,

принадлежащих фиксированному харак­

теру у алгебры Z, равняется числу классов эквивалентно­

сти (Xi

~ Хг)

множества

0(Х) = « 6

2: фжх ) .

З а м е ч а н и е

3.

Из предложения

35.8

следует,

что операторы симметрии В (т, %): Д“ 1п —» Д™*", u>€=W,

являются

топологическими

изоморфизмами

(относи-

ко проверить

и непосредственно.

м о д у л и . Ска­

VIII.

П с е в д о у н и т а р н ы е

жем, что (7-модуль

Е является

псевдоунитарным,

если существует G-инвариантная невырожденная раз­

дельно непрерывная

эрмитова форма на Е X Е.

Т е о р е м а

42.

Модуль

A™in (Z)™in)

псевдоунита-

рен

тогда

и только

тогда,

когда

%* =

w%, w ее W,

т.

е.

—p — wq, —q — wp,

w ^ lW .

D x X Dx..

ф)

су-

Д о к а з а т е л ь с т в о . Если форма В (<р,

Д х В

Дх* »

т 1 п

a

max

IX.

У н и т а р н ы е

м о д у л и . Напомним, что

В (т, х)

в fiy

— прямая сумма конечномерных опе­

раторов

6х (т,

х) =

(те, V, а).

П р е д л о ж е н и е

35.9. Следующие условия равно­

сильны:

= Х*> неотрицатель­

(1) все операторы Ьх (т, х),

но определены,

пологии А ?1”, т. е. (3)

(2).

ров 6Л(т, %),

=

%*,

на положительную определен­

ность.

4.

Всюду в этом параграфе ус­

З а м е ч а н и е

I.

А с с о ц и и р о в а н н ы й

с п е к т р .

Фикси­

руем

борелевскую

подалгебру b =

Ь+.

Для

каждого

g-модуля

V

пусть

р+ (V) — множество

всех

весов ал­

гебры Ъ в

пространстве V.

Множество -р+ (F) мы называем борелевским спект­

ром

модуля

V.

простран­

Пусть

V

— алгебраически сопряженное

uf — X (и) /, н е Ьс,

(1)

8 Д. П. Желобенко

209