Файл: Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 160
Скачиваний: 0
определим |
свертку |
р/, |
J |
(G), |
/ ЕЕ С (G), |
по пра |
||||
вилу . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
р / (z) = |
$ dp (х) / (x- 1z), |
z e f f - |
|
(2) |
|||
Ясно, |
что |
р / Е С (G) и умножение р/ обладает свойст |
||||||||
вом |
ассоциативности: |
(pv) / |
= р (v/), |
р, v ЕЕ |
(G), |
|||||
/ Е С ( б ) . |
Аналогично, определим свертку /v, / |
е С (G), |
||||||||
v |
ЕЕ .// (G), по правилу |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
/v (z) = |
^ / (ZZ/_1) dv (У)» |
z <= |
|
|
(3) |
||
В |
частности, пусть б g — единичная |
мера Дирака, |
со |
|||||||
средоточенная в точке g е G. Тогда |
8gf |
= gf, |
f8g— fg, |
|||||||
в |
обозначениях § 5. Отображение g *-*■ |
8g — вложение |
||||||||
группы G в Л (G). |
1. |
Пусть |
С0 (G) — подпространст |
|||||||
|
З а м е ч а н и е |
|||||||||
во всех финитных функций из С (G). Отображение |
|
|||||||||
|
|
|
ф (г)^ ф (г)^ (г), |
Ф 'е с 0(С), |
|
(4) |
||||
где d, (g) — левоинвариантная мера Хаара на G, являет ся вложением С0 (G) —►М (G), причем умножение pqp, р Е J (G), совпадает со сверткой мер р, ф(g)dtg. Анало гично, отображение
4>(g)^4>(g)drg, cpeGo(G), (5)
где drg — правоинвариантная мера Хаара на G, пере
водит умножение |
фг |
в свертку ф (g) drg, v E J |
(G). |
З а м е ч а н и е |
2. |
Положим dp' (x) == dp (x_1). |
Со |
гласно теореме Фубини, равенство (1) может быть запи сано в виде
|
<ф, Р^> = <р'ф, v> = <Ф'\,/, р>, |
(6) |
|
где |
<ф, р > — каноническая |
билинейная |
форма на |
C(G) |
X М (G) (значение функционала р на элементе ф). |
||
З а м е ч а н и е 3. Для |
каждого подпространства |
||
V С |
С (G) пусть FJ-----его аннулятор в M(G). Отобра |
||
жение F ь-»- V1- определяет взаимно однозначное соот ветствие между замкнутыми левыми (правыми) подмо дулями F d С (G) и слабо замкнутыми левыми (правы ми) идеалами в М (G).
Действительно, это следует из предложения 5.10 при наделении С (G), .№■ (G) слабыми топологиями. То же верно для сильной топологии в С (G) (см. § 5).
| 37
П р е д л о ж е н и е 6.1 [4]. Пусть я — непрерыв ное представление группы G в квазиполном отделимом локально выпуклом пространстве Е. Формула
л (Ц) = 5 я (ё) d\i (g), pi е ■* (G), |
(7) |
определяет представление алгебры .№■ (G) со |
значения |
ми в С (Е). Это представление непрерывно относитель
но компактных топологий в |
М (G) и в С (Е). |
|||
В частности, я (8Ж) = я (х), |
х gE G, |
где дх — мера |
||
Дирака о носителем |
в точке |
л е С. |
Следовательно, |
|
я (р) — продолжение |
я (g) на алгебру .Ш- (G). |
|||
2°. А л г е б р а |
30 (G). |
Пусть G — группа Ли, |
||
С00(G) — пространство всех |
бесконечно дифференци |
|||
руемых функций на G с естественной топологией (§ 5). Сопряженное пространство 30 (G) состоит из всех фи нитных обобщенных функций (распределений Шварца) на G. Свертка аЪ элементов а, ЪЕЕ 30 (G) определяется
по правилу |
|
|
|
|
|
(8) |
|
|
<ср, аЪ} = <о'ф, by = <срV, ау, |
||||||
аналогичному (6), |
где <ср, а > — каноническая билиней |
||||||
ная форма на C°°(G) х 3D(G), отображение а |
а' опре |
||||||
деляется |
заменой |
переменных |
х ь->- х~х: |
(ср, а' > = |
|||
= <ф', аУ, ф' (х) |
= |
ф (я-1), х ЕЕ G, |
и операции ф i-*- а'ф |
||||
ф *-*■ фЪ', |
ф ЕЕ С°° (G), а, |
b ЕЕ ЗВ(G), |
определяются по |
||||
аналогии с (2), (3): |
|
|
|
|
|||
a'(f(z) = |
<г- 1ф, а), |
фЪ' (z) = |
<фг-1, by. |
(9) |
|||
Соответственно, |
Сх (G) является |
двусторонним 30(G)- |
|||||
модулем. |
Алгебра |
3D (G) |
ассоциативна. Умножение в |
||||
3D (G) непрерывно относительно сильной топологии 30(G) и раздельно непрерывно относительно слабой тополо гии 3D (G) — см. [76].
З а м е ч а н и е |
4. |
Действие 3D (G) в С°° (G) опреде |
||
ляется формулами |
|
|
|
|
аф(г) = <ф'г, а>, |
ф (г) = |
<гф\ Ь>, |
г Е ( ? . (10) |
|
где положено ф Е |
С” |
(С), a, b ^ |
30(G). |
В частности, |
при z = е (единица в G) имеем |
|
|
||
<Ф, ау = аф' (е) = ф'о (е). |
(11) |
|||
38
З а м е ч а н и е 5. Отображение V >->- V-1 опреде ляет взаимно однозначное соответствие между замкну тыми левыми (правыми) подмодулями С°° (G) и замкну тыми *) левыми (правыми) идеалами 25 (G).
З а м е ч а н и е |
6. |
Имеет место включение supp a b a |
||
a supp a-supp |
b, |
a, |
b £ 2)(G), где supp a — носитель |
|
обобщенной функции |
a EE 25(G). Следовательно, |
если |
||
Н — подгруппа |
в |
G, то множество 25 (G, Н) |
всех |
|
функций из 2) (G) |
с носителями в Н является подал |
|||
геброй в 25 (G). |
|
|
|
|
Пусть з — алгебра Ли группы G, U — U (9е) — ее
ассоциативная |
оболочка |
над |
полем С. |
Рассмотрим |
||||||
С°° (G) как двусторонний U-модуль, полагая при и £ |
9 |
|||||||||
U(P |
d |
|
|
ФИ = |
d |
|
|
(12) |
||
=~df (ехР tu ■ф)«=о> |
(ф •exp tu)t=0, |
|||||||||
с продолжением этих операций на U по ассоциативно |
||||||||||
сти. |
Каждому |
элементу и |
ЕЕ |
U поставим в соответст |
||||||
вие |
обобщенную |
функцию |
и £ |
25 (G) |
по |
правилу |
||||
<ср, и } — шр' (е ) — ф' и (е ) . |
|
|
Шварц). |
Алгебра |
U |
|||||
П р е д л о ж е н и е 6.2 (Л. |
||||||||||
и з о м о р ф н а 25 (G, {е}). |
найти, например, |
в |
[16], |
|||||||
Доказательство |
можно |
|||||||||
стр. 166. Далее, пусть d g — левоинвариантная мера Хаара на G. Рассматривая, как и выше, отображение ф (g) »-+■
*->■ ф(g)dg, получаем вложения СГ (G) *-►С0 (G) -*■ М (G) —>
25 (G), |
где |
G” (G) = G0(G) П C°°(G). |
Заметим, что |
||
С(Г (G) — двусторонний |
идеал, всюду плотный в 25 (G). |
||||
П р е д л о ж е н и е |
6.3. |
25 (G) = С/*С0(G). |
|||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Согласно |
(12), опера |
|||
ция ф |
мф, |
и ЕЕ U, |
ф ЕЕ 25 (G), является продолже |
||
нием операции дифференцирования на обобщенные функции. Наше утверждение означает при этом, что
всякая |
функция а ЕЕ 25 (G) может |
быть |
представлена |
в виде |
суммы элементов вида иф, |
и ЕЕ |
U, ф ЕЕ 25 (G). |
Это утверждение, хорошо известное для евклидовых пространств, легко обобщается на группы Ли путем рассмотрения канонических координат II рода. Предло жение доказано.
*) Безразлично, в сильной или слабой топологии (С °° (G) рефлексивно).
39
П р е д л о ж е н и е 6.4. Пусть я — дифференци руемое представление группы G в отделимом локально выпуклом пространстве Е. Формула *)
я (а) = ^ я (х) а (х) dx, а е 25 (G),
определяет представление алгебры 25 (G) в пространст ве Е, раздельно непрерывное в топологии о(Е ,Е ').
Если Е квазиполно, то я (25 (G)) d |
С (Е). |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Первая |
часть утвержде |
ния непосредственно сводится к определению операто ра я (а) как значения обобщенной функции а на опе
раторной функции я (х) класса С00 — см. |
[1]. При этом |
|||
я (a) GE S (Е). Если Е квазиполно, |
то |
я (х) продол |
||
жается на М (G) (предложение |
6.1), |
в |
частности, |
на |
C0(G), откуда следует, ввиду |
предложения 6.3, |
что |
||
я(а) 6= С (Е). Предложение доказано.
Вобщем случае, пусть я — непрерывное представ
ление группы G в квазиполном пространстве Е. Вектор | ЕЕ Е называется дифференцируемым (относительно я), если вектор-функция я (g) § дифференцируема на G. Аналогично определяется кратная дифференцируе мость. Пусть Е°° — множество всех бесконечно диф ференцируемых векторов G-модуля Е.
П р е д л о ж е н и е 6.5. Пространство Е°° — под модуль Е, всюду плотный в Е. Пространство Е°° квазиполно относительно локально выпуклой тополо гии, определяемой системой полунорм
Р (I) = m axро(л (и)я (х )I), pQ^SP0, « б Р ,
хек
где SPо — базисная система полунорм пространства Е, К — произвольный компакт в G. Представление я груп пы G в пространстве Е°° дифференцируемо: (А00)00= Е°°.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Инвариантность Еж от носительно G легко проверяется. Плотность Е°° в Е вытекает из включения (G) Е d Е°°. Действительно, если / ЕЕ Е' аннулирует Е°°, то / = 0 на элементах вида я (ф) £, ф е Со (G), | d Е, т. е.
§ф(х)<я(х)£, fydx = О,
*) |
Здесь имеется |
в виду равенство <л (а) |, г|> = <ф^, а), |
||
№ |
= < л |
т1>' |
5 |
Т1 S Е ' . |
40