Файл: Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли.pdf

Иногда удобно писать (или |g-1) вместо я (g) Соответственно, пространство Е наделяется структу­ рой левого (правого) G-модуля. G-модуль Е называется

группа, С (G) — пространство всех непрерывных функ­ ций на G с топологией равномерной сходимости на компактах в G. Положим для / £ С (G):

определяют непрерывное левое (правое) регулярное представление в L2(G).

Оп р е д е л е н и е 5.3. Пусть G — группа Ли, я —

еенепрерывное представление в пространстве Е. Пред­ ставление я называется дифференцируемым, если опе­ раторная функция я (g) дифференцируема в С (Е).

З а м е ч а н и е 2. Достаточно предполагать диф­ ференцируемость в единичной точке e e G . Дифферен­ цируемость в точке е равносильна существованию ин­

32

где з — алгебра Ли группы G. При этом, если я диффе­ ренцируемо, то л ( з : ) е С (Е), х ЕЕ 3, и функция я (g) бесконечно дифференцируема. Отображение х ►-*- я (х)— представление алгебры 9 в пространстве Е.

Соответственно, G-модуль Е мы будем называть дифференцируемым, если представление в Е дифферен­ цируемо.

П р и м е р 3. Пространство С°° (G) с топологией равномерной сходимости всех производных на компак­

где 0>о — базисная система полунорм пространства V, К — произвольный компакт в G, действие U (з) опреде­ ляется левыми сдвигами на G. Правые сдвиги порож­ дают ту же топологию в С°° (G, V) *).

Пусть я*, я2 — два представления группы G в про­

называются эквивалентными (изоморфными), если суще­ ствует сплетающий оператор для пары Яь я2, который яв­

му представлению в С (G) (С°° (G), A2 (G)). Соответствую­ щий изоморфизм задается инверсией: / (ж) ь* f (х _1),

ге б .

Оп р е д е л е н и е 5.5. Представления я^ я2 (мо­ дули Ех, Е2) называются дуальными друг другу относи­

*) Предлагается проверить это в качестве упражнения.

пот]), то представления ях, я2и модули Ег, ^называют­ ся (эрмитово) дуальными относительно формы (£, г)).

О п р е д е л е н и е 5.6. Представление я в пред­ гильбертовом пространстве Е называется унитарным, если оно дуально самому себе относительно скалярного

а: Е —>•Е слабо непрерывен (непрерывен в топологии

находится в двойственности относительно формы <|, тр. Топология а (Е , Е ') называется слабой или ослаблен­ ной топологией в Е. Топология а (Е ', Е) называется слабой топологией в Е' . Сильная топология в Е' опре­ деляется как топология равномерной сходимости на всех ограниченных множествах из Е *). Компактная

*) Заметим, что С (Е) С S (Е ), но С (Е ') I} S (Е ') (см. [3J).

34

топология в Е' определяется как топология равномер­ ной сходимости на всех компактных множествах из Е.

Заметим, что если я, я — дуальные представления

слабой топологии в Е ' . Если G локально компактна и л непрерывно, то я непрерывно относительно компакт­ ной топологии в Е '.

раически (топологически) неприводимым, если множест­

определяет взаимно однозначное соответствие между замкнутыми подмодулями в Е и F.

Действительно, согласно теореме Хана — Банаха, F-L-L — замыкание V (в топологии о (Е, F)).

Говорят, что топология в Е согласуется с двойствен­ ностью Е, F, если F — Е' по запасу элементов, т. е. если всякий непрерывный линейный функционал над

2* 35

сильная топология в Е' согласуется с двойственностью Е, Е ' , то Е называется полурефлексивным. Согласно предложению 5.10, в этом случае существует взаимно однозначное соответствие между замкнутыми подмоду­ лями в Е и Е '.

Пространство Е называется рефлексивным, если Е изоморфно Е" (относительно сильной топологии Е"). Всякое рефлексивное пространство квазиполно и бочеч-

§6. Групповые алгебры

Всовременной математике нет общепринятого опре­ деления групповой алгебры для произвольной тополо­ гической (даже локально компактной) группы. Однако для важнейших классов групп, встречающихся в лите­ ратуре, хорошо известны «естественные» групповые алгебры. Все эти алгебры состоят из функций, основ­ ных или обобщенных, на группе G, и роль умножения

вних играет свертка на G.

1°. А л г е б р а M(G). Пусть G — локально ком­ пактная группа, С (G) — пространство всех непрерыв­ ных функций на G с топологией равномерной сходимо­ сти на компактах из G. Сопряженное пространство

.// (G) состоит из всех Комплексных мер Радона с ком­ пактными носителями на G. Свертка мер р, V E Л (G) определяется по правилу

§ ф (z) d (р * v) (z) = ^ Ф (*У) dp (х) dv (у), <р е С(С). (1)

Условимся в дальнейшем заменять стандартный символ свертки р * v символом умножения pv. Пространство

.М (G) является ассоциативной алгеброй относительно этого умножения. Умножение в Ji(G) непрерывно отно­ сительно сильной топологии М (G) и раздельно непре­ рывно относительно слабой топологии Л (G) — см. [76].

Пространство С (G) естественно наделяется струк­ турой двустороннего Л (С)-модуля. Действительно,

36