Файл: Желобенко, Д. П. Гармонический анализ на полупростых комплексных группах Ли.pdf

если операторная функция я (g) аналитична на G (в то­ пологии С (Е)). Согласно теореме Нельсона [88], если Е — пространство Банаха, то пространство Еа всех аналитических векторов непрерывного G-модуля Е

пактная унимодулярная группа с мерой Хаара dg, то пространство Лебега L1 (G), определенное относитель­

Другие примеры групповых алгебр читатель может найти в [161, [76]. Следуя схеме [76], можно построить также алгебру гиперфункций (с м /[26]) на’ группе Ли, тесно связанную с аналитическими представлениями группы G. Различные типы групповых алгебр естест­ венно соответствуют различным типам представлений группы G — см. [76], [92].

*) Если Е полно, то Е°° также полно.

41

§ 7. Представления компактных групп

Напомним основные сведения из теории представле­ ний компактных групп.

Пусть К — компактная группа. Всякое топологи­ чески неприводимое представление группы К конечно­ мерно и унитарно (см. [12]). Пусть Л — множество всех классов эквивалентности неприводимых представ­

ранстве Ег, с if-инвариантным скалярным произведе­ нием (£, т]), ^ , г ] Е Ех. Пусть SS — линейная оболочка

Множество X является алгеброй относительно свертки. Элементы алгебры X называются сферическими функ­ циями на К. Подпространство X х является минималь­ ным двусторонним идеалом в X. Отображение | (g) ц >-*-

(линейного по £, антилинейного по ц), который являет­ ся также if-модульным изоморфизмом относительно левых и правых сдвигов на К. Заметим, что в Е х су­ ществует операция комплексного сопряжения, отож­ дествляющая Ек с контрагредиентным модулем Е\. При этом

Согласно аппроксимационной теореме Петера — Вей­ ля, алгебра X является всюду плотным идеалом в С (К). В то же время X является алгеброй относительно обыч­ ного умножения функций на К. В дальнейшем, как правило, мы будем рассматривать1 X с операцией обычного умножения.

*) Множество Л конечно, лишь если группа G конечна.

42

но свертки. При этом Н — прямая ортогональная сум­ ма своих минимальных двусторонних идеалов Н х = X х:

образуют ортогональное семейство эрмитовых проекто­ ров в Н, причем ех — проектор на Н х (ехН = Нех = Н х). Согласно разложению (4), возрастающая сумма левых (правых) проекторов ех образует аппроксимативную единицу в Н. Центр алгебры Н является прямой сум­ мой СеЛ, X £Е А.

3. К-ф и н и т н ы е в е к т о р ы . Пусть Е — про­ извольный A -модуль. Вектор | Е Е называется К-фи- нитным, если циклический подмодуль А§, порожден­

где Vх — максимальный подмодуль в V, представление в котором кратно я Л. Если Е — непрерывный квази­ полный A -модуль, то Е является также С (А)-модулем (§ 6), причем элемент ех, определенный в (5), является проектором Е на Vх.

43

откуда следует, что функция ср (к) = </с|, /> ортого­ нальна центру алгебры Н. Положим

Оператор р 0продолжается в Я до ортогонального проек­ тора на центр алгебры В . Имеем

£ * = £ * р) £°°.

плотно в Ек. Следовательно, Е * всюду плотно в Е. Предложение доказано.

Модуль Е называется К-финитным, если dim FA<

X°о Для всех ^ £Е А.

Сл е д с т в и е 7.4. Если Е — К-финитный G-мо­

дуль, то Ек CZ Е*.

Пусть з — алгебра Ли группы G.

44

A -подмодуль Е°°, изоморфный фактормодулю g ® Е *, с присоединенным действием К в д. Отсюда gЕ* CZ Е*. Предложение доказано.

5. Д и ф ф е р е н ц и р у е м ы е А - м о д у л и . Пусть К — компактная группа Ли. В этом случае сфе­ рические функции аналитичны на К. Пусть £ — алгеб­ ра Ли группы К. В алгебре £ существует А-инвари- антное (относительно присоединенного представления) скалярное произведение (ж, у), х, у ЕЕ £• Если К свя­ зна, то А отождествляется с целочисленной решеткой

в£ (решетка старших весов).

Пр е д л о ж е н и е 7.6. Если Е — дифференци­ руемый квазиполный модуль, то каждый вектор | является суммой (сходящегося в Е) ряда Фурье

1 = Ш -

х

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть 5s — базисная си­ стема полунорм пространства Е. Поскольку представ­ ление в Е равностепенно непрерывно (§ 5), то для всякой полунормы р Е Э 5 существует непрерывная полунорма р0 такая, что р (А|) р 0 (£), к ев К. Отсю­ да имеем

Р ( t ) < их ■шах |Хх (А) |р (Щ < п\ р0(£).

оператор Р к старшему вектору £0ЕЕ Ах. Предположим

45